第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《勾股定理的應用》專項檢測卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．每年的11月9日是我國的消防日，為了增強全民的消防安全意識，某校師生舉行了消防演練，如圖，云梯長為25米，云梯頂端C靠在教學樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端A與墻角O的距離為7米．(1)求云梯頂端C與墻角O的距離的長；(2)現云梯頂端C下方4米D處發(fā)生火災，需將云梯頂端C下滑到著火點D處，則云梯底端水平方向向右滑動的距離為多少米．2．如圖，《九章算術》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何．譯文：現在有一根豎直的木頭，繩子系在其頂端．將繩子垂到地面時，繩子還有三尺余在地上．拉著繩子后退，離木頭根部八尺時，繩子被拉直用完．問繩子的長度是多少？3．如圖，琪琪在離水面高度的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸，開始時繩子的長為．

(1)開始時，小船距岸A的距離為_______；(2)若琪琪收繩后，船到達D處，求小船向岸A移動的距離的長．4．如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風旗桿從點處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離為．(1)求旗桿在距地面多高處折斷；(2)工人在修復的過程中，發(fā)現在折斷點的下方的點處，有一明顯裂痕，若下次大風將旗桿從點處吹斷，在距離旗桿底部5米處是否有被砸傷的風險？5．《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長在的中點O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即，求水池的深度和蘆葦的長度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中國古代數學家劉徽在為《九章算術》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現代符號語言可以表示為：若已知水池寬，蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過公式計算得到．請證明劉徽解法的正確性．6．如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別去B，C兩港裝載物資，運送到位于A港北偏東方向的D港．甲貨輪沿A港的北偏東方向航行120海里后到達B港，因裝載工人人手不夠，甲貨輪花了5個小時裝載貨物，然后沿正北方向航行一定距離到達D港．乙貨輪沿A港的西北方向航行一定距離到達C港，3個小時后裝載好貨物，再沿正東方向航行一定距離到達D港．（參考數據：，(1)求B，D兩港之間的距離（結果保留根號）；(2)若甲、乙兩艘貨輪都勻速航行，甲貨輪每小時航行30海里，乙貨輪每小時航行60海里，哪艘貨輪先到達D港？請通過計算說明（結果保留小數點后一位）．7．直角三角形的三邊關系：如果直角三角形兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c，則．(1)圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖1推導上面的關系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關系進行解答；(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，其中，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路，且．測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）問中若時，，，，，設，求x的值．8．如圖，小明與小華爬山時遇到一條筆直的石階路，路的一側設有與坡面平行的護欄．小明量得每一級石階的寬為，高為，爬到山頂后，小華數得石階一共200級，若每一級石階的寬和高都一樣，且構成直角，請你幫他們求護欄的長度．

9．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．某周末，張三同學在青年路嘗試用自己所學的知識檢測車速，如圖，觀測點設在到公路的距離為的處．這時，一輛車由西向東勻速駛來，測得此車從處行駛到處所用的時間為，并測得，．(1)求的長；(2)試判斷該車是否超過了的限制速度．（參考數據：）10．臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力，如圖，臺風中心沿東西方向由A向B移動，長．已知海港C到A的距離為，到B的距離為．臺風的影響范圍為臺風中心周圍內．(1)海港C受臺風影響嗎？請說明理由．(2)若臺風的速度為，臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？11．如圖，鐵路上有、兩點（看作直線上兩點）相距千米，、為兩村莊（看作兩個點），，，垂足分別為、，千米，千米，現在要在鐵路旁修建一個煤棧，使得、兩村到煤棧的距離相等．設煤棧應建在距點千米處的點處，如圖，則千米．

