重難點05幾何證明壓軸題

明考情?知方向

北京中考幾何證明題的特點在于強調(diào)幾何直觀、模型應用、綜合性考查以及創(chuàng)新性情境設置，同時難度逐

年提升，注重學生邏輯推理能力和實際應用能力的培養(yǎng)。這些特點體現(xiàn)了北京中考數(shù)學試題對學生全面素

質(zhì)的重視。解答幾何證明題需要多種解題策略。例如，學生可以通過構造輔助線、利用相似性或全等性來

簡化問題。北京中考幾何證明題近年來更加注重創(chuàng)新性和情境設置。例如，2023年的一道幾何綜合題涉及

等腰三角形、菱形和正方形的判定，考查了學生靈活運用多種幾何知識的能力。2024年的幾何題則通過動

態(tài)幾何畫板演示，幫助學生更直觀地理解幾何元素之間的關系。從近年的題目來看，北京中考幾何證明題

的難度呈現(xiàn)逐年上升的趨勢。例如，2024年的幾何壓軸題被認為是近年來最難的一道幾何題，考查了學生

對旋轉、相似、全等等復雜幾何變換的綜合運用能力。

熱點題型解讀

探究數(shù)量關系

,最值問題

幾何證明壓軸題1

幾何與三角函數(shù)綜合

：含相似幾何證明

【題型1探究數(shù)量關系】

考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂

直平分線的判定與性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活

運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵.

工-（五一2一3五不:元瓦1驪師布天孽M扃不孚三穗預語一匚一在仄7加幣「一2互記=3涓;7萬二旅活萬工五于點

D,連接4D,在上截取CE,使CE=BD,連接

⑴直接判斷/￡與的位置關系

（2）如圖2,延長AD,CB交于點、F,過點E作EG〃//交8c于點G,試判斷尸G與N3之間的數(shù)量關系,

并證明；

⑶在（2）的條件下，若4E=2,CE=6,求EG的長.

2.（2024年北京市中考真題）已知NA￡4N=a（0°<a<45。），點B,C分別在射線/N,AM±.,將線段8c

繞點B順時針旋轉180°-2a得到線段BD,過點。作AN的垂線交射線于點及

圖1圖2

⑴如圖1,當點。在射線/N上時，求證：C是NE的中點；

（2）如圖2,當點。在內(nèi)部時，作。尸〃/N,交射線于點尸，用等式表示線段EF與NC的數(shù)量

關系，并證明。

3.（2024年北京市順義區(qū)中考二模）如圖，ZUBC中，AB=AC,ABAC=a,。為/C上一點（不與點

/、C重合），將線段D4繞點。順時針旋轉得到線段DE,連接AD.并延長到點F，使DF=BD,作

射線尸E,交射線區(qū)4于點G.

⑴依題意補全圖形；

⑵求證：BG=IDE；

⑶在射線切上取點〃（不與點G重合）,使N"=/G.連接C〃、CF,用等式表示線段S與CF的數(shù)量

關系，并證明.

4.（2024年北京市門頭溝區(qū)九年級中考一模）如圖，AB=BC,448C=90。，點P在射線48上，且

NCEP=90。，點尸在EP上且EF=EC,連接/尸，取/尸的中點G,連接EG并延長至H,使G〃=GE,

連接

圖1圖2

（1）如圖1,當點P在線段48上時.

①用等式表示AH與CE的數(shù)量關系；

②連接BE,直接寫出BH,3E的數(shù)量關系和位置關系；

⑵如圖2,當點P在線段N2的延長線上時，依題意補全圖形2,猜想②中的結論是否還成立，并證明.

5.（2024年北京市東城區(qū)北京二中教育集團模擬預測）如圖1,在中，N4CB=90°,NABC=60°,D

為邊上一點，DEJ.4B于D,連接8瓦P為8E中點.

（1）連接尸。、PC,判斷與尸C的數(shù)量關系，并直接寫出/。尸。的度數(shù)；

⑵如圖2,將△/￡>￡繞點A順時針旋轉々度（0°<a<180。）.

①請你依據(jù)題意補全圖形；

②在旋轉過程中，/DPC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，寫出它的度數(shù)，并證明；若變化，請說明理由.

6.（2024年北京交通大學附屬中學第二分校中考模擬）在等邊△4BC中，點。為8c的中點，點￡為4D

上一點（不與/、。重合）將線段￡8繞點E順時針旋轉至斯，使點歹落在民4的延長線上，在圖1中補

全圖形：

⑴求/CE尸的度數(shù)；

⑵探究線段NC,AE,NF之間的數(shù)量關系；

⑶將線段EC繞點E旋轉，在旋轉過程中與邊交于點“，連接C",當=時，請寫出CH+CE的

最小值.

