章末綜合評價卷（四）幾何初步與三角形

（時間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項符

合題目要求）

1.（2024?廣西）如圖，2時整，鐘表的時針和分針?biāo)傻匿J角為（）

A.20°B.40°

C.60°D.80°

C[2時整，鐘表的時針和分針?biāo)傻匿J角是2><30。=60。.故選C.]

2.下列命題中，屬于假命題的是（）

A.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等

B.在同一平面內(nèi)，有且只有一條直線與已知直線垂直

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

D.對頂角相等

B[在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.故選B.]

3.（2024?四川德陽）如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中

AB//CD,DE±BC,NA3C=70。，則NEDC等于（）

A.10°B.20°

C.30°D.40°

B['：AB//CD,

：.ZC=ZB=1Q°,

■:DEIBC,

：.ZCED=90°,

ZEDC=90°-70°=20°.

故選B.]

4.[跨學(xué)科]如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直

線上的三個點A,B,C都在橫線上.若線段AC=15,則線段A3的長是()

A.5B.4

C.3D.10

D「.?五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成，

.AB_2AB_2

??-----.「I’--------.

AC3153

解得A3=10,

故選D.]

5.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AD是高，BE是中線，CT是NAC3的平

分線，CR交AD于點G,交BE于點、H,給出以下結(jié)論：?BF=AF-,②NARG

=ZAGF；?ZFAG=2ZACF；④SMBE=SABCE；⑤BH=CH.其中結(jié)論正確的有

()

A.2個B.3個

C.4個D.5個

B「「BE是△ABC的中線，

??SAABE=SABCE.

故④正確，符合題意；

是NAC3的平分線，

ZACF=ZBCF,

'JADLBC,：.ZBCF+ZCGD=9Q°,

,：NA4c=90°,

ZACF+ZAFG=90°,

：.ZCGD=ZAFG,

'：ZCGD=ZAGF,

：.ZAGF=ZAFG.

故②正確，符合題意；

'JADLBC,NR4c=90。，

ZFAG=ZACB=2ZACF.

故③正確，符合題意；

由已知條件不能確定NHBC=NHC3,

與CH的關(guān)系不能確定，故⑤錯誤，不符合題意；

是NAC3平分線，NB4c=90。，

：.BF^AF,

故①錯誤，不符合題意.

綜上，符合題意的有3個.

故選B.]

6.(2024?浙江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，/XABC與是位似圖形，位

似中心為點。.若點A(—3,1)的對應(yīng)點為A，(—6,2),則點3(—2,4)的對應(yīng)點

3'的坐標(biāo)為()

(—4,8)B.(8,-4)

(—8,4)D.(4,-8)

A「.?△ABC與△A?C是位似圖形，位似中心為點。，點4(-3,1)的對應(yīng)點

為4(-6,2),

...△ABC與的相似比為1：2,

?點3的坐標(biāo)為(-2,4),

.?.點B的對應(yīng)點夕的坐標(biāo)為(一2X2,4X2),

即(—4,8).

故選A.]

2

7.在△ABC中，若卜in4—1+(9—cosB)=0,則NC的度數(shù)是()

A.120°B.105°

C.75°D.45°

2

A[V|sin?l-1|+(y-cosB)=0,

*??sinA——=0,~~-cosB=0,

??A1

??smA=-，cosr>B=V3—.

AZA=30°,ZB=30°,

，ZC=180?！狽A—ZB=120°.

故選A.]

8.(2024?湖南)如圖，在△ABC中，點D,E分別為邊A3,AC的中點.下列結(jié)

論中，錯誤的是()

A.DE//BC

B.AADEsAABC

C.BC=2DE

1

D.SAADE=-SAABC

D「.?點D,E分別為邊A3,AC的中點,

...DE是△ABC的中位線，

：.DE//BC,BC=2DE.

故A,C選項不符合題意.

,JDE//BC,

：.AADE^AABC.

