1/5《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》知識方法回顧一、整體回顧本章先是通過實例由平均變化率、瞬時變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念，然后對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)以及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作了初步的研究，并利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，進而利用導(dǎo)數(shù)解決了一些簡單的實際問題，最后通過豐富的背景和實例，學(xué)習(xí)了定積分的基本概念與思想方法，應(yīng)用定積分解決一些簡單的幾何和物理問題，初步感受到定積分在解決數(shù)學(xué)問題與實際問題中的作用，通過對微積分基本定理的學(xué)習(xí)，揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系．二、知識、方法回顧1．關(guān)于導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)自變量的改變量為，函數(shù)的改變量為，平均變化率為，瞬時變化率為，我們稱函數(shù)在處的瞬時變化率即為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即．若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點x都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)，這樣，開區(qū)間內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定導(dǎo)數(shù)，于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這一新的函數(shù)稱為的導(dǎo)函數(shù)，記作．可以看出只是的一個函數(shù)值，即．2．求導(dǎo)公式和法則求導(dǎo)公式和法則的建立，使得求導(dǎo)問題變得公式化、程序化，為較為復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)，提供了簡潔的途徑，在運用時必須嚴格按照已有的公式、法則進行，即必須做到：（１）正確掌握基本函數(shù)的求導(dǎo)公式①（為常數(shù)）；②（為正整數(shù)）；③（，且）；④；⑤（且）；⑥；⑦；⑧；⑨（，，）．（2）正確運用函數(shù)四則運算的求導(dǎo)公式①；②；③．（3）掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)，，則．即復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的乘積．熟練之后，對于經(jīng)過多次復(fù)合及四則運算而成的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，可以直接運用公式和法則，從外層開始由外及里逐層求導(dǎo)．3．求在處的導(dǎo)數(shù)的方法（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義法按照一差、二比、三極限的順序進行．即①求函數(shù)的增量；②求平均變化率；③取極限，得導(dǎo)數(shù)．（2）利用導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法①利用求導(dǎo)公式和法則求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)；②將帶入導(dǎo)函數(shù)的解析式中得函數(shù)值即為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)．即．4．導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）切線的斜率由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，因此求函數(shù)的曲線在某點處的切線的斜率，只須求函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)即可．（2）函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③令，解出x的取值范圍即為函數(shù)的嚴格遞增區(qū)間；令，解出x的取值范圍即為函數(shù)的嚴格遞減區(qū)間．注：在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，不要忽視確定函數(shù)的定義域，因為在解決問題的過程中，只能在定義域內(nèi)討論的符號才能正確地判斷出函數(shù)的單調(diào)性．（3）函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的步驟：設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)且，若在點x0附近，其左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值；若在點附近，其左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值．注：①函數(shù)在點處及其附近有定義是指在點及其左右鄰域都有意義，因此極值是一個局部概念，是僅對某一點的左右兩側(cè)鄰域而言；②導(dǎo)數(shù)為零的點，不一定是極值點，因此導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件，其充分條件是該點處的導(dǎo)數(shù)為零且該點的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號異號．（4）函數(shù)的最值對于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)，求其最值的步驟：①求在開區(qū)間內(nèi)所有使的點；②計算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的所有點和端點的函數(shù)值，其中最大的為最大值，最小的為最小值．注：如果在閉區(qū)間上函數(shù)的圖象是一種連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．（5）證明不等式將要證明的不等式，通過構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)只需求的最小值并且使即可得證．（6）解決最優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)研究最優(yōu)化問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，因此要認真審題，分析各個量之間的關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，再還原為實際問題中的意義．注：求函數(shù)的最值時，若在區(qū)間上只有一個極值點，要根據(jù)實際意義判定該極值是最大值還是最小值，不必再與端點值比較．5．定積分與微積分基本定理（1）定積分的概念通過分割、近似代替、求和、取極限四個步驟求得函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即，它是一個常數(shù)（極限值），僅與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號無關(guān)．（2）微積分基本定理如果，且在上可積，則，這個結(jié)論叫微積分基本定理，其中叫做的一個原函數(shù)．也常記為．微積分基本定理表明：一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分，是它的一個原函數(shù)在區(qū)間上的增量，這樣求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)問題，由于，所以也是函數(shù)的原函數(shù)，其中為常數(shù)．因此可見求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算是互為逆運算．（3）定積分的幾何意義在區(qū)間上，當(dāng)函數(shù)時，曲邊梯形位于x軸的上方，定積分的幾何意義是由x軸、曲線以及直線所圍成的曲邊梯形的面積，即或．當(dāng)函數(shù)時，此時曲邊梯形位于x軸的下方，定積分的值為負值，此時由x軸、曲線以及直線所圍成的曲邊梯形的面積應(yīng)是或．6．求定積分的方法（1）根據(jù)定積分的定義求定積分，其步驟是：分割、近似代替、求和、取極限．（2）利用微積分基本定理求定積分，其步驟是：①求出的一個原函數(shù)；②計算，即得的值．利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，通常我們運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，從反方向上求出．（3）利用定積分的幾何意義求定積分，其一般步驟