7.（2023年北京市H~一學校中考模擬）如圖，AB=AC,ABAC=90°,過點C作直線/L/C,點。，E

是直線/上的動點（。在E的右側）且滿足。石=48,連接AD,//AD的平分線與射線/￡交于點尸，與

射線NC交于點G.

（1）如圖1,當點C在線段上，且/C/E=30。時，若/8=6,求線段EF的長;

（2）如圖2,當點。在點C左側時，

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段NG,CD,跖的數(shù)量關系，并證明.

【題型2最值問題】

考查了四邊形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直線與圓的位置關系、四邊形的面積等知i

識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用輔助圓解決問題，解決最值問題需構造二］

次函數(shù)或者利用幾何性質(zhì)解答。

袖--5瓦7年花束標疝?反市號藪孽珅題稹擬一廠如酉廠在揚便為萬的定方形一好員一幣:而另一亞一的范瓦一1由

邊CD上一動點，設DQ=t（。如2）,線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N,過Q作QE1AB

于點E,過M作MF1BC于點F.

C1）當51時，求證：△PEQ三△NFM；

（2）順次連接P、M、Q、N,設四邊形PMQN的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關系式，并求S

的最小值.

9.（2024年北京市第二中九年級中考模擬）問題探究:

（2）如圖2,在矩形A8CZ）中，AB=3,邊2C上存在點尸，使N/PO=90。，求矩形面積的最小值；

問題解決：

（3汝口圖3,在四邊形4SCD中，AB=3,ZA=ZB=90°,ZC=45°,邊。卜.存在點尸，使N/Q5=60。,

在此條件下，四邊形/BCD的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

10.（2024年北京市第H^一中學中考三模）如圖1,在等腰RtZ\/8C中，4=90。，點。、￡分別在邊

AB、AC±,AD=AE,連接。C,點M、P、N分別為DC、8c的中點.

⑴觀察猜想：

圖1中，線段尸M與PN的數(shù)量關系是，位置關系是；

（2）探究證明：

把繞點”逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN,BD,判斷△尸九W的形狀，并說明理由；

⑶拓展延伸：

把△NOE繞點/在平面內(nèi)自由旋轉，若40=4,48=10,求APMV面積的最大值.

11.（北京市東城區(qū)2023年九年級中考一模）如圖，在正方形/BCD中，E是邊8c上一動點（不與點8,C

重合），連接DE,點C關于直線的對稱點為。，連接/C'并延長交直線OE于點P,尸是中點，

（1）求"DP的度數(shù);

⑵連接AP,請用等式表示/尸，BP,OP三條線段之間的數(shù)量關系，并證明;

⑶若正方形的邊長為/，請直接寫出的面積最大值.

12.(21-22九下?北京北京師范大學附屬實驗中學?一模)△4BC為等邊三角形，48=8,NDL8C于點。，E為

線段上一點,AE=2色.以/￡為邊在直線右側構造等邊三角形連接CE,N為CE的中點.

(1)如圖1,斯與ZC交于點G,連接NG,BE,直接寫出NG與的數(shù)量關系；

(2)如圖2,將△，環(huán)繞點/逆時針旋轉，旋轉角為■為線段斯的中點，連接DN,MN.當30。＜。＜120。

時，猜想乙D7W的大小是否為定值，如果是定值，請寫出功的度數(shù)并證明，如果不是，請說明理由；

⑶連接BN,在△/環(huán)繞點/逆時針旋轉過程中，請直接寫出線段的最大值.

【題型3幾何與三角函數(shù)綜合】

主要考查矩形與翻折的問題，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及其性質(zhì)、

翻折的性質(zhì)、正切的有關知識，解題的關鍵是熟練掌握所學知識并且學會作輔助線.還需熟練掌握三角

函數(shù)定義及特殊三角函數(shù)值。

13.(北京市石景山區(qū)2022-2023學年中考二模)【模包蓬立】

(1)如圖1,ZUBC和都是等邊三角形，點C關于的對稱點尸在AD邊上.

①求證：AE=CD；

②用等式寫出線段BD,。尸的數(shù)量關系，并說明理由.

【模型應用】

(2)如圖2,ZUBC是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足為。，點C關于的對稱點尸在8。邊

上.用等式寫出線段BD,。尸的數(shù)量關系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若/。=4后，BD=3CD,求cos//F8的值.

A

A

14.（2023年北京市燕山地區(qū)中考二模）如圖，在每一個四邊形4BCD中，均有AD//BC,CD1BC,

Z^4BC=60°,AD=8,8c=12.