故B選項不符合題意.

^ADE^AABC,

...S"DE_,=1

S^ABC\BC)4

1

貝US^ADE=S^ABC.

4

故D選項符合題意.

故選D.]

9.（2024?浙江）如圖，正方形A3CD由四個全等的直角三角形（ZkABE,ABCF,

△CDG,△D4功和中間一個小正方形ERGH組成，連接DE.若AE=4,BE=

3,貝UDE=()

A.5B.2V6

C.V17D.4

C[RtADAH^RtAABE,

：.DH=AE=4,AH=BE=3,

：.EH=AE~AH=4-3=1,

,/四邊形EFGH是正方形，

ZDHE=90°,

：.DE=y/DH2+EH2-V42+l2=V17,

故選C.]

10.[新定義問題]（2024?四川瀘州）寬與長的比是厚的矩形叫做黃金矩形，黃金

矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感.如圖，把黃金矩形ABCD沿對角線AC翻折,

點3落在點夕處，A股交CD于點E,則sinNZME的值為（）

A.漁

5

c.-D

5-V

A[由題知，

令A(yù)D=BC=^V5—l)a,AB=CD=2a,

由翻折可知，

ZEAC=ZBAC.

?四邊形A3CD是矩形,

：.AB//CD,

：.ZDCA=ZBAC,

：.ZDCA=ZEAC,

：.AE=EC.

令DE=x,

則AE=EC=2ci—x,

在RtAADE中，

[(V5-1)a]12+x2=(2a~x)2,

解得x=與二a,

?八廠_V5-1j-,_V5—1_5—V5

??DE------CL.AAE-o2CL----------CL-----------(

222

在RtADAE中，

故選A.]

二、填空題（本大題共6小題，滿分18分.只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得

3分）

11.比較大?。篶os45°cos55。.（用“>”或填空）

>[V45°<55°,Acos45°>cos55°.]

12.（2024?江蘇鹽城）兩個相似多邊形的相似比為1：2,則它們的周長的比為

1：2廠.?兩個相似多邊形的相似比為1：2,

...兩個相似多邊形周長的比等于1：2.]

13.（2024?青海）如圖，線段AC、BD交于點O,請你添加一個條件：

使△AOBs^con

DC

AB

（答案不唯一）「.?NA03=NC0。（對頂角相等），

，只要NQ43=NOCD,ZODC=ZOBA,AB〃CD等，其中一項符合即可，答

案不唯一.]

14.（2024?山東）如圖，已知NMAN,以點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分

別與AM,AN相交于點3,C,分別以3,C為圓心，以大于匏C的長為半徑作

弧，兩弧在NAMN內(nèi)部相交于點P,作射線AP.分別以A,3為圓心，以大于

的長為半徑作弧，兩弧相交于點。，E,作直線DE分別與AB,AP相交于

點、F,Q.若A3=4,ZPQE=61.5°,則R到AN的距離為.

V2[如圖，過口作FH1AC于點H,

由作圖可得：ZBAP=ZCAP,DELAB,AF=BF=^AB=2,

,：ZPQE=61.5°,

：.NAQR=67.5。，

/.ZBAP=NC4P=90。一67.5。=22.5。，

：.ZFAH=45°,

：.AH=FH=—AF=V2,

2

.,.R到AN的距離為四.]

15.如圖，已知A3LCD于點3,A3與水平線/相交于點。，OEM.若BC=4

dm,0B=12dm,N3OE=60。,則點C到水平線l的距離CF為dm.

