§10.4隨機(jī)事件與概率課標(biāo)要求1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.1.樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示.全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的，常用Ω表示.②有限樣本空間：如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示.③隨機(jī)事件的極端情形：、.2.兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生相等關(guān)系B?A且A?B并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個發(fā)生A∪B或A+B交事件(積事件)事件A與事件B同時發(fā)生互斥(互不相容)事件A與事件B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有；

(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性.4.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝＝n(其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù).5.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝；

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝；

性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以；

性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝.6.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.()(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.()(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.()2.甲、乙等五人站成一排，其中為互斥事件的是()A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙站排尾”C.“甲站排頭”與“乙不站排頭”D.“甲不站排頭”與“乙不站排頭”3.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.84.拋擲一枚骰子，記事件A為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝，P(A∩B)＝.1.當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時，不一定對立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對立時，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.2.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An).題型一隨機(jī)事件的關(guān)系命題點(diǎn)1隨機(jī)事件關(guān)系的判斷例1(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：E＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，G＝“點(diǎn)數(shù)大于2”，H＝“點(diǎn)數(shù)小于2”，R＝“點(diǎn)數(shù)為3”，則下列結(jié)論正確的是()A.E，F(xiàn)為對立事件B.G，H為互斥不對立事件C.E，G是互斥事件D.G，R是互斥事件命題點(diǎn)2利用互斥、對立事件求概率例2(1)(多選)下列說法正確的有()A.若事件A?B，則P(A)≤P(B)B.若A，B為對立事件，則P(A)+P(B)＝1C.若A，B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)+P(B)D.P(A∪B)<P(A)+P(B)(2)某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.2，則這個射手在一次射擊中射中環(huán)數(shù)不夠7環(huán)的概率為.命題點(diǎn)3利用頻率估計(jì)概率例3(多選)下列命題正確的是()A.隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值B.拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是9C.有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則一定有190件正品，10件次品D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則可得拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的概率是0.51思維升華事件關(guān)系的運(yùn)算策略進(jìn)行事件的運(yùn)算時，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.當(dāng)事件是由互斥事件組成時，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式.跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則下列選項(xiàng)中事件E與事件F互斥卻不對立的是()A.事件E：3個球中至少有1個紅球；事件F：3個球中至少有1個白球B.事件E：3個球中恰有1個紅球；事件F：3個球中恰有1個白球C.事件E：3個球中至多有2個紅球；事件F：3個球中至少有2個白球D.事件E：3個球中至多有1個紅球；事件F：3個球中至多有1個白球(2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.5，P(B)＝0.3，則P(A)＝.題型二古典概型例4(1)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.13 C.12(2)(2025·八省聯(lián)考)有8張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·宜賓模擬)某學(xué)校開展“五育并舉”的選修課，其中體育開設(shè)了6門課，分別為籃球、足球、排球、網(wǎng)球、羽毛球、乒乓球，甲、乙兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各選擇2門課學(xué)習(xí)，則甲、乙選修的體育課中至少有1門相同的概率為()A.13 B.23 C.35(2)將1個0，2個1，2個2隨機(jī)排成一行，則2個1不相鄰的概率為()A.35 B.45 C.25題型三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題例5(2024·綿陽模擬)為了驗(yàn)證甲、乙兩種藥物對治療某種疾病的效果，某科研單位用兩種藥物對患有該疾病的患者進(jìn)行臨床藥物實(shí)驗(yàn).隨機(jī)抽取患有該疾病的患者200人，其中100人注射甲藥物，另外100人注射乙藥物，實(shí)驗(yàn)完成后，得到如下統(tǒng)計(jì)表：效果明顯效果不明顯合計(jì)甲藥物7624100乙藥物8416100合計(jì)16040200(1)分別估計(jì)注射甲、乙兩種藥物的治療效果明顯的概率；(2)根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析甲、乙兩種藥物對治療該種疾病的效果是否有差異；(3)從樣本中對甲、乙兩種藥物治療效果不明顯的患者采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出5人，然后從5人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步藥物實(shí)驗(yàn)，求這兩人中至少有一人是注射甲藥物的概率.參考公式：χ2＝n(ad?bc)2(a+b)(臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828思維升華求解概率的綜合問題時，一要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型，二要根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練3某校為增強(qiáng)學(xué)生國防意識，組織了一次國防知識競賽活動，為了解本次競賽活動的成績，隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生并統(tǒng)計(jì)其成績(單位：分，滿分200分)，按照[120，130)，[130，140)，[140，150)，[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190)，[190，200]分成8組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并求這1000名學(xué)生中成績在[120，170)的學(xué)生人數(shù)；(2)若按照按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從競賽成績在[170，180)和[180，190)內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取9名，再從這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名參加講座，求這3名學(xué)生來自不同組的概率.

