2025年高三模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為A.0 B.1 C.2 D.33.聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：）.輕柔音樂的聲強(qiáng)一般在之間，則輕柔音樂的聲強(qiáng)級(jí)范圍是（）A. B.C. D.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.24 B. C. D.5.已知，則（）A. B. C.2 D.36.已知函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線與相交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)在上的所有極值點(diǎn)從小到大依次記為，則（）A. B. C. D.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.若函數(shù)的定義域都為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.是偶函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)10.如圖，在中，若為邊上的點(diǎn)（不包含），，則（）A.外接圓的半徑為B.頂點(diǎn)到的最大距離為C.若為邊的中點(diǎn)，則D.若為邊的中點(diǎn)，則的最大值為11.在三棱錐中，已知分別為，的重心，以下說法正確的是（）A.B.平面C.若，則二面角的大小為D.若，則三棱錐外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)_________．13.已知拋物線的焦點(diǎn)為，C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為T，若過點(diǎn)T的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，則的面積等于_________．14.將五張標(biāo)有、、、、的卡片擺成右圖，若逐一取走這些卡片時(shí)，每次取走的一張卡片與剩下的卡片中至多一張有公共邊，則把這樣的取卡順序稱為“和諧序”（例如按取走卡片的順序是“和諧序”，按取走卡片的順序不是“和諧序”），現(xiàn)依次不放回地隨機(jī)抽取這張卡片，則取卡順序是“和諧序”的概率為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有，兩道謎語，張某猜對(duì)謎語概率為0.8，猜對(duì)得獎(jiǎng)金10元；猜對(duì)謎語的概率為0.5，猜對(duì)得獎(jiǎng)金元.（1）猜兩道謎語，求張某僅猜對(duì)其中一道的概率；（2）若規(guī)定只有在猜對(duì)第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道，求的值，使得張某先猜謎語和先猜謎語所獲得的獎(jiǎng)金期望相同.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓的直徑，為圓周上一點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）在線段上且，當(dāng)平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.18.如圖，雙曲線：的虛軸長為2，離心率為，斜率為的直線過軸上一點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上存在關(guān)于直線對(duì)稱不同兩點(diǎn)，，直線與直線及軸的交點(diǎn)分別為，.（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）當(dāng)時(shí)，求的最小值.19.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：記（表示從中任取兩個(gè)作乘積再求所有乘積的和，如）.（1）求，的值；（2）為互不相同自然數(shù)，求；（3）求的值.參考答案1.【答案】B【詳解】由，可得，所以.故的元素個(gè)數(shù)為3.故選：B.2.【答案】B【詳解】分析：設(shè)，根據(jù)，可得的軌跡方程，代入，即可得出．詳解：設(shè)，，∴，∴，∴，則==≥．當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：B．3.【答案】C【詳解】依題意可得，所以，所以，所以，即輕柔音樂的聲強(qiáng)級(jí)范圍是.故選：C4.【答案】D【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)為．故答案為：.5.【答案】A【詳解】由可得，所以，又易知，因此可得，即可得，所以，解得.故選：A6.【答案】B【詳解】易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且;當(dāng)時(shí)，函數(shù)，易知,顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖象大致如下圖所示：若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，由上圖可知；當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí)其圖象大致如下圖：顯然函數(shù)的圖象與沒有交點(diǎn)，不合題意；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7.【答案】D【詳解】由題意作出圖形如圖所示：設(shè)，又，所以，又，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因?yàn)椋?，整理得，所以，解?故選：D.8.【答案】B【詳解】，則或.如圖，畫出圖象，結(jié)合圖象可知在兩側(cè)附近正負(fù)相反，可得極值點(diǎn)有8個(gè).則互為相反數(shù)，因，則，又注意到，則.故選：B二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.【答案】ABD【詳解】函數(shù)的定義域都為，對(duì)于A，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榕己瘮?shù)，則，即是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，則為偶函數(shù)，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則是奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD.10.【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，頂點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到的最大距離為，所以B正確；對(duì)于C，若為邊的中點(diǎn)，則，所以，所以，C正確；對(duì)于D，在中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，則，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，D正確.故選：BCD.11.【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)為，連接.由已知得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榉謩e為的重心，所以，且，所以，所以，又平面平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，由得二面角的平面角為，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋?，所以，所以二面角的大小為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取的中點(diǎn)為，連接，由得，三棱錐外接球的球心必在的延長線上，設(shè)，外接球的半徑為，在中，，則，在中，，則，由得，，解得，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【詳解】，當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，；時(shí)，；所以在上有且僅有唯一的零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，，則，解得.綜上，.故答案為：e13.【答案】【詳解】如圖，因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)，所以，解得，則拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為，，易知直線l斜率存在，設(shè)方程為，，,聯(lián)立，整理得,由韋達(dá)定理得，，又，，且，∴，即代入，整理得，解得或（舍），所以，，所以，.故答案為.14.【答案】【詳解】分兩種情況討論：（1）第一步，從號(hào)或號(hào)卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號(hào)卡片，第二步，從號(hào)或號(hào)卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號(hào)卡片，第三步，從號(hào)或號(hào)卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號(hào)卡片，第四步，從號(hào)或號(hào)卡片抽取一張，有種情況，第五步，抽最后一張卡片，此時(shí)，不同的抽法種數(shù)為種；（2）第一步，抽號(hào)卡片，第二步，從、、號(hào)卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號(hào)卡片，第三步，從、號(hào)卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號(hào)卡片，第四步，從、號(hào)卡片抽取一張，有種情況，第五步，抽最后一張卡片，此時(shí)，不同的抽法種數(shù)為種.而從張卡片隨意抽取，不同的抽法種數(shù)為，因此，取卡順序是“和諧序”的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【答案】（1）；（2）.【小問1詳解】設(shè)張某僅猜對(duì)其中一道謎語為事件M，猜對(duì)A謎語為事件A，猜對(duì)B謎語為事件B則.【小問2詳解】設(shè)張某先猜A謎語獲得的獎(jiǎng)金為元，先猜B謎語獲得的獎(jiǎng)金為元，則的取值分別是0，10，，的取值分別是0，，，，，，所以；，，，所以.由得，解得.16.【答案】（1）極小值為，無極大值.（2）或.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無極大值.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，①若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在無零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；②若，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，函數(shù)的值趨近于負(fù)數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)從大于的方向趨近于時(shí)，函數(shù)的值趨近于正無窮大，當(dāng)趨近于正無窮大時(shí)，函數(shù)的值趨近于正無窮大，則當(dāng)且僅當(dāng)，有唯一零點(diǎn)，由，得，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，則方程有唯一解，于是時(shí)，有唯一零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.17.【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】證明：如圖，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?，，平面，所以平面，平面，則.【小問2詳解】解法一：在上取點(diǎn)，使得，連接，則，又平面，平面，故平面，又平面，且，平面，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，則，又，所以，所以，則，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)椋?，所以就是平面與平面夾角，因?yàn)?，所以，所以即平面與平面夾角的余弦值為.解法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，則，設(shè)，則因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為由，可取，又因?yàn)槠矫妫?，即得，于是，，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，可取，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【小問1詳解】由題知，解得，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】令，設(shè)直線為：，與聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則由韋達(dá)定理，及題意可得：則，，.（i）當(dāng)時(shí)，，，由，得，又因?yàn)椋?，所以；（ii）由題知，.因?yàn)?，所以，又，，則，，又，則，則，當(dāng)取得，此時(shí)滿足題意.綜上，的最小值為.19.【答案