專題01新增統(tǒng)計(jì)概率(根據(jù)教材精編)

*>----------題型歸納?定方向-----------?>

題型01伯努利分布、分布的表示................................................................12

題型02等可能分布或均勻分布.................................................

題型03隨機(jī)變量及其分布.......................................................................2

題型04隨機(jī)變量的期望與方差...................................................................3

題型05二項(xiàng)分布...............................................................

題型06超幾何分布.............................................................................4

題型07正態(tài)分布..............................................................

題型08成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析...................................................

題型09條件概率與全概率公式+獨(dú)立事件、互斥事件.............................

題型10判斷事件的類型概率公式綜合辨析.......................................................8

O----------------題型探析,明規(guī)律----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用————

(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.

(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

2、求離散型隨機(jī)變量自的期望與方差的步驟

⑴理解自的意義，寫(xiě)出自可能的全部值.

(2)求自取每個(gè)值的概率.

⑶寫(xiě)出自的分布列.

(4)由期望、方差的定義求E化)，D&).

3、判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

4、(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①

考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.

(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.

5、解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸尤=〃；(2)標(biāo)準(zhǔn)差g(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范

圍內(nèi)的概率值；由〃，。，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注

意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x=0.

題型01伯努利分布、分布的表示

【典例1-1】.拋擲I枚硬幣，正面朝上的次數(shù)為X,則X的期望是.

【典例1-2】.以下分布中是伯努利分布的是().

A.擲一枚硬幣正面次數(shù)X的分布

B.擲兩枚硬幣正面次數(shù)X的分布

C.拋一顆骰子點(diǎn)數(shù)X的分布

D.從一個(gè)放有2個(gè)白球，和2個(gè)黑球的袋子中摸出兩個(gè)球，用x表示白球個(gè)數(shù)的分布

【變式1-1].已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X=0）=2/,P（X=l）=a,那么".

【變式1-2].己知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P（X=l）=0.34,則尸（X=0）=,E（X）=.

【變式1-3].已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則P（X=O）=；若丫=3X-2,貝|尸（V=1）=.

【變式1-6]以下各項(xiàng)中是分布的為（)

'-101、

(02)

A.“B.1111

10.90.3)

/<4520>

仔&57.1]<-1.21.123.4

c00.20.380.4)D'10.1-0.10.40.6

題型02等可能分布或均勻分布

【典例2-1].已知隨機(jī)變量X分布如下：（X，%%%],它是均勻分布，則p.為_(kāi)_____.

（PlPlP3Pn）

【變式2-1】.已知某個(gè)隨機(jī)變量的分布["?該分布是等可能分布，則R的值為_(kāi)_____

5PiP3J

題型03隨機(jī)變量及其分布

,-101、

【典例3?1】.已知隨機(jī)變量的分布1,貝[|力7+〃=

m

‘0123、

【典例3-2】.分別拋擲3枚硬幣，正面次數(shù)X的分布如下131,其中c的值為.

——c—

1888J

'TO1、

【變式3-D.設(shè)4是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布為1,.,則實(shí)數(shù)q=________.

-1-2夕q-2

【變式3-2】.一袋中裝5個(gè)大小與質(zhì)地相同的球，編號(hào)為1、2、3、4、5,從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以X表

示取出的三個(gè)球中的最大號(hào)碼，則隨機(jī)變量X的分布為（）

’345、’2345、

A.111B.21J_

533>J10510>

345、(3

C.1_3_3D.331

5)I?

,10101010>

【變j式3-3】.若隨機(jī)-變量〃的分布為(1°」2x0.33504.105.15。62}卜則戶——‘外z芥方

題型04隨機(jī)變量的期望與方差

(135、

【典例T.已知隨機(jī)變量X的分布為0.4o.lJ則X的方差為-

【典例4-2】.已知一個(gè)隨機(jī)變量X的分布為,1,且現(xiàn)X]=，，則而=

ab—3

I2)

」23、

【變式4-1].已知隨機(jī)變量X的分布是11,則E[2X+a]等于()

———CL

(01x}

【變式4-2].已知隨機(jī)變量X的分布列為：11,若E(X)=w，且Y=3X-2,貝|。任)=

【23口

’-212、

【變式4-3】.隨機(jī)變量X的分布為,1,若研3X+3]=6,則可X]=__________.

cib一

I2J

’012、

【變式4.4】.已知一個(gè)隨機(jī)變量X的分布為1人，且石[X]=l,則。[X]=____.