答案精析落實(shí)主干知識1.(1)①基本結(jié)果樣本空間(2)③必然事件不可能事件2.A?BA＝BA∩B或ABA∩B＝?，且A∪B＝Ω3.(1)有限個(2)相等4.k5.P(A)≥0P(A)+P(B)1－P(B)0≤P(A)≤1P(A)+P(B)－P(A∩B)自主診斷1.(1)×(2)√(3)√(4)×2.A[因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排頭”不能同時發(fā)生，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排尾”可以同時發(fā)生，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時發(fā)生，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)椤凹撞徽九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時發(fā)生，所以選項(xiàng)D不正確.]3.B[由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.]4.23解析[拋擲一枚骰子，所有可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，5，6，共6個樣本點(diǎn)，事件A∪B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1，3，5，6，共4個樣本點(diǎn)，故P(A∪B)＝23事件A∩B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3，共1個樣本點(diǎn)，故P(A∩B)＝16.探究核心題型例1AB[“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”與“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以E，F(xiàn)是對立事件，選項(xiàng)A正確；“點(diǎn)數(shù)大于2”與“點(diǎn)數(shù)小于2”不可能同時發(fā)生，且不是必有一個發(fā)生，所以G，H為互斥不對立事件，選項(xiàng)B正確；“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”與“點(diǎn)數(shù)大于2”可能同時發(fā)生，E，G不是互斥事件，選項(xiàng)C不正確；“點(diǎn)數(shù)大于2”與“點(diǎn)數(shù)為3”可能同時發(fā)生，G，R不是互斥事件，選項(xiàng)D不正確.]例2(1)ABC[若事件B包含事件A，則P(A)≤P(B)，故A正確；若A，B為對立事件，則P(A)+P(B)＝1，故B正確；若A，B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)+P(B)，故C正確；因?yàn)镻(A∪B)＝P(A)+P(B)－P(AB)，所以當(dāng)A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)+P(B)，故D錯誤.](2)0.11解析記“射中環(huán)數(shù)不夠7環(huán)”為事件D，則事件D為“射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán)或7環(huán)”，所以P(D)＝0.21+0.23+0.25+0.2＝0.89，所以P(D)＝1－P(D)＝1－0.89＝0.11.例3AB[隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，故A正確；拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是18100＝9有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則不一定抽取到190件正品和10件次品，故C錯誤；100次并不是無窮多次，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則不能得出拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的概率是0.51，故D錯誤.]