第08講冪、指數(shù)與對數(shù)（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪】規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義?？碱}型：例1：下列計(jì)算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝a（a＞0）分析：直接由有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項(xiàng)得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵，∴B不正確；∵，∴C正確；∵∴D不正確．故選：C．點(diǎn)評：本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．【有理數(shù)指數(shù)冪】（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．常考題型：例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點(diǎn)評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題時要熟練掌握基本的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．二．對數(shù)的概念【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．對數(shù)的定義如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．（2）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a（a＞0且a≠1）logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN三．指數(shù)式與對數(shù)式的互化【知識點(diǎn)歸納】ab＝N?logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：（1）af（x）＝b?f（x）＝logab；logaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）?f（x）logma＝g（x）logmb；（兩邊取對數(shù)法）（4）logaf（x）＝logbg（x）?logaf（x）＝；（換底法）（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝logax或t＝ax）（換元法）四．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．五．換底公式的應(yīng)用【知識點(diǎn)歸納】換底公式及換底性質(zhì)：（1）logaN＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）logab＝，（3）logab?logbc＝logac，（4）loganbm＝logab．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．有理數(shù)指數(shù)冪及根式（共5小題）1．（2022?楊浦區(qū)校級開學(xué)）已知x∈R，使代數(shù)式的值為有理數(shù)的x的集合是（）A．R B．Q C．使的集合 D．使的集合【分析】分母有理化之后即可得出，從而可得出答案．【解答】解：∵＝∈Q，∴x∈Q．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了分母有理化的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2021秋?楊浦區(qū)期末）設(shè)a＞0，下列計(jì)算中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：對于A：?＝≠a，故A錯誤，對于B：÷＝≠a，故B錯誤，對于C：＝a，故C正確，對于D：＝a﹣1＝，故D錯誤，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．3．（2021秋?閔行區(qū)期末）設(shè)，則＝4．【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：∵，∴＝?x﹣1＝＝＝22＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．4．（2022?徐匯區(qū)校級開學(xué)）已知a，b為正數(shù)，化簡＝．【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)求解．【解答】解：原式＝?＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．5．（2022?楊浦區(qū)校級開學(xué)）解方程：．【分析】可討論x≥1和x＜1，去絕對值號，然后即可解出方程．【解答】解：由得，當(dāng)x≥1時，，所以x2﹣8x+16＝x2﹣7x+16，所以x＝0（舍去）；當(dāng)x＜1時，，所以9x2﹣36x+36＝x2﹣7x+16，所以8x2﹣29x+20＝0，又x＜1，所以．【點(diǎn)評】本題考查了含絕對值號的方程的解法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．對數(shù)的概念（共1小題）6．（2004秋?浦東新區(qū)校級期末）若lga＝﹣3.1476，則關(guān)于lga的首數(shù)與尾數(shù)的敘述中正確的是（）A．首數(shù)為﹣3，尾數(shù)為0.1476 B．首數(shù)為﹣3，尾數(shù)為0.8524 C．首數(shù)為﹣4，尾數(shù)為0.8524 D．首數(shù)為﹣4，尾數(shù)為0.1476【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算規(guī)則lgN＝lg（a×10n）＝lga+lg10n＝n+lga，n叫做首數(shù)，lga叫做尾數(shù)，他是一個純小數(shù)或者0，進(jìn)行求解，即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：lga＝lg（10﹣4×100.8524）＝lg100.8524+lg10﹣4＝﹣4+lg100.8524，n＝﹣4叫做首數(shù)，lg100.8524＝0.8524叫做尾數(shù)，他是一個純小數(shù)故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的概念，以及首數(shù)和尾數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．三．指數(shù)式與對數(shù)式的互化（共7小題）7．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）若2x＝3，則實(shí)數(shù)x的值為log23．【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式之間轉(zhuǎn)化的方法可解決此題．【解答】解：∵2x＝3，∴x＝log23．故答案為：log23．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式之間轉(zhuǎn)化，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2020秋?崇明區(qū)期中）以下對數(shù)式中，與指數(shù)式5x＝6等價的是（）A．log56＝x B．log5x＝6 C．log6x＝5 D．logx6＝5【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化求解．【解答】解：把指數(shù)式5x＝6化為對數(shù)式得：log56＝x，所以與指數(shù)式5x＝6等價的對數(shù)式為：log56＝x．