(1)（______）千米；(2)煤棧應建在距點多少千米處？12．如圖1，平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點．直線交于點，交軸于點．(1)求直線的解析式和點坐標；(2)如圖2，點坐標為，則的面積是________．(3)設點是軸上一動點，是否存在點使的值最?。咳舸嬖?，請求出的最小值．(4)以為腰在第一象限作等腰直角三角形，直接寫出點的坐標．13．如圖：某小區(qū)有兩個噴泉A，B，兩個噴泉的距離長為，現要為噴泉鋪設供水管道和，供水點M在小路上，供水點M到的距離的長為，的長為．(1)求供水點M到噴泉A，B需要鋪設的管道總長；(2)求噴泉B到小路的最短距離．14．如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點處飛到另一棵樹的樹梢B點處，則小鳥至少要飛行多少米？15．已知某消防車的云梯最大能伸長25米，在一次救援中，消防車云梯伸到最長25米，它的底部與建筑物之間的水平距離米，云梯底部與地面的距離米．(1)求此時云梯頂端C離地面的高度為多少米；(2)若云梯頂端需要伸到距離地面17的處，則消防車需要向建筑物方向移動多少米到達處？參考答案1．(1)云梯頂端與墻角的距離的長為(2)云梯底端在水平方向上滑動的距離為【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）在中，根據勾股定理即可得到求解；（2）在中，根據勾股定理求出，即可得到結論．【詳解】（1）解：在中，，，由勾股定理得，即，解得：；答：云梯頂端與墻角的距離的長為；（2）解：，，，在中，，，由勾股定理得，即，解得：，，．答：云梯底端在水平方向上滑動的距離為．2．尺【分析】根據題意得，繩索，木樁形成直角三角形，根據勾股定理，即可求出繩索長．本題考查勾股定理的知識，解題的關鍵是理解題意，運用勾股定理解決實際問題．【詳解】解：設繩索長為x尺，則木樁高為尺，∴在中，，，∴根據勾股定理，得，解得．∴繩索長為尺．3．(1)12(2)【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是學握從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（1）在中，利用勾股定理計算出長；（2）根據題意可得長，然后再次利用勾股定理計算出長，再利用可得長．【詳解】（1）解：在中，，，故答案為：12；（2）∵琪琪收繩后，船到達處，，，．4．(1)旗桿距地面處折斷(2)在距離旗桿底部米處有被砸傷的風險【分析】本題考查的是勾股定理的實際應用，熟練的從實際問題中構建直角三角形是解本題的關鍵．（1）設長為，則長，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先畫出圖形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：由題意，知．因為，設長為，則長，則，解得．故旗桿距地面處折斷；（2）解：如圖：因為點P距地面，所以，所以，則距離旗桿底部周圍的范圍內有被砸傷的風險，所以在距離旗桿底部處有被砸傷的風險．5．(1)12尺(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理的應用；（1）設水池深度為x尺，則得蘆葦高度為尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，則得蘆葦高度為，由題意有：；由勾股定理即可得證．【詳解】（1）解：設水池深度為x尺，則蘆葦高度為尺，由題意有：尺；為中點，且丈尺，(尺)；在中，由勾股定理得：，即，解得：；即尺；答：水池的深度為12尺；（2）證明：水池深度，則蘆葦高度為，由題意有：；為中點，且，；在中，由勾股定理得：，即，整理得：；表明劉徽解法是正確的．6．(1)海里(2)甲貨輪先到達D港【分析】（1）過點B作于點G，作，交于點H，故，解直角三角形求出，進而求出，易求，推出，進而求出，利用勾股定理即可求解；（2）過點作于點M，易證，推出，求出海里，海里，根據題意得：，則，求出海里，海里，再根即已知計算出甲貨輪所用時間乙貨輪所用時間為比較即可解答．【詳解】（1）解：過點B作于點G，作，交于點H，故，根據題意得：海里，，在中，海里，在中，,∴海里，海里，∴海里，在中，海里，答：B，D兩港之間的距離為海里；（2）解：過點作于點M，∵，∴，∴，由（1）知海里，海里，海里，海里，∴，∴海里，海里，根據題意得：，則，∴海里，∴海里，海里，∴甲貨輪所用時間為：（小時），乙貨輪所用時間為：（小時），∵，∴甲貨輪先到達D港．