跟蹤訓(xùn)練1(1)B[對于A，事件E與事件F可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件E與事件F不是互斥事件，故A錯誤；對于B，事件E與事件F不可能同時發(fā)生，但不是一定有一個發(fā)生，還有可能是3個白球或3個紅球，所以事件E與事件F互斥卻不對立，故B正確；對于C，事件E與事件F可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件E與事件F不是互斥事件，故C錯誤；對于D，事件E與事件F不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以事件E與事件F是互斥事件也是對立事件，故D錯誤.](2)0.8解析因?yàn)槭录嗀和B互斥，則P(A∪B)＝P(A)+P(B)＝P(A)+0.3＝0.5，解得P(A)＝0.2，故P(A)＝1－P(A)＝0.8.例4(1)B[從甲、乙兩人中選一人站在排尾有C21種排法，丙站在中間兩位有C21種排法，其余2空2人全排列有A22種，故共有C21·824＝(2)3解析從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)個數(shù)為C83＝56，因?yàn)?+2+3+4+5+6+7+8＝36，所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8，7，3或8，6，4或7，6，5共3種，所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18的樣本點(diǎn)有3個，所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為356跟蹤訓(xùn)練2(1)C[由題意，甲、乙選修的體育課中沒有相同科目的概率為C62C42C6(2)A[將1個0，2個1，2個2隨機(jī)排成一行，共有A55A22A22＝30(種)排法，其中，2個1不相鄰的排法有例5解(1)由題意可知，注射甲藥物的患者共100人，治療效果明顯的有76人，故注射甲藥物治療效果明顯的概率為P1＝76100注射乙藥物的患者共100人，治療效果明顯的有84人，故注射乙藥物治療效果明顯的概率為P2＝84100(2)零假設(shè)為H0：甲、乙兩種藥物對治療該種疾病的效果沒有差異，由表中的數(shù)據(jù)可知，χ2＝200×2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以可以認(rèn)為甲、乙兩種藥物對治療該種疾病的效果沒有差異.(3)因?yàn)榧住⒁覂煞N藥物治療效果不明顯的患者分別有24人、16人，所以從樣本中對甲、乙兩種藥物治療效果不明顯的患者中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出5名患者，應(yīng)從甲、乙兩種藥物治療效果不明顯的患者中分別抽取3人、2人，從5人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步藥物實(shí)驗(yàn)，兩人中至少有一人是注射甲藥物的概率為P＝C31C跟蹤訓(xùn)練3解(1)依題意，(0.005+0.01+a+0.025+a+0.01+0.005+0.005)×10＝1，解得a＝0.02，所以成績在[120，170)的頻率為0.05+0.1+0.2+0.25+0.2＝0.8，所以這1000名學(xué)生中成績在[120，170)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為1000×0.8＝800.(2)因?yàn)?.01∶0.005＝2∶1，所以按照按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從成績在[170，180)和[180，190)內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取9名，則需從成績在[170，180)和[180，190)內(nèi)的學(xué)生中分別抽取6名和3名，設(shè)事件M為“從這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名參加講座，這3名學(xué)生來自不同組”，則P(M)＝C63+C33C9所以從這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名參加講座，這3名學(xué)生來自不同組的概率為34