—ab

(5)

一(123、5

【變式4-5].隨機(jī)變量X的分布是心，其中〃也°成等差數(shù)列.若頊X]=彳，則D[X]的值為

yabc)3

f-ior

【變式4-6].已知0<a<=，隨機(jī)變量X的分布為12,當(dāng)“增大時(shí)().

I33J

A.E(X)增大,D(X)增大B.E(X)減小，O(X)增大

C.E(X)增大,D(X)減小D.E(X)減小，D(X)減小

題型05二項(xiàng)分布

【典例5-1].已知隨機(jī)變量J服從二項(xiàng)分布4?8(4,￡|,則P《=2)=.

【典例5-2】.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3(20,0,當(dāng)p=g且P(X=k)取得最大值時(shí)，則心

【變式5-1].下列說(shuō)法中正確的是

則（）工

①設(shè)隨機(jī)變量服X從二項(xiàng)分布PX=3=

16

②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,/)且p(X<4)=0.9,則尸(0<X<2)=0.4；

③小趙、小錢(qián)、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A="4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”,

7

事件8="小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)=-；

④E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2。(X)+3.

【變式5-2].如果隨機(jī)變量X~8(2024,；|,丫?B(2024,；J,那么當(dāng)X、V變化時(shí)，使P(X=匕)=P(Y=七)

成立的色&)的個(gè)數(shù)為.

【變式5-3】?設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(2,p),隨機(jī)變量￥服從二項(xiàng)分布8(4,p),若尸(X21)=g,

貝|]尸(丫22)=.

【變式5-4].已知隨機(jī)變量x?3(2,0)，y~o-i,若P(XNI)=O.64,p(y=i)=。，則?(y=o)的值等

于.

【變式5-5】.在一次新兵射擊能力檢測(cè)中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射擊，合格通過(guò)；5次

全不中，則不合格.新兵A參加射擊能力檢測(cè)，假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立,且擊中靶標(biāo)的概率均為p(0<。<1),

若當(dāng)0=R)時(shí)，他至少射擊4次合格通過(guò)的概率最大，則/%=

題型06超幾何分布

【典例6-1】.某醫(yī)院派出16名護(hù)士、4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊(duì)伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去A

城市支援，設(shè)X表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則尸(X=2)=

【典例6-2】.某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑

球的概率為木，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,則D[X]=_.

【變式6-1].在箱子中有10個(gè)小球，其中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球.從這10個(gè)球中任取3個(gè)，記X表示白球的

個(gè)數(shù)，貝|尸(X=2)=.

【變式6-2].學(xué)校要從5名男教師和2名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，設(shè)抽取的人中女教師的人數(shù)為X,

求尸(X<1)=.

【變式6-3].盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以X表示取到白球的個(gè)數(shù)，〃表示取到黑球

的個(gè)數(shù).給出下列各項(xiàng)：

①E(x)q,E(〃)=|；②E(x)=E⑺;③E(〃2)=E(X)；@r>(X)=r>(77)=^.

其中正確的是.(填上所有正確項(xiàng)的序號(hào))

題型07正態(tài)分布

【典例7-1］.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3b2）,若尸（XW-1”尸（X23）,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

是.

【典例7?2】.隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)/（%）=(xeR),其圖象如圖所示，設(shè)

P（X>2）=0.15,則圖中陰影部分的面積為

【變式7-2】.某地區(qū)高三年級(jí)2000名學(xué)生參加了地區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試，已知數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)

分布N（100,b2）（試卷滿分150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，有320名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)低于80分，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于

閉區(qū)間［80,120］的學(xué)生人數(shù)約為.

【變式7-3】.若隨機(jī)變量XN（6,l）,且P（5<X47）=a,尸（4<X48）=b,則P（4<X47）等于（）

b-a—b+a八\-b-1-a

A.------B.------C.——D.——

題型08成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

【典例8-1】.在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)（4％）（7=1,2,3,L,〃）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線y=+3

上，用「表示解釋變量對(duì)于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則r=.

【典例8-2】.從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重，（單位：kg）的數(shù)據(jù)如

下表：

X165165157170175165155170

y4857505464614359

若已知y與X的線性回歸方程為9=0.85彳-85.71,那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差

為.

【變式8-1].已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)(18,24),(13,34),(10,38),(-1,根)的回歸方程為尸-2工+59.5,則該組數(shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)「=(精確到0.001).