【點睛】本題考查了方位角視角下的解直角三角形，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)新路比原路少0.5千米(3)【分析】本題考查的是勾股定理的證明方法以及勾股定理的應用；（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關系式，化簡即可得證；（2）設千米，則千米，根據勾股定理列方程，解方程即可得到結果；（3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到結果．【詳解】（1）解：，∴梯形的面積為或，，，即，（2）解：設千米，則千米，在中，，即，解得：，即，（千米），答：新路比原路少千米，（3）解：由題得，，在中，，在中，，，即，解得：．8．【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．先利用勾股定理求出每一級石階的斜邊長，再乘以200即可求出護欄的長度．【詳解】解：根據勾股定理，每一級石階的斜邊長為，．答：護欄的長度為．9．(1)(2)該車超過了的限制速度【分析】本題主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定，熟練掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性質是解題的關鍵．（1）根據含30度角直角三角形的性質，即可求解；（2）根據勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，，．（2）解：在中，，，．在中，，，，，，該車的速度為，該車超過了的限制速度．10．(1)海港C受臺風影響，見解析(2)臺風影響該海港持續(xù)的時間為1.4小時【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用．（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進而利用三角形面積得出的長，進而得出海港C是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】（1）解：海港C受臺風影響．理由如下：如圖，過點C作于D，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴，∵以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺風影響，（2）解：如圖，當，時，正好影響C港口，∵，∴，∵臺風的速度為，∴（小時），即臺風影響該海港持續(xù)的時間為1.4小時．11．(1)(2)千米處【分析】（）連接，則，由勾股定理可得，解之即可求解；（）根據（）的結果即可求解；本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接，則，∵，，∴，∵千米，∴千米，∵，∴，解得，∴千米，故答案為：；（2）解：由（）得，千米，∴煤棧應建在距點千米處．12．(1)直線的解析式為，點坐標為(2)18(3)存在，的最小值為(4)或【分析】（1）利用待定系數法運算求出解析式即可，再把代入函數解析式求出點的坐標即可；（2）作點關于軸對稱點，連接交軸于點，此時的值最小，最小值為的長，再利用勾股定理求出的長即可；（3）利用三角形的面積公式計算即可；（4）分類討論點的位置，利用等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質與判定即可求解．【詳解】（1）解：代入，到得，，解得：，直線的解析式為，代入，則，點坐標為，直線的解析式為，點坐標為．（2）解：由（1）得，點坐標為，又點坐標為，，．故答案為：18．（3）解：存在．如圖1中，作點關于軸對稱點，連接交軸于點，由對稱性得，，點坐標為，，當三點共線時，的值最小，最小值為的長，，，，的最小值為．（4）解：以為腰在第一象限作等腰直角三角形，或，下面分2種情況討論：①當時，記等腰直角三角形為，作軸于點，則，，，，，，即，又，，，，，，；②當時，記等腰直角三角形為，同理①中的方法可得；綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．【點睛】本題考查了一次函數與幾何綜合、勾股定理、軸對稱的最短路徑問題、等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質與判定，熟練掌握相關知識點，結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．13．(1)供水點M到噴泉A，B需要鋪設的管道總長為(2)噴泉B到小路的最短距離為【分析】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握勾股定理．（1）首先根據勾股定理求出，進而求解即可；（2）過點B作，利用等面積法求解即可．【詳解】（1）∵在中，，，∴在中，∴，答：供水點M到噴泉A，B需要鋪設的管道總長為；（2）如圖所示，過點B作，．答：噴泉B到小路的最短距離為．14．小鳥至少飛行了10米【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，大樹高為AC=10米，小樹高為BD=4米，過點B作BE⊥AC于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AB，∴E