10.4隨機(jī)事件與概率課標(biāo)要求1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.1.樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示.全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示.②有限樣本空間：如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示.③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件.2.兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA=B并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個發(fā)生A∪B或A+B交事件(積事件)事件A與事件B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)事件A與事件B不能同時發(fā)生A∩B=?互為對立事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生A∩B=?，且A∪B=Ω3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.4.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)=kn=n其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù).5.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).6.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(×)(2)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.(√)(3)從-3，-2，-1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(√)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.(×)2.甲、乙等五人站成一排，其中為互斥事件的是()A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙站排尾”C.“甲站排頭”與“乙不站排頭”D.“甲不站排頭”與“乙不站排頭”答案A解析因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排頭”不能同時發(fā)生，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排尾”可以同時發(fā)生，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時發(fā)生，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)椤凹撞徽九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時發(fā)生，所以選項(xiàng)D不正確.3.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案B解析由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1，故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.4.拋擲一枚骰子，記事件A為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)=，P(A∩B)=.

答案23解析拋擲一枚骰子，所有可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，5，6，共6個樣本點(diǎn)，事件A∪B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1，3，5，6，共4個樣本點(diǎn)，故P(A∪B)=23事件A∩B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3，共1個樣本點(diǎn)，故P(A∩B)=161.當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時，不一定對立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對立時，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.2.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).題型一隨機(jī)事件的關(guān)系命題點(diǎn)1隨機(jī)事件關(guān)系的判斷例1(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，G=“點(diǎn)數(shù)大于2”，H=“點(diǎn)數(shù)小于2”，R=“點(diǎn)數(shù)為3”，則下列結(jié)論正確的是()A.E，F(xiàn)為對立事件B.G，H為互斥不對立事件C.E，G是互斥事件D.G，R是互斥事件答案AB解析“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”與“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以E，F(xiàn)是對立事件，選項(xiàng)A正確；“點(diǎn)數(shù)大于2”與“點(diǎn)數(shù)小于2”不可能同時發(fā)生，且不是必有一個發(fā)生，所以G，H為互斥不對立事件，選項(xiàng)B正確；“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”與“點(diǎn)數(shù)大于2”可能同時發(fā)生，E，G不是互斥事件，選項(xiàng)C不正確；“點(diǎn)數(shù)大于2”與“點(diǎn)數(shù)為3”可能同時發(fā)生，G，R不是互斥事件，選項(xiàng)D不正確.命題點(diǎn)2利用互斥、對立事件求概率例2(1)(多選)下列說法正確的有()A.若事件A?B，則P(A)≤P(B)B.若A，B為對立事件，則P(A)+P(B)=1C.若A，B為互斥事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B)D.P(A∪B)<P(A)+P(B)答案ABC解析若事件B包含事件A，則P(A)≤P(B)，故A正確；若A，B為對立事件，則P(A)+P(B)=1，故B正確；若A，B為互斥事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B)，故C正確；因?yàn)镻(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，所以當(dāng)A，B互斥時，P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D錯誤.(2)某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.2，則這個射手在一次射擊中射中環(huán)數(shù)不夠7環(huán)的概率為.

答案0.11解析記“射中環(huán)數(shù)不夠7環(huán)”為事件D，則事件D為“射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán)或7環(huán)”，所以P(D)=0.21+0.23+0.25+0.2=0.89，所以P(D)=1-P(D)=1-0.89=0.11.命題點(diǎn)3利用頻率估計(jì)概率例3(多選)下列命題正確的是()A.隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值B.拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是9C.有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則一定有190件正品，10件次品D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則可得拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的概率是0.51答案AB解析隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，故A正確；拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是18100=950，故有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則不一定抽取到190件正品和10件次品，故C錯誤；100次并不是無窮多次，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則不能得出拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的概率是0.51，故D錯誤.思維升華事件關(guān)系的運(yùn)算策略進(jìn)行事件的運(yùn)算時，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.當(dāng)事件是由互斥事件組成時，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式.跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則下列選項(xiàng)中事件E與事件F互斥卻不對立的是()A.事件E：3個球中至少有1個紅球；事件F：3個球中至少有1個白球B.事件E：3個球中恰有1個紅球；事件F：3個球中恰有1個白球C.事件E：3個球中至多有2個紅球；事件F：3個球中至少有2個白球D.事件E：3個球中至多有1個紅球；事件F：3個球中至多有1個白球答案B解析對于A，事件E與事件F可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件E與事件F不是互斥事件，故A錯誤；對于B，事件E與事件F不可能同時發(fā)生，但不是一定有一個發(fā)生，還有可能是3個白球或3個紅球，所以事件E與事件F互斥卻不對立，故B正確；對于C，事件E與事件F可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件E與事件F不是互斥事件，故C錯誤；對于D，事件E與事件F不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以事件E與事件F是互斥事件也是對立事件，故D錯誤.(2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，則P(A)=.

答案0.8解析因?yàn)槭录嗀和B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+0.3=0.5，解得P(A)=0.2，故P(A)=1-P(A)=0.8.題型二古典概型例4(1)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.13 C.12答案B解析從甲、乙兩人中選一人站在排尾有C21種排法，丙站在中間兩位有C21種排法，其余2空2人全排列有A22種，故共有C21·C21·(2)(2025·八省聯(lián)考)有8張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.