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，是基礎(chǔ)題．9．（2021秋?金山區(qū)校級期中）若3a＝7b＝63，則＝1．【分析】指數(shù)式3a＝7b＝63可化為對數(shù)式＝log633，＝log637，從而利用對數(shù)運(yùn)算化簡即可．【解答】解：∵3a＝7b＝63，∴＝log633，＝log637，∴＝2log633+log637＝log6363＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，屬于基礎(chǔ)題．10．（2020秋?嘉定區(qū)期末）已知在地球上，大氣壓p和海拔高度h之間的關(guān)系可以表達(dá)為p＝p0e﹣kh，其中k和e是常數(shù)，P0是海平面的大氣壓的值．當(dāng)飛行員用大氣壓的值來判斷高度時，需使用的公式為h＝﹣ln．【分析】根據(jù)題意，將p＝p0e﹣kh，變形可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，大氣壓p和海拔高度h之間的關(guān)系可以表達(dá)為p＝p0e﹣kh，則＝e﹣kh，變形可得h＝﹣ln，故答案為：h＝﹣ln．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)、對數(shù)的互化，注意指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．11．（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）若2a＝5b＝M，且，則M＝5．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用換底公式計(jì)算即可．【解答】解：2a＝5b＝M，則a＝log2M，b＝log5M，∴＝logM2，＝logM5，∵，∴l(xiāng)ogM2+2logM5＝logM50＝2，∴M＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020秋?嘉定區(qū)期中）若a＞0且a≠1，將指數(shù)式a2b＝N轉(zhuǎn)化為對數(shù)式為（）A． B． C． D．【分析】由題意利用指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化法則，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：若a＞0且a≠1，將指數(shù)式a2b＝（a2）b＝N轉(zhuǎn)化為對數(shù)式為b＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．13．（2020秋?徐匯區(qū)校級期中）若實(shí)數(shù)a，b，m滿足2a＝72b＝m，且＝2，則m的值為7．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，求出a，b的值，代入＝2，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：∵2a＝72b＝m，∴a＝log2m，2b＝log7m，∴b＝＝＝log49m，∴+＝2，∴l(xiāng)ogm2+logm49＝2，∴l(xiāng)ogm98＝2，∴m2＝98，∴m＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．四．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共15小題）14．（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知a＝lg5，用a表示lg20＝2﹣a．【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算即可得出lg20＝2﹣lg5＝2﹣a．【解答】解：∵a＝lg5，∴l(xiāng)g20＝1+lg2＝1+1﹣lg5＝2﹣a．故答案為：2﹣a．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2021秋?寶山區(qū)校級期中）已知P＝{（x，y）|lg（xy）＝lgx+lgy，x∈R，y∈R}，Q＝{（x，y）|2x?2y＝2x+y，x∈R，y∈R}，S＝，則下列關(guān)于集合P，Q，S關(guān)系的表述正確的是（）A．P＝Q B．Q＝S C．Q?P D．P?S【分析】分別求出集合P，Q，S中的元素滿足的條件，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：∵P＝{（x，y）|lg（xy）＝lgx+lgy，x∈R，y∈R}＝{（x，y）|x＞0，y＞0}，Q＝{（x，y）|2x?2y＝2x+y，x∈R，y∈R}＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，S＝＝{（x，y）|x≥0，y≥0}，∴P?S?Q，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了集合間的關(guān)系及運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題．16．（2021秋?閔行區(qū)期末）已知10p＝3，用p表示log310＝．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，求出p的值，再利用換底公式結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解．【解答】解：∵10p＝3，∴p＝lg3，∴l(xiāng)og310＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．17．（2021秋?長寧區(qū)期末）已知5a＝2，5b＝3，則＝b﹣a（用a、b表示）．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：∵5a＝2，5b＝3，∴a＝log52，b＝log53，∴＝＝log53﹣log52＝b﹣a，故答案為：b﹣a．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．18．（2021秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：＝5．【分析】進(jìn)行對數(shù)的運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝2+log28＝2+3＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2021秋?虹口區(qū)期末）已知2a＝3b＝6，則+＝1．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式求出a，b的值，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解．【解答】解：∵2a＝3b＝6，∴a＝log26，b＝log36，∴+＝+＝log62+log63＝log66＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．20．（2021秋?徐匯區(qū)期末）若3x＝2，則log29﹣log38用含x的代數(shù)式表示為．【分析】由3x＝2，得到x＝log32，再由log29﹣log38＝2log23﹣3log32，求出結(jié)果即可．【解答】解：若3x＝2，則x＝log32，所以log29﹣log38＝2log23﹣3log32＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．21．（2021秋?黃浦區(qū)校級期末）已知lg2＝a，則log225＝．（用含a的代數(shù)式表示）【分析】根據(jù)對數(shù)的換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可．【解答】解：∵lg2＝a，∴．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．22．（2021秋?金山區(qū)期末）若，則a+8b的最小值為25．