浙江高數(shù)競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.無間斷點2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.函數(shù)$y=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.44.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$5.曲線$y=e^x$在點$(0,1)$處的切線方程是（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=-x+1$D.$y=-x-1$6.已知函數(shù)$f(x)$的一個原函數(shù)是$x^3$，則$f(x)$是（）A.$3x^2$B.$\frac{1}{3}x^3$C.$x^4$D.$4x^3$7.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.$e$D.$\infty$8.函數(shù)$f(x)=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,+\infty)$D.$[0,+\infty)$9.若$f(x)$為奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=$（）A.$2\int_{0}^{a}f(x)dx$B.0C.$\int_{0}^{a}f(x)dx$D.110.函數(shù)$y=\cosx$的周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=\sinx$D.$y=\sqrt{x}$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}e^x$3.函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo)的等價條件有（）A.函數(shù)在該點連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.函數(shù)在該點有切線D.極限$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$存在4.下列積分正確的有（）A.$\int\cosxdx=\sinx+C$B.$\int\sinxdx=-\cosx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$5.下列函數(shù)是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=x^3$6.關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的有（）A.駐點一定是極值點B.極值點可能是不可導(dǎo)點C.導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點D.函數(shù)在極值點處導(dǎo)數(shù)一定為零7.以下哪些是無窮小量（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}e^{-x}$8.下列曲線中，漸近線為$y=0$的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\frac{1}{x^2}$C.$y=e^{-x}$D.$y=x^2$9.定積分的性質(zhì)包括（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx$（$a\ltc\ltb$）10.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在某點連續(xù)，則在該點一定可導(dǎo)。（）2.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量。（）3.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）4.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是$y'=3x^2$，所以它在$R$上單調(diào)遞增。（）5.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號無關(guān)。（）6.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)有$f''(x)\gt0$，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)是凹的。（）7.兩個無窮大量的和一定是無窮大量。（）8.函數(shù)$y=\sqrt{x}$的定義域是$[0,+\infty)$，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。（）9.若$f(x)$為周期函數(shù)，周期為$T$，則$\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx$。（）10.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$在$x=1$處沒有定義，所以它在$x=1$處極限不存在。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+2$的單調(diào)區(qū)間。答：對$y$求導(dǎo)得$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'\gt0$，解得$x\lt0$或$x\gt2$，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令$y'\lt0$，解得$0\ltx\lt2$，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答：根據(jù)定積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，先求原函數(shù)為$\frac{1}{3}x^3$。再根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。3.求函數(shù)$f(x)=x^2+2x-3$的極值。答：對$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=2x+2$，令$f'(x)=0$，即$2x+2=0$，解得$x=-1$。$f''(x)=2\gt0$，所以$x=-1$時函數(shù)有極小值，將$x=-1$代入$f(x)$得$f(-1)=(-1)^2+2\times(-1)-3=-4$。4.簡述函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系。答：函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)?？蓪?dǎo)要求函數(shù)在該點的變化率存在且唯一，這意味著函數(shù)圖像在該點光滑；而連續(xù)只要求函數(shù)在該點極限值等于函數(shù)值，圖像不斷開，所以連續(xù)是可導(dǎo)的必要不充分條件。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$的漸近線情況。答：當(dāng)$x\to0$時，$y\to+\infty$，所以$x=0$是垂直漸近線；當(dāng)$x\to\pm\infty$時，$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2}=0$，所以$y=0$是水平漸近線，該函數(shù)無斜漸近線。2.討論函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在$[0,2\pi]$上的最值。答：先將$f(x)$化簡為$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$。在$[0,2\pi]$上，當(dāng)$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$即$x=\frac{\pi}{4}$時，$f(x)$取最大值$\sqrt{2}$；當(dāng)$x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}$即$x=\frac{5\pi}{4}$時，$f(x)$取最小值$-\sqrt{2}$。3.討論不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：定積分計算常通過求不定積分得到原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式計算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果帶常數(shù)$C$；定積分是一個數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)，反映函數(shù)在區(qū)間上的累積量，而不定積分側(cè)重于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逆運算。4.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)二階可導(dǎo)，當(dāng)$f''(x)\gt0$時，函數(shù)圖像在區(qū)間$I$內(nèi)是凹的，意味著曲線位于其每一點切線的上方；當(dāng)$f''(x)\lt0$時，函數(shù)圖像在區(qū)間$I$內(nèi)是凸的，即曲線位于其每一點切線的下方。答案一、單項選