專題07幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換問題

1/帆拉

幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換在中考壓軸題中的考查非常頻繁。

旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度,

任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相

等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化。

在解決旋轉(zhuǎn)變換的題目時，不僅要把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì)外，還要求考生能夠在圖形變換

中找到不變的量，通過轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，陌生模型轉(zhuǎn)化為熟悉模型。

真題精析

（2022?山東荷澤?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在ABC中，/ABC=45。,ADLBC于點。，在ZM上取點E,使

DE=DC,連接BE、CE.

⑴直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

（2）如圖2,將BED繞點D旋轉(zhuǎn),得到△BE'。（點尻分別與點2,E對應(yīng)），連接CE'、Afi',在，BED

旋轉(zhuǎn)的過程中C0與A9的位置關(guān)系與（1）中的CE與A8的位置關(guān)系是否一致?請說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)田繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。時，射線CE與A。、AQ分別交于點G、F,若CG=FG,DCf,

求A9的長.

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得NA3C=NZM3=45。，NDCE=NDEC=NAEH=45。,可得結(jié)論;

（2）通過證明一AD?三CDE',可得ZDAB^NDCE,由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得4"=吊。，即可求解.

【答案與解析】

【答案】（1）CE，45,理由見解析；（2）一致，理由見解析；（3戶.

【詳解】（1）如圖，延長CE交A5于8，

二

CDB

'：ZABC=45°,AD±BC,

：.ZADC=ZADB=90°,ZABC=ZDAB=45°,

?；DE=CD,

二ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,

:.ZBHC=ZBAD+ZAEH=9Q°,

:.CE±AB,

（2）在血）旋轉(zhuǎn)的過程中CE與A9的位置關(guān)系與（1）中的CE與A5的位置關(guān)系是一致的，理由如下:

如圖2,延長CE'交于"，

圖2

由旋轉(zhuǎn)可得：CD=DE',B'D=AD,

■:ZADC=ZADB=90°,

Z.CDE'=ZADB'，

..CDAD

?---=----=1,

DE'DB'

；._ADB'.CDE',

:.ZDAB'=ZDCE',

■:ZDCE'+ZDGC=90°,ZDGC=ZAGH,

：.ZDAB'+ZAGH=9Q°,

:.ZAHC=9Q°,

:.CE'±AB'

(3)如圖3,過點。作于點H,

圖3

VABED繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30°,

/.ZBDB'=30°,BD'=BD=AD,

ZADB'=120°,NDAB'=ZAB'D=30°,

DH±AB',AD=B'D,

：.AD=2DH,AH=6DH=B'H,

AB'=y/3AD,

由(2)可知：ADB；CDE,

:.ZDABr=ZDCEr=30°,

'：AD±BC,CD=6,

：.DG=1,CG=2DG=2,

：.CG=FG=2,

ZDAB'=30°,DH±AB',

：.AG=2GF=4,

AA￡>=AG+DG=4+1=5,

:.AB，=上AD=56.

儂與殛

本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

例率2

布

(2022?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在，ABC中，AB=AC=2拓,BC=4,D,E,尸分別為AC,A8,BC

的中點，連接。區(qū)。尸.

圖1

(1)如圖1,求證：DF^—DE-,

2

⑵如圖2,將/EZ)尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到/TO。，當(dāng)射線。尸交AB于點G,射線。。交8C于

點N時，連接EE并延長交射線DP于點判斷bN與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)時，求ZW的長.

哪狙

(1)連接AF,可得AF1BC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。/=；&。=石，根據(jù)

中位線定理可得DE=gBC=2,即可得證；

(2)證明DNF^DME,根據(jù)(1)的結(jié)論即可得?。?/p>

2

(3)連接AF,過點C作CHJ_A3于//,證明AGD^AHC,可得GO=^HC=述，勾股定理求得

25

GE,AG,根據(jù)tanNADG=----=—,A.EMG=AADG,可得tanNEAfG==—,進而求得MG,根據(jù)

GD4MG4

MD=MG+GD求得MD,根據(jù)（2）的結(jié)論07=且。河，即可求解.

2

［答案與解析】

FN=—EM—

【答案】⑴見解析；（2）2,理由見解析；⑶3

【詳解】（1）證明：如圖，連接”，

圖1

AB=AC=2y/5,BC=4,D,E,F分別為AC,AB,3c的中點,

:.DE=-BC=2,AFIBC,

2

DF=-AC=45,

2

DF=-DE,

2

FN=—EM

(2)2,理由如下，

連接4尸，如圖，

AB=AC=2-45,BC=4,D,E,F分別為AC,A3,3C的中點,

:.EF=-AC=CD,EF//DC,

2

?,四邊形a＞所是平行四邊形，

:.NDEF=NC,

DF^-AC^DC,

2

:.NDFC=NC,

:.ZDEF=ZDFC,

.-.180°-ZDEF=180°-ZDFC,

NDEM=NDFN,

圖2

將NEDF繞前D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NPDQ,

.ZEDF=4PDQ,

ZFDN+ZNDE=ZEDM+ZNDE,

一.NFDN=NEDM,

■.DNF^DME,

,NFDF_下

'EM~DE~2'

FN=-EM,

2

(3)如圖，連接AF,過點C作CWLA3于//,

C

圖3

及△AFC中，F(xiàn)C=3BC=2,

AF=y/AC2-FC2=4?

