云南省曲靖市宣威民族中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．2 B． C． D．2．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．中至少有兩個(gè)偶數(shù) B．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．都是奇數(shù) D．都是偶數(shù)3．在2018年初的高中教師信息技術(shù)培訓(xùn)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，哈爾濱市高中教師的培訓(xùn)成績(jī)X～N(85,9)，若已知，則從哈爾濱市高中教師中任選一位教師，他的培訓(xùn)成績(jī)大于90的概率為（）A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.154．設(shè),且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．5．“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是楊輝三角數(shù)陣，記為圖中第行各個(gè)數(shù)之和，為的前項(xiàng)和，則A．1024 B．1023 C．512 D．5116．將函數(shù)的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的一個(gè)可能取值為A． B． C．0 D．7．已知復(fù)數(shù)z=1+i1-i(i是虛數(shù)單位)，則A．-i B．-1 C．i D．8．若直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則的值為（）A． B．1 C． D．010．已知，則展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．11．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位12．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意的都有，，若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小值是___．14．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若，且，則數(shù)列的公比__________.15．如圖，在正三棱柱中，分別是的中點(diǎn).設(shè)是線段上的（包括兩個(gè)端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)______．16．_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）繼共享單車(chē)之后，又一種新型的出行方式------“共享汽車(chē)”也開(kāi)始亮相南昌市，一款共享汽車(chē)在南昌提供的車(chē)型是“吉利”.每次租車(chē)收費(fèi)按行駛里程加用車(chē)時(shí)間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里＋0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點(diǎn)10公里，每次租用共享汽車(chē)上、下班，由于堵車(chē)因素，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)40次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的情況如下：時(shí)間（分鐘）次數(shù)814882以各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間，范圍為分鐘.（1）若李先生上、下班時(shí)租用一次共享汽車(chē)路上開(kāi)車(chē)不超過(guò)45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)是4次使用共享汽車(chē)中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽車(chē)，一個(gè)月（以20天計(jì)算）平均用車(chē)費(fèi)用大約是多少（同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.18．（12分）已知數(shù)列滿足，且≥（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，是的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線和所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20．（12分）如圖，在以為頂點(diǎn)的多面體中，面，，，，，（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D中作出平面，使得平面，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）證明：平面.21．（12分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵中，.（1）求證：四棱錐為陽(yáng)馬；并判斷四面體是否為鱉臑，若是，請(qǐng)寫(xiě)出各個(gè)面的直角（要求寫(xiě)出結(jié)論）.（2）若，當(dāng)陽(yáng)馬體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.22．（10分）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知.(1)求；(2)若的面積為，，，求，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值．【詳解】，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，∴已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，.故選D．本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．解題時(shí)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減，從而確定最值，在閉區(qū)間的最值有時(shí)可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，要注意比較．2、B【解析】

用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】解：用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為“中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選：B.本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，求一個(gè)命題的否定，屬于中檔題.3、D【解析】

先求出,再求出培訓(xùn)成績(jī)大于90的概率.【詳解】因?yàn)榕嘤?xùn)成績(jī)X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，所以P(X＞90)=，所以培訓(xùn)成績(jī)大于90的概率為0.15.故答案為：D.（1）本題主要考查正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)解答正態(tài)分布問(wèn)題，不要死記硬背，要根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解答.4、B【解析】

利用不等式性質(zhì)判斷或者舉反例即可.【詳解】對(duì)A,當(dāng)時(shí)不滿足對(duì)B,因?yàn)閯t成立.故B正確.對(duì)C,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.對(duì)D,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.故選：B本題主要考查了不等式的性質(zhì)運(yùn)用等,屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解析】

依次算出前幾行的數(shù)值，然后歸納總結(jié)得出第行各個(gè)數(shù)之和的通項(xiàng)公式，最后利用數(shù)列求和的公式，求出【詳解】由題可得：，，，，，依次下推可得：，所以為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故；故答案選B本題主要考查楊輝三角的規(guī)律特點(diǎn)，等比數(shù)列的定義以及前項(xiàng)和的求和公式，考查學(xué)生歸納總結(jié)和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、B【解析】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后，

得到函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為再根據(jù)所得函數(shù)為偶函數(shù)，可得故的一個(gè)可能取值為：故選B．7、D【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)z表示為一般形式，于是可得出復(fù)數(shù)z的虛部?！驹斀狻俊遺=1+i1-i=1+i21-i1+i本題考查復(fù)數(shù)的概念，解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算律將復(fù)數(shù)表示為一把形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解析】

根據(jù)橢圓1（b＞0）得出≠3，運(yùn)用直線恒過(guò)（0，2），得出1，即可求解答案．【詳解】橢圓1（b＞0）得出≠3，∵若直線∴直線恒過(guò)（0，2），∴1,解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．9、D【解析】