(結(jié)果用含根號的式子表示)

6-2V3［延長DC交/于點連接。C,

在中，ZBOH=90°-60°=30°,OB=12dm,

12Xtan30°=4A/3(dm),OH=843dm,

SAOBH=SAOCH+SAOBC,

：111

.-20B?BH=2-OH?CF+2-OB?BC,

.\jx4A/3x12=jx8A/3xCF+^X12X4,

.,.CF=(6-2V3)dm.］

16.［規(guī)律探究題］(2024?黑龍江齊齊哈爾)如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪

制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形03C置于

平面直角坐標(biāo)系中，點。的坐標(biāo)為(0,0),點3的坐標(biāo)為(1,0),點C在第一象

限，ZOBC=120°.將△03C沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x

軸重合，第一次滾動后，點。的對應(yīng)點為。，點C的對應(yīng)點為C,0c與OC

的交點為Ai,稱點Ai為第一個“花朵”的花心，點A2為第二個“花朵”的花

心；……；按此規(guī)律，△03C滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”的

花心的坐標(biāo)為

1349+674V3,司［連接43.由題知,

ZCOB=ZO'C'B=30°,BO=BC,

：.AxO=AxC,

.?.點4在OC的垂直平分線上.

?點3的坐標(biāo)為（1,0）,.*.05=1,

在RtAAiOB中,

.?.點4的坐標(biāo)為（1,y）.

依次類推，

點A2的坐標(biāo)為（3+g,y）,

點A3的坐標(biāo)為（5+2g,y）,

??.點An的坐標(biāo)為（2n-1+（n-1）V3,，）（〃為正整數(shù)）.

又?.?每滾動三次，出現(xiàn)下一個花心，

.?.2024+3=674......2,

則674+1=675,

滾動2024次后停止?jié)L動，最后一個“花朵”的花心對應(yīng)的點為點475.

當(dāng)〃=675時，

點A675的坐標(biāo)為（349+674圓?，

即滾動2024次后停止?jié)L動，最后一個“花朵”的花心的坐標(biāo)為（1349+674V3,

務(wù)1

三'解答題（本大題共5小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過

程或推演步驟）

17.（10分）（2024?四川宜賓）如圖，點。，E分別是等邊三角形A3C邊BC,AC

上的點，且BE與AD交于點F.求證：AD=BE.

A

［證明］..?△ABC為等邊三角形，

AZABD=ZC=6Q°,AB=BC,

(AB=BC,

在△ABD和ABCE中,{z.ABD=^C,

\BD=CE,

，AABD^△BCE(SAS),

：.AD=BE.

18.(12分)［情境題］如圖，在筆直的公路A3旁有一座山，從山另一邊的C處到

公路上的停靠站A的距離為AC=15km,與公路上另一?？空綛的距離為BC=

20km,停靠站A,3之間的距離為A3=25km,為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路A3

上的。處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CDLAB.

(1)請判斷△ABC的形狀.

(2)求修建的公路CD的長.

［解］(l)ZkABC是直角三角形.

VAC=15km,BC=20km,AB=25km,

152+202=252,

:.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=9Q°,

：.AABC是直角三角形.

(2)'：CD±AB,

11

：.S^ABC=1AB?CD=|AC?BC,

.nAAC?BC15X20、

..CD=--------=-------=12(km).

AB25''

答：修建的公路CD的長是12km.

19.(16分)［探究題］(2024?黑龍江龍東)已知AABC是等腰三角形，AB=AC,

ZMAN=^ZBAC,NMAN在NR4c的內(nèi)部，點M,N在3c上，點航在點N的

左側(cè)，探究線段NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖］當(dāng)NA4C=90。時，探究如下：

由NA4c=90。，A3=AC可知，將△ACN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ABP,

則CN=3P且NP3Af=90°,連接PM,易證△AMP四/XAMN,可得MP=AfN,

在中，BM2+BP2=MP2,則有3M2+NC2=MN2.

(2)當(dāng)NA4c=60。時，如圖2；當(dāng)NA4c=120。時，如圖3,分別寫出線段

NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖2或圖3進(jìn)行證明.

［解］(2)圖2的結(jié)論是即廬+刈^+即八刈7="嚴(yán).

