第2節(jié)平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.平面向量基本定理

零向量不能作為基底如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=

.若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

.[教材知識(shí)深化]給定基底,同一向量的分解結(jié)果是唯一的,因此若{e1,e2}是基底,且a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,則必有λ1=λ2,μ1=μ2.不共線λ1e1+λ2e2基底2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算當(dāng)向量用坐標(biāo)表示時(shí),其加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的法則運(yùn)算坐標(biāo)表示(設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2))加法a+b=(x1+x2,y1+y2)向量與坐標(biāo)之間用等號(hào)連接減法a-b=(x1-x2,y1-y2)數(shù)乘λa=(λx1,λy1),其中λ∈R

x1y2-x2y1=0

自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)非零向量都可以作為一組基底.(

)(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(

)(3)若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0.(

)(4)一個(gè)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.(

)××√√2.(人教A版必修第二冊6.3.4節(jié)例7改編)已知a=(2,3),b=(6,y),且a∥b,則y=

.9解析

∵a∥b,∴2y=3×6,解得y=9.3.(人教A版必修第二冊6.3.3節(jié)例5)如圖,已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(-2,1),(-1,3),(3,4),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

二、連線高考4.(2022·全國乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|=(

)A.2 B.3

C.4

D.5D

5.(2024·上海,5)已知向量a=(2,5),b=(6,k),a∥b,則k=

.15

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用

AC

D

C

C

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)(2024·山東煙臺(tái)模擬)設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則向量c等于(

)A.(1,-1) B.(-1,1)C.(-4,6) D.(4,-6)D解析

因?yàn)?a,3b-2a,c對應(yīng)有向線段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).

A

[對點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·安徽合肥模擬)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,則λ1,λ2的值分別為(

)A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2D

3

考點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示(多考向探究預(yù)測)

D解析

因?yàn)閍=(-1,2),b=(3,λ),所以a+2b=(5,2+2λ),2a-b=(-5,4-λ).又a+2b與2a-b平行,所以5(4-λ)=-5(2+2λ),解得λ=-6.

C

考向2

利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)例4已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若點(diǎn)M在線段AC上,且BM=2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

.

變式探究1本例中,若已知條件不變,則在線段AC上