【變式8-2].下列說(shuō)法中，正確的有(填序號(hào)).

①回歸直線y=&+B恒過(guò)點(diǎn)(元方，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)；

②根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出/>6.635,而P(/2>6.635)。0.01,則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變

量有關(guān)系，即有1%的可能性使得“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；

③/是用來(lái)判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)/的值很小時(shí)可以推斷兩類變量不相關(guān)；

④某項(xiàng)測(cè)量結(jié)果占服從正態(tài)分布貝|尸(畀5)=0.81,則尸《<-3)=0.19.

【變式8-3].近五年來(lái)某草原羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如

圖所示：

年份12345

羊只數(shù)量/萬(wàn)只1.40.90.750.60.3

草地植被指數(shù)1.14.315.631.349.7

A草地植被指數(shù)

60

50

40

30

20

10

??*IA

O0.511.5羊只數(shù)量/萬(wàn)只

若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為4,去掉第一年數(shù)據(jù)(14,1.1)后得到的相關(guān)系數(shù)為則4.

r2(填><,<,>)

【變式8-4].為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

服用m50-m50

未服用80—mm-3050

合計(jì)8020100

取顯著性水平a=0.05,若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則優(yōu)（加240,機(jī)eN）的最小值

為_(kāi)________

n(ad-be)2

（參考公式：/=;參考值:P(^2>3.841)?0.05)

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

題型09條件概率與全概率公式+獨(dú)立事件、互斥事件

【典例9-1】.甲、乙兩氣象站同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果甲站、乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7,且假定

甲、乙兩氣象站預(yù)報(bào)是否準(zhǔn)確相互之間沒(méi)有影響，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲站、乙站預(yù)報(bào)都錯(cuò)誤的概率

為.

【變式9-1].某科研型農(nóng)場(chǎng)試驗(yàn)了生態(tài)柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到其

質(zhì)量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖.已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，

用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1個(gè)柳丁，則該柳丁為商品果的概率為.

頻率

麗

0.015-........

0.010-........

0.005—1-

O100120140160180200質(zhì)量/g

質(zhì)量/g[100,120)[120,140)[140,160)[160,180)[180,200]

商品果率0.70.80.80.90.7

【變式9-2】.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學(xué)

生每天玩手機(jī)超過(guò)2h,這些人的近視率約為60%,現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩

手機(jī)超過(guò)2h的概率為.

【變式9-3】.研究人員開(kāi)展甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性研究實(shí)驗(yàn)，事件A為"對(duì)藥物甲產(chǎn)生抗藥性”，事

4?

件8為“對(duì)藥物乙產(chǎn)生抗藥性”，事件C為"對(duì)甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性若*4）=^,—,

P（C）=/，貝”（B|A）=—

題型10判斷事件的類型概率公式綜合辨析

【典例10-11.事件A與8獨(dú)立，》分別是A、2的對(duì)立事件，則下列命題中成立的是（）

A.尸（AB）=P（A）尸（3）B.P（AuB）=P（A）+P（B）

C.P（通）=P（A）P（國(guó)D.P（AIB）=P（A）+1-P（B）

【典例10-2].已知事件A與B相互獨(dú)立，且0<P（A）尸（為<1,則下列選項(xiàng)不一定成立的是（）

A.P(AB)=(1-P(A))P(B)；B.尸(AS)=P(A)+P(fi)；

C.P(AJB)=P(A)P(B)；D.P(A⑻尸(B|A)=尸(AcB).

【變式10-1].己知二方分別為隨機(jī)事件A、B的對(duì)立事件，P(A)>0,P(B)>0,則下列等式錯(cuò)誤的是

()

A.P(B|A)+P(叫A)=P(A)B.P(B|A)+P(B|A)=1

C.若A、8獨(dú)立，則尸(A⑻fP(A)D.若A、B互斥,則尸(闔B)=尸3A)

【變式10-21.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用》表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，

用》表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用(x,y)表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件E:x+y=8；事件F：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；

事件G:x>4；事件H：y<4.則下列說(shuō)法正確的是()

A.事件E與事件F為互斥事件B.事件廠與事件G為互斥事件

C.事件E與事件G相互獨(dú)立D.事件G與事件H相互獨(dú)立

【變式10-3】.現(xiàn)有4個(gè)禮品盒，前三個(gè)禮品盒中分別裝了一支鋼筆，一本書(shū)以及一個(gè)筆袋，第4個(gè)禮品

盒中三樣均有.現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)禮盒，事件A為抽中的盒子里面有鋼筆，事件B為抽中的盒子里面有書(shū)，事

