高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省安慶市2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，令，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故選：C2.等比數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由求導(dǎo)得.由或；由.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.由題意可知，所以.故選：A3.已知向量滿(mǎn)足,,且,則（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，由得，則，則，故選：A.4.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)和圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，它與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，所以三角形面積為故選：A5.已知函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.2 B.4 C.8 D.18【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．故選：C.6.正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，若一個(gè)球的球心到正四棱臺(tái)各個(gè)面的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺(tái)與該球的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖作出正四棱臺(tái)的軸截面圖，可知這個(gè)等腰梯形的內(nèi)切圓就是內(nèi)切球的最大圓，根據(jù)，設(shè)球的半徑為，則由直角三角形中的勾股定理得：，利用等面積法：，可得：，解得：，再由棱臺(tái)體積公式得：，由球的體積公式得：，所以正四棱臺(tái)與球的體積之比是：，故選：B.7.已知點(diǎn)在圓上，A（，0），，則最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，，則，整理后，與已知軌跡方程展開(kāi)整理得：，對(duì)照，得，解得，所以.則當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值故選：B.8.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋煽傻?，即函?shù)的定義域?yàn)?，可得，即，?gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得，則，即，其中，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.綜上，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無(wú)放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個(gè)紅球，則（）A.事件，為互斥事件 B.事件B，C為獨(dú)立事件C. D.【答案】ACD【解析】第一次取出的球是紅球還是白球兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個(gè)，白球有2個(gè)，事件發(fā)生時(shí)，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨(dú)立，B錯(cuò)；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個(gè)紅球1個(gè)白球，只有從中取出一個(gè)紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選：ACD．10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)C.，使在上是減函數(shù)D.圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)不變【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，因此最多有一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得圖象對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為，D正確.故選：BD11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱，棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐的體積為定值C.若，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的最小值為60°D.若動(dòng)點(diǎn)在三棱錐外接球的表面上，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，所以，即

，所以，又，所以，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上，又因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；點(diǎn)為的中點(diǎn)，坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

，向量，向量，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，，又因?yàn)椋?dāng)

時(shí)，，即直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的最小值為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槿忮F即為三棱錐，又底面是直角三角形，過(guò)的中點(diǎn)作平面，是三棱錐外接球的球心，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以三棱錐外接球的半徑，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，又在三棱錐外接球的表面上，所以

的軌跡是平面截三棱錐外接球的截面圓，又易得到平面的距離為1，所以截面圓的半徑為，所以

的軌跡的周長(zhǎng)為

，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則____________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.13.已知函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)____________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，所以在處的切線(xiàn)方程為：，又切線(xiàn)方程過(guò)原點(diǎn)，把代入得，解得：．故答案為：.14.已知雙曲線(xiàn)C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在C上存在點(diǎn)P（不是頂點(diǎn)），使得，則C的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)與軸交點(diǎn)，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知，，如圖所示，又∵，∴，∴．又∵，∴，在中，，∴，∴，由，且三角形的內(nèi)角和為，，即，則綜上，．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（1）數(shù)列中，，為前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，①，②，由②-①得：，，即，當(dāng)時(shí)，，遞推可得：，，，，由累乘法可得：，，又因?yàn)?，所以，即，?jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)符合上式，所以；（2）由（1）可知，，所以：，所以；所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.如圖，四棱錐中，平面平面，為棱上一點(diǎn).（1）證明：；（2）若平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接平面平面，平面平面平面平面平面，即又平面平面平面（2）解：連接，設(shè)，連接平面平面，平面平面，易知取中點(diǎn)，連接，則兩兩互相垂直.分別以為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量則即令，則設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則即直線(xiàn)與平面所成角的.正弦值為17.已知甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響．規(guī)定：凈勝局指的是一方比另一方多勝局．（1）如果約定先凈勝兩局者獲勝，求恰好4局結(jié)束比賽的概率；（2）如果約定先凈勝三局者獲勝，那么在比賽過(guò)程中，甲可能凈勝局．設(shè)甲在凈勝局時(shí)，繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為，比賽結(jié)束（甲、乙有一方先凈勝三局）時(shí)需進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，期望為．①求甲獲勝的概率；②求．解：（1）4局結(jié)束比賽時(shí)甲獲勝，則在前2局甲乙各勝一局，并且第3，4局甲勝，概率為；4局結(jié)束比賽時(shí)乙獲勝，則在前2局甲乙各勝一局，并且第3，4局乙勝，概率為，所以恰好4局結(jié)束比賽的概率為．（2）①在甲凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1局，繼續(xù)比賽獲勝的概率為；若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局，比賽結(jié)束，根據(jù)全概率公式，，同理，，，，由，，得，與聯(lián)立消去，得，又，，得，與聯(lián)立消去，得，所以甲獲勝的概率為．②在甲凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1局，繼續(xù)比賽至結(jié)束，還需要局，共進(jìn)行了局；若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局，比賽結(jié)束，共進(jìn)行了1局，則，即，同理，即，，即，，即，，即聯(lián)立與，得，聯(lián)立與，得，代入，得，所以．18.已知點(diǎn)為橢圓的右端點(diǎn)，橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)分別與軸交于點(diǎn).（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）試判斷線(xiàn)段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)縱坐標(biāo)，若不是，說(shuō)明理由.解：（1）由題意得，，又，解得，，，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)且與橢圓交于BC兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)BC的斜率一定存在，故設(shè)直線(xiàn)BC的方程為：，其中，由得：，，得；x1+，，又因?yàn)橹本€(xiàn)AB的方程:，得，同理由+===故MN的中點(diǎn)為.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若，求的值；（3）求證：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所