答案3解析從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)個數(shù)為C83因?yàn)?＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18，則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8，7，3或8，6，4或7，6，5共3種，所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18的樣本點(diǎn)有3個，所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為356思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·宜賓模擬)某學(xué)校開展“五育并舉”的選修課，其中體育開設(shè)了6門課，分別為籃球、足球、排球、網(wǎng)球、羽毛球、乒乓球，甲、乙兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各選擇2門課學(xué)習(xí)，則甲、乙選修的體育課中至少有1門相同的概率為()A.13 B.23 C.35答案C解析由題意，甲、乙選修的體育課中沒有相同科目的概率為C62C42C62C62=(2)將1個0，2個1，2個2隨機(jī)排成一行，則2個1不相鄰的概率為()A.35 B.45 C.25答案A解析將1個0，2個1，2個2隨機(jī)排成一行，共有A55其中，2個1不相鄰的排法有A33A2故所求概率為1830=3題型三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題例5(2024·綿陽模擬)為了驗(yàn)證甲、乙兩種藥物對治療某種疾病的效果，某科研單位用兩種藥物對患有該疾病的患者進(jìn)行臨床藥物實(shí)驗(yàn).隨機(jī)抽取患有該疾病的患者200人，其中100人注射甲藥物，另外100人注射乙藥物，實(shí)驗(yàn)完成后，得到如下統(tǒng)計(jì)表：效果明顯效果不明顯合計(jì)甲藥物7624100乙藥物8416100合計(jì)16040200(1)分別估計(jì)注射甲、乙兩種藥物的治療效果明顯的概率；(2)根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析甲、乙兩種藥物對治療該種疾病的效果是否有差異；(3)從樣本中對甲、乙兩種藥物治療效果不明顯的患者采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出5人，然后從5人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步藥物實(shí)驗(yàn)，求這兩人中至少有一人是注射甲藥物的概率.參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由題意可知，注射甲藥物的患者共100人，治療效果明顯的有76人，故注射甲藥物治療效果明顯的概率為P1=76100=19注射乙藥物的患者共100人，治療效果明顯的有84人，故注射乙藥物治療效果明顯的概率為P2=84100=21(2)零假設(shè)為H0：甲、乙兩種藥物對治療該種疾病的效果沒有差異，由表中的數(shù)據(jù)可知，χ2=200×(76×16?24根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以可以認(rèn)為甲、乙兩種藥物對治療該種疾病的效果沒有差異.(3)因?yàn)榧?、乙兩種藥物治療效果不明顯的患者分別有24人、16人，所以從樣本中對甲、乙兩種藥物治療效果不明顯的患者中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出5名患者，應(yīng)從甲、乙兩種藥物治療效果不明顯的患者中分別抽取3人、2人，從5人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步藥物實(shí)驗(yàn)，兩人中至少有一人是注射甲藥物的概率為P=C31C21思維升華求解概率的綜合問題時，一要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型，二要根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練3某校為增強(qiáng)學(xué)生國防意識，組織了一次國防知識競賽活動，為了解本次競賽活動的成績，隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生并統(tǒng)計(jì)其成績(單位：分，滿分200分)，按照[120，130)，[130，140)，[140，150)，[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190)，[190，200]分成8組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并求這1000名學(xué)生中成績在[120，170)的學(xué)生人數(shù)；(2)若按照按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從競賽成績在[170，180)和[180，190)內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取9名，再從這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名參加講座，求這3名學(xué)生來自不同組的概率.解(1)依題意，(0.005+0.01+a+0.025+a+0.01+0.005+0.005)×10=1，解得a=0.02，所以成績在[120，170)的頻率為0.05+0.1+0.2+0.25+0.2=0.8，所以這1000名學(xué)生中成績在[120，170)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為1000×0.8=800.(2)因?yàn)?.01∶0.005=2∶1，所以按照按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從成績在[170，180)和[180，190)內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取9名，則需從成績在[170，180)和[180，190)內(nèi)的學(xué)生中分別抽取6名和3名，設(shè)事件M為“從這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名參加講座，這3名學(xué)生來自不同組”，則P(M)=C63+C33C93=2184=1所以從這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名參加講座，這3名學(xué)生來自不同組的概率為34課時精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.從5個男生、2個女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是()A.3個都是男生 B.