證明：'：AB=AC,

ZBAC=60°,

，△ABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=60°,

以點B為頂點在△ABC外作NA3K=60。，在BK上截取BQ=CN,連接QA,

QM,過點。作QHLBC,垂足為

'：AB=AC,/C=/ABQ,CN=BQ,

：.XACN空△ABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB.

又：ZCAN+ZBAM=30°,

ZBAM+ZQAB=3Q°,

即NQAM=NMAN,

又

△AQM等AAW(SAS),

：.MN=QM.

VZABQ=6Q°,ZABC=6Q°,

：.ZQBH=6Q°,

：./BQH=30。,

，BH三BQ,QH=^-BQ,

-1

在中，可得：QH2+HM2=QM2,

即GBQ,+(BM+TBQ)2=QM2,

整理得BM2-\-BQ2+BM?BQ=QM2.

：.BM2+NC2+BM?NC=MN1.

圖3的結(jié)論是：BM2+NC2-BM?NC=MN2.

證明：以點B為頂點在△ABC外作NA3K=30。，在BK上截取BQ=CN,連接

QA,QM,過點。作QHL3C,垂足為H,

'：AB=AC,ZC=ZABQ,CN=BQ,

：.AACN/△ABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB,

又ZCAN+ZBAM=60°,

ZBAM+ZQAB=60°,即ZQAM=ZMAN,

又

△AQM注△ANM(SAS),

：.MN=QM,

在中，ZQBH=60°,/BQH=30°,

:.BH三BQ,QH=^-BQ,

HM=BM-BH=BM~^BQ,

在中，可得：。82+”“2=°”2,

即gBQ,+（BM-|BQ）2=Q〃2,

整理得BM2+BQ2-BM?BQ=QM1.

：.BM2+NC2~BM?NC=MN1.

（選擇一個證明即可）

20.（17分）［項目式學(xué)習(xí)試題］（2024?貴州）綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形

知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí).

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底

部3處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC的夾角為NA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.（直線為法

線，A。為入射光線，。。為折射光線）

【測量數(shù)據(jù)】

如圖，點A,B,C,D,E,F,O,N,V在同一平面內(nèi)，測得AC=20cm,NA

=45°,折射角NDON=32。.

【問題解決】

根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）求3c的長；

（2）求3,。之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）.

（參考數(shù)據(jù)：sin32°^0.52,cos32°^0.84,tan32°^0.62）

［解］（1）在RtZXABC中，ZA=45°,

/.ZB=45°,：.BC=AC=2Qcm.

（2）由題意可知ON=EC=IC=10cm,

：.NB=ON=10cm.

又：ZDON=32°,

：.DN=ON?tanZDON=10?tan32°^10X0.62=6.2（cm）,

：.BD=BN~DN=10-6.2=3.8（cm）.

21.（17分）［探究題］（2024?內(nèi)蒙古赤峰）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們

經(jīng)過小組討論，提出探究問題.如圖1,在△ABC中，AB=AC,點。是AC上

的一個動點，過點。作DE,3c于點E,延長ED交B4延長線于點F.

請你解決下面各組提出的問題:

⑴求證：AD=AF；

⑵探究器與器的關(guān)系：

DEDC

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)?9時，下=|;

DC3DE3

請你繼續(xù)探究：

①當(dāng)照=9寸，直接寫出差的值；

DC6DE

②當(dāng)*時，猜想會的值（用含機(jī)，〃的式子表示），并證明；

DCTlDE

⑶拓展應(yīng)用：在圖1中，過點R作b，AC,垂足為點P,連接CE得到圖2,

當(dāng)點。運動到使乙4中=乙4/時，若,=:,直接寫出黑的值（用含機(jī)，〃的

式子表不）.

［解］（1）證明：?.?ABnAC,

ZB=ZC,

'：DE±BC,

：.ZBEF=ZCED=90°,

：.ZF=9Q°-ZB,ZCDE=9Q°~ZC,