件C為抽中的盒子里面有筆袋，則下面選項(xiàng)正確的是()

A.A與8互斥B.A與8相互獨(dú)立

C.A與BuC互斥D.A與BcC相互獨(dú)立

【變式10-4].設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為()

A.若A,B是對(duì)立事件，則玖A8)=l

B.若A,8是互斥事件，P(A)=1P(B)=1則尸(A+2)=-

326

-1-11

C.若尸(A)=§,P(B)=],且尸(AB)=1則A,8是獨(dú)立事件

17—1

D.若A,B是獨(dú)立事件，P(A)=§,P(8)=],則尸(A8)=§

【變式10-5】?設(shè)A,2為兩個(gè)隨機(jī)事件，

111

①若A,B是互斥事件尸(A)=：,P(B)=則P(AB)=-

326;

②若A,B是對(duì)立事件，貝”(Au8)=1；

17-1

③若A,8是獨(dú)立事件，P(A)=-,P(B)=-,則P(AB)=-;

—i—i_1

④若尸(4)=彳，P(B)=:,且尸(AB)=-,則A,B是獨(dú)立事件.

344

以上4個(gè)命題，正確的序號(hào)選項(xiàng)為().

A.①③B.②③C.②④D.②③④

【變式10-61.甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球；乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲

箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以A、4、4表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)?/p>

乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

25

A.P（B）=-B.P（B|4）=n

c.事件B與事件A不相互獨(dú)立D.A、4、4兩兩互斥

【變式10-71.假定生男生女是等可能的，設(shè)事件A：一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩；事件8：一個(gè)家庭中

最多有一個(gè)女孩.針對(duì)下列兩種情形：①家庭中有2個(gè)小孩；②家庭中有3個(gè)小孩，下面說(shuō)法正確是（）.

A.①中事件A與事件8相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B相互獨(dú)立

B.①中事件A與事件B不相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B相互獨(dú)立

C.①中事件A與事件B相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B不相互獨(dú)立

D.①中事件A與事件B不相互獨(dú)立、②中的事件A與事件B不相互獨(dú)立

*>----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、填空題

1.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有AB、C3種題庫(kù)，A題庫(kù)有5000道題，8題庫(kù)有

4000道題，C題庫(kù)有3000道題.小申已完成所有題，已知小申完成A題庫(kù)的正確率是0.92,8題庫(kù)的正確

率是0.86,C題庫(kù)的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是.

2.（2024?上海?三模）設(shè)隨機(jī)變量X服從成功概率為。的二項(xiàng)分布，若E[X]=30,D[X]=20,

則。=.

3.（2024?上海浦東新?三模）一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中不放回地摸出2個(gè)球，

記2球中白球的個(gè)數(shù)為X,則。[X]=.

二、單選題

4.（2023?上海奉賢?一模）下列結(jié)論不正確的是（）

A.若事件A與B互斥,貝?。?。3）=「（4）「（3）

B.若事件A與8相互獨(dú)立，貝”（Ac?=尸（A）尸（3）

c.如果分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么。[x+y]=o[x]+D[y]

D.若隨機(jī)變量y的方差。[叫=3,則。[2￥+1]=12

5.（2024.上海浦東新.三模）有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球2024-左^eN*）.甲、乙兩

人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上

一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第〃局甲獲勝的概率為P“，則關(guān)于以下兩個(gè)命題判斷正確的是

()

①月=4048ZT且加=（1—2月）?！?加

②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9,則左不小于1992.

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

專題01新增統(tǒng)計(jì)概率(根據(jù)教材精編)

?>-----------題型歸納?定方向-----------O

題型01伯努利分布、分布的表示................................................................12

題型02等可能分布或均勻分布...................................................................3

題型03隨機(jī)變量及其分布.......................................................................4

題型04隨機(jī)變量的期望與方差...................................................................5

題型05二項(xiàng)分布...............................................................................8

題型06超幾何分布............................................................................11

題型07正態(tài)分布..............................................................................14

題型08成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析..................................................1錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。

題型09條件概率與全概率公式+獨(dú)立事件、互斥事件..............................................19

題型10判斷事件的類型概率公式綜合辨析......................................................21

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用

(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.

(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

2、求離散型隨機(jī)變量自的期望與方差的步驟

⑴理解自的意義，寫(xiě)出自可能的全部值.