至少有1個男生C.3個都是女生 D.至少有1個女生答案B解析從5個男生、2個女生中任意選派3人，由于女生只有2名，故至少有1個男生是必然事件.2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲2025次，那么第2024次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.12024 B.12025 C.20242025答案D解析由概率的性質(zhì)得，無論試驗(yàn)多少次，概率始終不變，故第2024次出現(xiàn)正面朝上的概率是123.若P(A∩B)=19，P(A)=23，P(B)=A.事件A與事件B不互斥B.事件A與事件B不對立C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A∪B)=2答案D解析∵P(A∩B)=19，∴A與B能同時發(fā)生，∴事件A與事件B不互斥、不對立，故A，B∵P(A)=23，∴P(A)=13，又∵P(B)=13，∴P(A)P(B)=19=P(P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=13+13-19=594.根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù).算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子(用竹子、木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成)以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示.如果用算籌隨機(jī)擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌一樣多的概率為()A.19 B.1181 C.1781答案C解析用算籌隨機(jī)擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，共可以擺出9×9=81(個)兩位數(shù)，其中個位和十位上的算籌個數(shù)都為1的有1×1=1(個)，個位和十位上的算籌個數(shù)都為2的兩位數(shù)有2×2=4(個)，個位和十位上的算籌個數(shù)都為3的兩位數(shù)有2×2=4(個)，個位和十位上的算籌個數(shù)都為4的兩位數(shù)有2×2=4(個)，個位和十位上的算籌個數(shù)都為5的兩位數(shù)有2×2=4(個)，共有4×4+1=17(個)，所以個位和十位上的算籌一樣多的概率為1781二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·哈爾濱模擬)一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個球.事件A=“兩次取到的球顏色相同”，事件B=“第二次取到紅球”，事件C=“第一次取到紅球”.下列說法正確的是()A.A?BB.事件B與事件C是互斥事件C.P(AB)=2D.P(B+C)=2答案CD解析由題意可得，事件A包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，綠)}，事件B包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，紅)}，事件C包含的取球顏色為{(紅，紅)，(紅，綠)}，則A不包含于B，選項(xiàng)A錯誤；B∩C≠?，選項(xiàng)B錯誤；事件AB包含的取球顏色為{(紅，紅)}，P(AB)=C42C102事件B+C包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，紅)，(紅，綠)}，P(B+C)=4×3+6×4×26.某冷飲店為了保證顧客能買到當(dāng)天制作的雙皮奶，同時盡量減少滯銷，統(tǒng)計(jì)了30天的銷售情況，得到如下數(shù)據(jù)：日銷售量/杯[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]天數(shù)46956以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，則下列結(jié)論正確的是()A.估計(jì)平均每天銷售50杯雙皮奶(同一組區(qū)間以中點(diǎn)值為代表)B.若當(dāng)天準(zhǔn)備55杯雙皮奶，則售罄的概率為11C.若當(dāng)天準(zhǔn)備45杯雙皮奶，則賣不完的概率為1D.這30天雙皮奶日銷售量的80%分位數(shù)是65杯答案BCD解析平均每天雙皮奶的銷售量為30×4+40A錯誤；日銷售量不小于55杯的概率為5+630=1130，日銷售量小于45杯的概率為4+630=13，1-630=0.8，因此這30天雙皮奶日銷售量的80%分位數(shù)是65杯，D正確三、填空題(每小題5分，共10分)7.一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的9個紅球，3個白球，若干個綠球，每次搖勻后隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.4，則袋中約有綠球個.

答案8解析因?yàn)橥ㄟ^大量重復(fù)的摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到綠球的頻率穩(wěn)定在0.4，所以摸到綠球的概率為0.4，設(shè)不透明的袋中有x個綠球，因?yàn)榇羞€有9個紅球，3個白球，所以x9+3+x=0.4，解得8.通過手機(jī)驗(yàn)證碼注冊某APP時，收到的驗(yàn)證碼由四個數(shù)字a1a2a3a4(其中ai∈{0，1，2，…，9}，i=1，2，3，4)隨機(jī)組成，如果驗(yàn)證碼a1a2a3a4滿足a1<a2<a3<a4，則稱該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼.某人收到一個驗(yàn)證碼，則它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為.

答案7解析由題意設(shè)該驗(yàn)證碼為a1a2a3a4，則a1=2，2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4從3，4，5，6，7，8，9中選，選出3個數(shù)，讓其按照從小到大的順序排列有C73又四位驗(yàn)證碼共有10×10×10×10=10000(種)排法，∴它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為3510000=7四、解答題(共28分)9.(13分)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(6分)(2)某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生不少于2人的概率.(7分)解(1)由題意，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為C33C故A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1-1100=9