數(shù)論期末試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.12的正約數(shù)個數(shù)是（）A.4B.5C.6D.72.下列數(shù)中是質(zhì)數(shù)的是（）A.91B.89C.93D.953.模5的最小非負(fù)完全剩余系是（）A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4,5C.-2,-1,0,1,2D.0,2,4,6,84.同余方程\(2x\equiv4\pmod{6}\)的解的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.45.整數(shù)\(a\)與\(b\)對模\(m\)同余的充要條件是（）A.\(m\mida-b\)B.\(m\mida+b\)C.\(m\midab\)D.\(m\mida\)且\(m\midb\)6.歐拉函數(shù)\(\varphi(10)\)的值為（）A.4B.5C.6D.87.下列哪個數(shù)與15互質(zhì)（）A.3B.5C.7D.98.18被5除的余數(shù)是（）A.1B.2C.3D.49.若\(a\equivb\pmod{m}\)，\(c\equivd\pmod{m}\)，則（）A.\(a+c\equivb+d\pmod{m}\)B.\(ac\equivbd\pmod{m}\)C.\(a-c\equivb-d\pmod{m}\)D.以上都對10.小于10且與10互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A.2B.3C.4D.5多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下是合數(shù)的有（）A.4B.7C.9D.112.下列哪些屬于模3的完全剩余系（）A.0,1,2B.3,4,5C.-1,0,1D.6,7,83.同余方程\(3x\equiv6\pmod{9}\)的解有（）A.\(x\equiv2\pmod{9}\)B.\(x\equiv5\pmod{9}\)C.\(x\equiv8\pmod{9}\)D.\(x\equiv11\pmod{9}\)4.以下關(guān)于質(zhì)數(shù)的說法正確的是（）A.質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個正因數(shù)B.2是最小的質(zhì)數(shù)C.所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)D.大于1的自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)5.關(guān)于歐拉函數(shù)\(\varphi(n)\)，正確的是（）A.\(\varphi(1)=1\)B.若\(p\)是質(zhì)數(shù)，則\(\varphi(p)=p-1\)C.若\(m\)，\(n\)互質(zhì)，則\(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)D.\(\varphi(n)\)表示小于等于\(n\)且與\(n\)互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)6.下列數(shù)對中，滿足\(a\equivb\pmod{4}\)的有（）A.\(a=5\)，\(b=1\)B.\(a=10\)，\(b=2\)C.\(a=13\)，\(b=1\)D.\(a=16\)，\(b=0\)7.以下哪些是12的因數(shù)（）A.2B.3C.4D.68.與24互質(zhì)的數(shù)有（）A.5B.7C.11D.139.關(guān)于同余關(guān)系，正確的是（）A.自反性：\(a\equiva\pmod{m}\)B.對稱性：若\(a\equivb\pmod{m}\)，則\(b\equiva\pmod{m}\)C.傳遞性：若\(a\equivb\pmod{m}\)，\(b\equivc\pmod{m}\)，則\(a\equivc\pmod{m}\)D.若\(a\equivb\pmod{m}\)，則\(ka\equivkb\pmod{m}\)（\(k\)為整數(shù)）10.以下能被3整除的數(shù)有（）A.123B.369C.456D.789判斷題（每題2分，共10題）1.1是質(zhì)數(shù)。（）2.若\(a\midb\)且\(b\mida\)，則\(a=b\)。（）3.模7的完全剩余系中元素個數(shù)是7個。（）4.同余方程\(ax\equivb\pmod{m}\)一定有解。（）5.所有偶數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。（）6.若\(\gcd(a,m)=1\)，則同余方程\(ax\equivb\pmod{m}\)有唯一解。（）7.歐拉函數(shù)\(\varphi(15)=\varphi(3)\varphi(5)\)。（）8.整數(shù)\(a\)，\(b\)滿足\(a\equivb\pmod{m}\)，則\(a\)和\(b\)除以\(m\)的余數(shù)相同。（）9.合數(shù)一定有大于1且小于它本身的因數(shù)。（）10.若\(a\midbc\)，則\(a\midb\)或\(a\midc\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因數(shù)的原理。輾轉(zhuǎn)相除法基于兩個整數(shù)的最大公因數(shù)等于其中較小的數(shù)和兩數(shù)相除余數(shù)的最大公因數(shù)。通過反復(fù)用除數(shù)和余數(shù)替換，直到余數(shù)為0，此時除數(shù)就是最大公因數(shù)。2.寫出求解同余方程\(ax\equivb\pmod{m}\)的一般步驟。先求\(d=\gcd(a,m)\)，若\(d\nmidb\)，方程無解；若\(d\midb\)，先求\(a_1=a/d\)，\(b_1=b/d\)，\(m_1=m/d\)，求出\(a_1x\equivb_1\pmod{m_1}\)的一個特解\(x_0\)，原方程的解為\(x=x_0+km_1\)（\(k=0,1,\cdots,d-1\)）。3.什么是完全剩余系？設(shè)\(m\)是一個給定的正整數(shù)，\(r_0,r_1,\cdots,r_{m-1}\)是\(m\)個整數(shù)，并且兩兩對模\(m\)不同余，則\(r_0,r_1,\cdots,r_{m-1}\)叫做模\(m\)的一個完全剩余系。4.簡述中國剩余定理的內(nèi)容。設(shè)\(m_1,m_2,\cdots,m_k\)是兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，\(M=m_1m_2\cdotsm_k\)，\(M_i=M/m_i\)，\(M_iM_i^{-1}\equiv1\pmod{m_i}\)，則同余方程組\(x\equiva_i\pmod{m_i}\)（\(i=1,2,\cdots,k\)）的解為\(x\equiv\sum_{i=1}^{k}a_iM_iM_i^{-1}\pmod{M}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論質(zhì)數(shù)在數(shù)論中的重要性。質(zhì)數(shù)是數(shù)論的基石，許多數(shù)論定理和算法都基于質(zhì)數(shù)。如唯一分解定理，每個大于1的整數(shù)可唯一分解為質(zhì)數(shù)乘積。質(zhì)數(shù)分布規(guī)律研究推動數(shù)論發(fā)展，密碼學(xué)中也利用質(zhì)數(shù)特性保障安全。2.探討同余關(guān)系在生活中的應(yīng)用實(shí)例。在日歷計算中，通過同余確定星期幾；在循環(huán)規(guī)律問題，如信號燈閃爍、音樂節(jié)拍等方面，利用同余判斷循環(huán)周期和位置。在數(shù)據(jù)加密、校驗(yàn)碼計算等領(lǐng)域也有重要應(yīng)用。3.說說歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中的作用。在RSA密碼體制中，歐拉函數(shù)用于計算密鑰。通過選取兩個大質(zhì)數(shù)\(p\)、\(q\)，計算\(\varphi(n)=(p-1)(q-1)\)，再基于此選擇公私鑰，利用歐拉函數(shù)性質(zhì)實(shí)現(xiàn)信息加密與解密，保障通信安全。4.論述研究數(shù)論對數(shù)學(xué)發(fā)展的意義。數(shù)論為其他數(shù)學(xué)分支提供理論基礎(chǔ)和研究方法，如代數(shù)數(shù)論與代數(shù)結(jié)構(gòu)研究相互促進(jìn)。其研究成果推動數(shù)學(xué)理論完善，一些難題促使新理論和方法誕生，還在計算機(jī)科學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，推動跨學(xué)科發(fā)展。答案單項(xiàng)選擇題1.C2.B3.A4.C5.A6.A