(2)求自取每個(gè)值的概率.

(3)寫(xiě)出自的分布列.

(4)由期望、方差的定義求E化)，D6).

3、判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

4、(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①

考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.

(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.

5、解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x=〃；(2)標(biāo)準(zhǔn)差g(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范

圍內(nèi)的概率值；由〃，必分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3c特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注

意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x=0.

題型01伯努利分布、分布的表示

【典例1-1】.拋擲I枚硬幣，正面朝上的次數(shù)為X,則X的期望是.

【答案】1/0.5

【分析】得到隨機(jī)變量X的分布，求出期望值.

【解析】隨機(jī)變量X的分布是11,則召[X]=0x1+lx[=1.

--222

121)

故答案為：g

【典例1-2】.以下分布中是伯努利分布的是().

A.擲一枚硬幣正面次數(shù)X的分布

B.擲兩枚硬幣正面次數(shù)X的分布

C.拋一顆骰子點(diǎn)數(shù)X的分布

D.從一個(gè)放有2個(gè)白球，和2個(gè)黑球的袋子中摸出兩個(gè)球，用x表示白球個(gè)數(shù)的分布

【答案】A

【分析】根據(jù)伯努利分布的概念即可判斷.

【解析】只取兩個(gè)值的隨機(jī)變量稱為伯努利型，其分布稱為伯努利分布.

則選項(xiàng)A符合，選項(xiàng)BCD不符合.

故選：A.

【變式1-1].己知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(x=o)=2/,p(x=l)=a,那么a=

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.

【解析】由題意可知尸(X=0)+P(X=l)=a+24=ln。=；或a=—l,

由于。＞0,所以

2

故答案為：y

【變式1-2].已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=1)=034,則P(X=0)=,E(X)=

【答案】0.660.34

【分析】由兩點(diǎn)分布的性質(zhì)及期望公式即可得出結(jié)論.

【解析】由兩點(diǎn)分布可知尸(X=0)=1-0.34=0.66,

E(X)=Ox0.66+1x0.34=0.34.

故答案為：0.66;0.34.

【變式1-3].己知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則尸(X=0)=；若y=3X-2,貝up(y=I)=

73

【答案】0.7/—0.3/—

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的基本性質(zhì)即可求解.

【解析】因?yàn)閄服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布,

所以P（X=l）=0.3,P（X=0）=l-0.3=0.7.

當(dāng)X=1時(shí)，Y=3xl-2=1,所以尸（丫=1）=尸（X=l）=0.3.

故答案為：0.7,0.3

【變式1-4】.以下各項(xiàng)中是分布的為()

2)尸oq

0

A.0.3B-11H

0.9

145207

2.457.1)f-1.21.123.4]

C.0.38O.4JD，[01-0.10.40.6J

0.2

【答案】B

【分析】分布列中各項(xiàng)概率大于0,且概率之和為1,從而得到正確答案.

【解析】由題意得，分布列中各項(xiàng)概率非負(fù)，且概率之和為1,

顯然AC選項(xiàng)不滿足概率之和為1,

D選項(xiàng)不滿足各項(xiàng)概率大于0,B選項(xiàng)滿足要求.

故選：B.

題型02等可能分布或均勻分布

【典例2?11.已知隨機(jī)變量X分布如下：\X["/它是均勻分布，則外為_(kāi)_____.

"P223Pn)

【答案】-

n

【分析】由均勻分布可知，Pl=p2=--=p?＞求解即可.

【解析】隨機(jī)變量X分布是均勻分布，所以P1=P2==Pn，

,1

P|+P2-+0“=1,P?=~.

n

故答案為：—

n

【變式2?1】.已知某個(gè)隨機(jī)變量的分布王”退，該分布是等可能分布，則p的值為_(kāi)_____

[PlPlP3)

【答案】I

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及等可能性即可求解.

【解析】由分布列的性質(zhì)得P1+P2+P3=1，且。1=。2=。3，

即可解出百=。2=。3=；.

故答案為：—.

題型03隨機(jī)變量及其分布

’-1oP

【典例3-1].已知隨機(jī)變量的分布1,則7%+〃=.

I2J

【答案】1/05

2

【分析】利用分布列的概率和為1求解即可.