（1）如圖①，點M是四邊形/2CO邊4D上的一點，則△2MC的面積為；

（2）如圖②，點N是四邊形4BCD邊/。上的任意一點，請你求出△2NC周長的最小值；

⑶如圖③，在四邊形ABCD的邊/。上，是否存在一點尸，使得cosNAPC的值最?。咳舸嬖?，求出此時

COSNBPC的值；若不存在，請說明理由.

15.（2024年北京師范大學附屬中學中考一模）已知：在矩形48C。中，AB=6,AD=2^,尸是2C邊上

的一個動點，將矩形/BCD折疊，使點4與點尸重合，點。落在點G處，折痕為所.

（2）如圖2,當點P與點8,C均不重合時，取EF的中點。，連接并延長尸。與G尸的延長線交于點連

接PF,ME,MA.

①求證：四邊形旌尸尸是平行四邊形；

②當tan/M4D=；時，求四邊形ME尸尸的面積.

16.（2023年北京市東城區(qū)中考數(shù)學一模）如圖，在正方形/BCD中，AB=3,M是CD邊上一動點（不

與。點重合），點。與點E關于所在的直線對稱，連接/E,ME,延長C3到點尸，使得B尸=DM,

連接即，AF.

(1)依題意補全圖1;

(2)若DM=1,求線段跖的長；

(3)當點河在。。邊上運動時，能使尸為等腰三角形，直接寫出此時tan/O/M的值.

圖1

17.(2024年北京市第H^一中學中考三模)在UBC中，NABC=90°,AB=BC,點。為平面內(nèi)一點.

(1)如圖1,若點。在線段3c上，且NA4O=NC4。，求tanNBAD；

(2)如圖2,若點。為△ZBC內(nèi)部一點，且/ADC=135。，連接/。，點E為4D的中點，連接BE,用等式

表示線段皿，BE,8的數(shù)量關系，并證明:

⑶若點。滿足N8DC=135。，當43=拒時，請直接寫出AD的最值.

【題型4含相似幾何證明】

主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，靈活運用相似三角:

形的判定與性質(zhì)，作出科學的輔助線，是解答本題的關鍵.

石「一756環(huán)無親海痣三稹7矩形7友方幣「二8二荷方二j1煮丁在近萬仁―近江運蘇一逢接7萬廠息

射線/￡繞點A逆時針旋轉30。，交直線CD于點F.

⑴如圖1,當點尸恰好與點C重合時，則NE4D=度;

⑵過點E作EG，/尸于點G,連接DG.

①如圖2,當尸落在線段CD上時.求/GOC的度數(shù)；

FG

如圖3,當尸落在線段CD的延長線上且FD=DG時，求下.

19.（2023年北京市海淀區(qū)中關村中學中考一模）如圖，矩形/08C的頂點8,/分別在x軸，y軸上，

點C坐標是（5,4）,。為8c邊上一點，將矩形沿/。折疊，點C落在x軸上的點E處，的延長線與x

軸相交于點尸.

⑴如圖1,求點。的坐標；

（2汝口圖2,若P是4尸上一動點，PMJL/C交NC于M,PNLCF交CF于N,設/尸=3FN=s,求s

與-之間的函數(shù)關系式；

⑶在（2）的條件下，是否存在點P,使APMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在,

請說明理由.

20.（2024年北京市陳經(jīng)綸中學中考一模）已知：4ABD和4CBD關于直線BD對稱（點A的對稱點是點C）,

點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE,AE交BD于點

G.

圖2

（1）如圖I,求證：Z_EAF=NABD；

（2）如圖2,當AB=AD時，M是線段AG上一點，連接BM、ED、MF,MF的延長線交ED于點N,ZMBF=

yNBAF,AF=|AD,試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

21.（2024年北京市平谷區(qū)中考二模）如圖，在△NBC中，NBAC=a°,48=/C,點。為平面上一點,

連接40,將4D繞著點/逆時針旋轉a°得到線段連接。E,取DK的中點凡取2C的中點G,連接

DC,取。。的中點M,連接尸

⑴依題意補全圖形；

⑵猜想/GFM的度數(shù)（用含a的式子表示），并證明.

22.（2024年北京大學附屬中學中考零模）已知，在△4BC中，AB=AC,ZBAC=90°,點。為NC邊上

一動點，連接2。，過點C作8。的垂線交8。的延長線于點

（1）如圖1,過點A作NN〃3C交”的延長線于點N,連接DN.

①依題意補全圖形；

②用等式表示NND"與/MX7之間的數(shù)量關系，并證明.

（2）如圖2,當點。恰為/C的中點時，E為BD上一動點,連接4E,將射線4E繞點A逆時針旋轉90。交射

線CH于點、F.若32,且點￡在運動的過程中始終滿足上-族=28.請直接寫出3E的取值范圍