S=-BCAF=-ABCH,

ABRCr22

“尸BCAF4x4

..11Cx——~，

AB2<55

DP±ABf

.?._AG￡)sA//。，

.GPAD_l

'Hc~~AC~29

:.GD=-HC=^-,

25

Rt,GE。中，

Rt.\GD中,

AG=yjAD2-GD2=3卡

r

3A/5

3

tanZADG=—

GD4

EF//AD,

,\ZEMG=ZADGf

EG3

.tanZEMG=——二—

4

.”丁42A/58A/5

..MG=—GE=—x-----=------,

33515

:.MD=MG+GD=^-+^-=^~,

1553

DNFsDME,

.DNDF45

M迷4百10

/.DN=——DM=——x-------=—?

2233

總結(jié)與點撥

本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)

與判定，求角的正確,掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

（2022?山西?中考真題）綜合與實踐

問題情境：在氏公ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板E。尸中/瓦加=90。，將三角板的直角

頂點。放在RdABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊OE,。/分別與邊AB,

AC交于點M,N,猜想證明：

圖②圖③

(1)如圖①，在二角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMON的形狀，并說明理由；

問題解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)=時，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，直接寫出線段AN的長.

蠅甌

(1)由三角形中位線定理得到血〃AC,證明NA=NAMZ>=NMZW=90。，即可證明結(jié)論；

(2)證明ANOC是等腰三角形，過點N作NG,8c于點G,證明△CGNs/XCAB,利用相似三角形的性

質(zhì)即可求解；

(3)延長NZ),DH=DN,證明△BOHgZkCZJN,推出5H=CN,NDBH=NC,證明NM3H=90。，設(shè)

AM=AN=x,在RSBM”中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

［答案與解析】

2525

【答案】(1)四邊形AMDN為矩形；理由見解析；(2)CN=--(3)AN=—.

【詳解】解：(1)四邊形AMDN為矩形.

理由如下：???點M為Ab的中點，點。為5。的中點，

：.MD//AC,

：.ZAMD+ZA=180°,

VZA=90°,

:.ZAMD=90°9

VZEZ)F=90°,

:.ZA=ZAMD=ZMDN=90°,

四邊形AM0V為矩形；

(2)在ABC中，NA=90。，AB=6,AC=8,

：.ZB+ZC=90°,BC=ylAB2+AC2=10-

,點。是BC的中點，

：.CD=^BC=5.

VNEDf=90。，

：.ZMDB+Z1=9Q°.

；NB=NMDB,

/.Z1=ZC.

：.ND=NC.

過點N作NGJ_3C于點G,則NCGN=90。.

VZC=ZC,ZCGN=ZCAB=90°,

:ACGNsACAB.

5

:華?即5CN,

CACB~=——

810

(3)延長ND至H,^DH=DN,連接MH,NM,BH,

E

■:MDLHN,：.MN=MH,

,。是BC中點，

：.BD=DC,

又?：NBDH=NCDN,

.,.ABDH^ACDN,

：.BH=CN,NDBH=NC,

'：ZBAC=90°,

ZC+ZABC=90°,

:.ZDBH+ZABC=90°,

：.ZMBH=9d°,

設(shè)AM=AN=x,則5M=6-x,BH=CN=8-x,MN=MH=垃x,

在RSBAO/中，ByP+BH^MH2,

:.(6-x)2+(8-x)2=(5/2x)2,

25

解得尸了，

25

???線段AN的長為

血與融

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第(3)問的

關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

卅題

1.(2022?山東德州?統(tǒng)考二模)如圖，在矩形A3CD中，AB=3,BC=5,8E平分/ABC交AZ)于點E.連接

CE,點尸是的上一動點，過點尸作產(chǎn)G〃CE交BC于點G.將BFG繞點B旋轉(zhuǎn)得到BF'G'.

⑴連接CG',EF',求證：△BEF'ABCG；

(2)當(dāng)點G'恰好落在直線AE上時，若3尸=3,求EG'的值.

2.(2022?內(nèi)蒙古包頭?包鋼第三中學(xué)?？既?已知二ABC中，點。、E分別在邊AD、AC上，且

將VADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°)

⑴試說明△AD8s△A￡C；

s

⑵若/B4C=90。，NACB=30。，當(dāng)OE〃AC時，若點E恰好落在3C邊中點處，求薩里的值；

EM

⑶若NABC=90。，AB=CB,當(dāng)點E恰好落在A3邊上時，延長CE交8。于M,若3E=2AE,求——的

值.

3.(2022?浙江紹興?校聯(lián)考二模)如圖，在RSABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,尸為線段8c上一動點,

設(shè)PC=x.

⑴如圖①，當(dāng)x=2時，求A。的長；

⑵如圖②，當(dāng)x=3時，把△CP。繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)￡度，(0<^<90°),求此時AQ的長；

(3)如圖③，將APC。沿PQ翻折，得到APOM,點M是否可以落在△ABC的某邊的中垂線上？如果可以,

求出相應(yīng)的x的值；如果不可以，說明理由。

4.(2022.浙江金華?校聯(lián)考二模)如圖，菱形ABC。中，AB=5,AC=8,點E是射線AC上的一個動點,

將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。到EF,連接