求出的導(dǎo)函數(shù)，代入即得答案.【詳解】根據(jù)題意，，所以，故選D.本題主要考查導(dǎo)函的四則運(yùn)算，比較基礎(chǔ).10、B【解析】

==﹣1，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=﹣?，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為﹣?=﹣，故選B本題考查集合的混合運(yùn)算.11、B【解析】

=cos2x,=,所以只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得到故選B12、A【解析】

構(gòu)造新函數(shù)，由可得為單調(diào)減函數(shù)，由可得為奇函數(shù)，從而解得的取值范圍.【詳解】解：令因?yàn)椋詾镽上的單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)椋?，即，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，故，即為，化簡(jiǎn)得，即，即，由單調(diào)性有，解得，故選A.本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由題意構(gòu)造出新函數(shù)，研究其性質(zhì)，從而解題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

換元將原式化為：進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】令，，則，所以，即所求最小值為1.故答案為：1.這個(gè)題目考查了對(duì)數(shù)型的復(fù)合函數(shù)的最值問(wèn)題，研究函數(shù)最值一般先從函數(shù)的單調(diào)性入手，而復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，由內(nèi)外層共同決定.14、2【解析】

本題可以點(diǎn)把轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于公比的一元二次方程，再根據(jù)遞增數(shù)列得出結(jié)論?！驹斀狻?，或因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列所以要注意一個(gè)遞增的等比數(shù)列，它的公比大于1。15、【解析】

以E為原點(diǎn)，EA,EC為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用空間向量法求得t，進(jìn)一步求得BD.【詳解】以E為原點(diǎn)，EA,EC為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖．解得t=1，所以，填．利用空間向量求解空間角與距離的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.16、【解析】

設(shè),則,然后根據(jù)定積分公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè),則,所以===.故答案為:.本題考查了定積分的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）542元.【解析】試題分析：（1）首先求為最優(yōu)選擇的概率是，故ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），進(jìn)而求得分布列和期望值；（2）根據(jù)題意得到每次花的平均時(shí)間為35.5，根據(jù)花的費(fèi)用為10+35.5*0.1得到費(fèi)用.解析：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽車(chē)，為最優(yōu)選擇的概率依題意ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），，，，，，∴ξ的分布列為：ξ01234P（或）．（Ⅱ）每次用車(chē)路上平均花的時(shí)間（分鐘）每次租車(chē)的費(fèi)用約為10+35.5×0.1=13.55元．一個(gè)月的平均用車(chē)費(fèi)用約為542元．18、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】分析：（1）兩邊同時(shí)除以，構(gòu)造的遞推表達(dá)式，求解通項(xiàng)公式。（2）用裂項(xiàng)相消法求解。詳解：（1）∵∴∴，即∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為1.∴∴(2)由（1），==∴數(shù)列的前項(xiàng)和==+++++=點(diǎn)睛：，兩邊同時(shí)除以，構(gòu)造新數(shù)列，化簡(jiǎn)為數(shù)列的遞推表達(dá)式，推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。求分式結(jié)構(gòu)，數(shù)列為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，用裂項(xiàng)相消。19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；（2）由于，可得或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出【詳解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，異面直線和所成的角是本題考查三棱錐體積公式的計(jì)算，異面直線所成的夾角，屬于基礎(chǔ)題20、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面；根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系和平行關(guān)系可知四邊形是平行四邊形，得；又，利用線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得平面平面，根據(jù)面面平行性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅱ）易知是邊長(zhǎng)為的正三角形，從而根據(jù)角度關(guān)系可求得，結(jié)合，可利用線面垂直判定定理證得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）如圖，取中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面理由如下：，且四邊形是平行四邊形平面，平面平面，平面，平面平面平面，平面，且平面平面平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）四邊形是平行四邊形，則，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，即平面，平面平面，平面，平面本題考查線面平行和面面平行判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用、線面垂直關(guān)系的證明問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)定理的掌握情況，屬于?？碱}型.21、（1）證明見(jiàn)解析；是，，，，；（2）.【解析】

（1）由塹堵的性質(zhì)得：四邊形是矩形，推導(dǎo)出，，從而B(niǎo)C⊥平面，由此能證明四棱錐為陽(yáng)馬，四面體是否為鱉臑;（2）陽(yáng)馬B﹣A1ACC1的體積：陽(yáng)馬的體積：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)陽(yáng)馬體積最大時(shí)，二面角的余弦值．【詳解】證明：（1）由塹堵的性質(zhì)得：四邊形是矩形，底面，平面，，又，，平面，面，四棱錐為陽(yáng)馬，四面體為鱉臑，四個(gè)面的直角分別是，，，.（2），由（1）知陽(yáng)馬的體積：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，