高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊(cè))3.3冪函數(shù)(精練)(原卷版+解析)一、選擇題要求：從下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)正確的答案。1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^α，其中α為實(shí)數(shù)，若f(x)是偶函數(shù)，則α的取值范圍是______。A.α>0B.α<0C.α=0D.α∈R2.函數(shù)f(x)=x^(1/3)在定義域內(nèi)______。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增二、填空題要求：在下列各題的空格中填上恰當(dāng)?shù)臄?shù)字或符號(hào)。3.若函數(shù)f(x)=x^2-2x+1在區(qū)間[0,3]上的最大值為_(kāi)_____。4.函數(shù)f(x)=x^(2/3)-2x^(1/3)+1的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）證明：函數(shù)f(x)=x^(2/3)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)。（2）若函數(shù)g(x)=x^2+bx+c在區(qū)間[-1,2]上的圖像恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，求b和c的值。6.（1）已知函數(shù)f(x)=x^α（α為實(shí)數(shù)），若f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，求α的取值范圍。（2）若函數(shù)g(x)=x^2+2ax+1在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。四、計(jì)算題要求：直接寫(xiě)出結(jié)果，無(wú)需寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。7.計(jì)算下列各式的值：（1）(3^2)^3（2）(2^3)^2（3）(-2)^3（4）(-3)^2五、證明題要求：證明下列各題。8.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(x^2+y^2)^2≥x^4+y^4。9.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^3+3x+1≥x+1。六、應(yīng)用題要求：解答下列各題。10.（1）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)。（2）若函數(shù)g(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的圖像恒過(guò)點(diǎn)(2,0)，求該函數(shù)的解析式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.α<0解析：因?yàn)榕己瘮?shù)滿(mǎn)足f(-x)=f(x)，對(duì)于f(x)=x^α，當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，f(-x)=(-x)^α=x^α=f(x)，所以α必須為偶數(shù)，即α<0。2.A.單調(diào)遞增解析：函數(shù)f(x)=x^(1/3)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=1/3*x^(-2/3)，由于x^(-2/3)在定義域內(nèi)始終為正，所以f'(x)>0，說(shuō)明函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。二、填空題3.4解析：函數(shù)f(x)=x^2-2x+1可以寫(xiě)成f(x)=(x-1)^2，它在x=1時(shí)取得最小值0，在x=3時(shí)取得最大值4。4.1解析：函數(shù)f(x)=x^(2/3)-2x^(1/3)+1可以重寫(xiě)為f(x)=(x^(1/3)-1)^2，由于平方項(xiàng)總是非負(fù)的，且x^(1/3)-1=0時(shí)x^(1/3)=1，所以只有一個(gè)實(shí)數(shù)解x=1，因此圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。三、解答題5.（1）證明：函數(shù)f(x)=x^(2/3)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)。解析：要證明f(x)是奇函數(shù)，需要證明f(-x)=-f(x)。對(duì)于f(x)=x^(2/3)，有f(-x)=(-x)^(2/3)=x^(2/3)=f(x)，由于f(-x)=f(x)，且f(0)=0，所以f(x)是奇函數(shù)。5.（2）若函數(shù)g(x)=x^2+bx+c在區(qū)間[-1,2]上的圖像恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，求b和c的值。解析：由于g(x)過(guò)點(diǎn)(0,1)，所以g(0)=1，代入x=0得c=1。又因?yàn)間(x)在[-1,2]上恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，所以g(x)在x=0時(shí)取最小值，即g'(0)=0。計(jì)算g'(x)=2x+b，代入x=0得b=0。因此，b=0，c=1。6.（1）已知函數(shù)f(x)=x^α（α為實(shí)數(shù)），若f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，求α的取值范圍。解析：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，意味著其導(dǎo)數(shù)f'(x)在該區(qū)間內(nèi)恒小于0。計(jì)算f'(x)=α*x^(α-1)，要使f'(x)<0，需要α-1<0，即α<1。因此，α的取值范圍是α<1。6.（2）若函數(shù)g(x)=x^2+2ax+1在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。解析：函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，意味著其導(dǎo)數(shù)g'(x)在該區(qū)間內(nèi)恒大于0。計(jì)算g'(x)=2x+2a，要使g'(x)>0，需要2x+2a>0。對(duì)于區(qū)間[1,3]，最小值發(fā)生在x=1時(shí)，所以2*1+2a>0，即a>-1。因此，a的取值范圍是a>-1。四、計(jì)算題7.（1）計(jì)算下列各式的值：（1）(3^2)^3=3^6=729（2）(2^3)^2=2^6=64（3）(-2)^3=-8（4）(-3)^2=9五、證明題8.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(x^2+y^2)^2≥x^4+y^4。解析：將不等式展開(kāi)得(x^2+y^2)^2-x^4-y^4=(x^2+y^2+x^2+y^2)(x^2+y^2-x^2-y^2)=4xy(x^2+y^2)。由于x^2+y^2≥0，4xy≥0，所以(4xy)(x^2+y^2)≥0，即(x^2+y^2)^2≥x^4+y^4。9.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^3+3x+1≥x+1。解析：將不等式重寫(xiě)為x^3+2x≥0。由于x^3+2x=x(x^2+2)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x^2+2≥0，所以x(x^2+2)≥0，即x^3+2x≥0，從而x^3+3x+1≥x+1。六、應(yīng)用題10.（1）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)。解析：令f(x)=0，得x^3-3x=0，即x(x^2-3)=0，解得x=0或x^2=3，即x=±√3。因此，f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)為(0,0)和(±√3,0)。10.（2）若函數(shù)g(x)=x