【解析】由題意得隨機(jī)變量X的所有可能值得概率的和為1,

所以加+〃+工=1,解得根+〃=工

22

故答案為：y

9123、

【典例3.2】.分別拋擲3枚硬幣，正面次數(shù)X的分布如下131，其中c的值為

-c-

88J

3

【答案】-/0.375

O

【分析】利用分布列的概率和為1求解參數(shù)即可.

【解析】由題意得隨機(jī)變量X的所有可能值的概率的和為1,

故有g(shù)3+g1+g1+c=l，解得c=39

000O

3

故答案為：—

O

"-101、

【變式3-1】?設(shè)J是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布為1,c2，則實(shí)數(shù)4=________.

-1-24c\

【答案】1一叵

2

【分析】由概率大于等于0小于等于1,可以得到4的范圍；根據(jù)概率之和為1,可以計(jì)算出4的值.

0<1-2?<1

,解得…若

【解析】依題意：0<<1

—+（1-2^）+^2=1

故答案為“專

【變式3-21.一袋中裝5個(gè)大小與質(zhì)地相同的球，編號(hào)為1、2、3、4、5,從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以X表

示取出的三個(gè)球中的最大號(hào)碼，則隨機(jī)變量X的分布為(）

'345、<2345、

A.111B.2311

J33；<5W510>

,345、'345、

C.j_a3D.3J_

<10105>J1010>

【答案】C

【分析】由題意可知X可取的值為3,4,5,分別利用古典概型概率公式求相應(yīng)事件的概率，可得X的分布.

【解析】由題意可知隨機(jī)變量X表示摸出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼數(shù)，X可取的值為3、4、5,

3,P（X=3）=±1一

當(dāng)X=3時(shí),個(gè)小球編號(hào)為、、

312"''C；10,

3中的兩個(gè)，。。=4)二||=看

當(dāng)X=4時(shí),3個(gè)小球一個(gè)編號(hào)為4,另外兩個(gè)為1、2、

3、4中的兩個(gè)，尸(X=5)=冬

當(dāng)X=5時(shí),3個(gè)小球一個(gè)編號(hào)為5,另外兩個(gè)為1、2、

C；5

故選：C.

123456

【變式3-3].若隨機(jī)變量7的分布為，則x=，尸(〃W3)=

0.1尤0.350.10.150.2

【答案】0.1/—0.55/—

1020

【分析】直接由分布列第二行概率之和為1即可求出犬，再利用概率的可加性可得P(〃43).

【解析】由題意光=1—0.1—0.35—0.1—0.15—0.2=01，P（7<3）=0.1+0.1+0.35=0.55.

故答案為：0.1；0.55.

題型04隨機(jī)變量的期望與方差

135

【典例4-1].已知隨機(jī)變量X的分布為,則X的方差為

0.40.1m

【答案】3.56

【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望公式求出期望值，再利用方差公式求解即可.

【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)得0.4+0.1+"?=1,解得加=0.5,

所以E（X）=lx0.4+3x0.1+5x0.5=3.2,

所以X的方差為￡＞（X）=（l-3.2）2x0.4+（3-3.2）2x0.1+（5-3.2）2*0.5=3.56.

故答案為：3.56

"-101]

【典例4-2】.已知一個(gè)隨機(jī)變量X的分布為，1，且E[X]==，則曲=_______

ab—3

I2J

【答案7

【分析】利用隨機(jī)變量均值的性質(zhì)求解參數(shù)，再進(jìn)行乘法運(yùn)算即可.

【解析】E[X]=-lxa+lx1=V,貝!Ja=，，由a+b+1=l,得b=g,則"=

2362318

故答案為：—■

lo

，123、

【變式】.已知隨機(jī)變量的分布是,貝閭2X+a]等于（

4.1X_1_1/7

<23)

5「7c7-23

A.-B.-C.一D.——

3326

【答案】C

【分析】利用分布列求出。，求出期望即可.

【解析】由題意可得1+!+a=l,解得〃=，，

236

E[Xl=lx-+2x-+3x-=-.

L」2363

:.E2X+-=2x-+-=-,

_6]362

故選：C.

（01x}

【變式4-2】.已知隨機(jī)變量X的分布列為：11，若E（X）=：且y=3X-2,則。"）=_____.

一一p3

123口

【答案】5

【分析】先由概率之和為1,求出P,根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式求出x,再由方差的公式求出。（X）,

最后根據(jù)方差的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得!+：+0=1,解得p=J,

23o

1119

E（X）=0x—+lx-+-x=—..x=2,

v72363

22

）（」1+1二」1+2