【分析】推導(dǎo)出a＞0，b＞0，＝1，由a+8b＝（a+8b）（）＝+17，利用基本不等式，求出a+8b的最小值．【解答】解：∵＝log9ab，∴，∴a＞0，b＞0，＝1，∴a+8b＝（a+8b）（）＝+17≥2+17＝25，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，∴a+8b的最小值為25．故答案為：25．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的定義、運(yùn)算法則、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．23．（2021秋?普陀區(qū)校級期末）已知lg2＝a，10b＝3，用a、b表示log56＝．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式得到b＝lg3，再利用對數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式求解即可．【解答】解：∵10b＝3，∴b＝lg3，又∵lg2＝a，∴l(xiāng)og56＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)式與指數(shù)式的互化，對數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式．24．（2021秋?楊浦區(qū)期末）里氏震級M的計(jì)算公式為：M＝lgA﹣lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為6倍．【分析】根據(jù)題意中的假設(shè)，可得M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝6．【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則M＝lgA﹣lgA0＝lg1000﹣lg0.001＝3﹣（﹣3）＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算法則，解題時要注意公式的靈活運(yùn)用．25．（2021秋?普陀區(qū)校級期末）已知log163＝m，則用m表示log916＝．【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則、換底公式直接求解．【解答】解：∵log163＝m，∴l(xiāng)og916＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)式化簡求值，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則、換底公式的合理運(yùn)用．26．（2021秋?黃浦區(qū)校級期末）（1）化簡：；（2）令lg2＝a，用a表示．【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：（1）原式＝＝＝a﹣1．（2）∵lg2＝a，∴＝lg8﹣lg5﹣3lg2＝3lg2﹣lg5﹣3lg2＝﹣lg5＝lg2﹣1＝a﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．27．（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知log189＝a，18b＝5，則log3645＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件可求出log182＝1﹣a，b＝log185，從而得出．【解答】解：∵log189＝1﹣log182＝a，∴l(xiāng)og182＝1﹣a，且b＝log185，∴＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對數(shù)的換底公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．28．（2021秋?普陀區(qū)校級期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足lgx+lgy＝lg（x+y），則x+2y的最小值為2+3．【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則得到+＝1，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵實(shí)數(shù)x、y滿足lgx+lgy＝lg（x+y），∴xy＝x+y，且x＞0，y＞0，∴+＝1，∴x+2y＝（x+2y）（+）＝++3≥2+3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝+1，y＝1+時取等號，則x+2y的最小值為2+3，故答案為：2+3．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算法則，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．五．換底公式的應(yīng)用（共4小題）29．（2021秋?金山區(qū)校級期中）若lg2＝a，lg3＝b，則log1225＝（用含a，b的代數(shù)式表示）．【分析】利用換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：log1225＝＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式，是基礎(chǔ)題．30．（2021秋?普陀區(qū)校級期中）已知log189＝a，18b＝5．則log3645等于（）A． B． C． D．【分析】利用對數(shù)的換底公式即可得出，．對再利用對數(shù)的換底公式即可得出．【解答】解：∵18b＝5，∴＝，又，聯(lián)立解得．∴＝＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評】熟練掌握對數(shù)的換底公式和對數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．31．（2021秋?長寧區(qū)期末）已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1815＝．【分析】利用換底公式以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答】解：log1815＝＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了換底公式的應(yīng)用，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．32．（2021秋?虹口區(qū)校級期中）已知log189＝a，18b＝5，則log3645＝（用a，b表示）．【分析】利用對數(shù)的換底公式即可求出．【解答】解：∵log189＝a，b＝log185，∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845，log1836＝log18（2×18）＝1+log182＝＝2﹣log189＝2﹣a；∴l(xiāng)og3645＝＝．故答案為．【點(diǎn)評】熟練掌握對數(shù)的換底公式是解題的關(guān)鍵．要善于觀察恰當(dāng)找出底數(shù)．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海高一期中）下列函數(shù)與函數(shù)相同的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷它們是相同函數(shù)．【詳解】解：對于A，函數(shù)，，與函數(shù)，的對應(yīng)關(guān)系不同，不是相同函數(shù)；對于B，函數(shù)，，與函數(shù)，的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對于C，函數(shù)，，與函數(shù)，的定義域不同，不是相同函數(shù)；對于D，函數(shù)，，與函數(shù)，的對應(yīng)關(guān)系不同，不是相同函數(shù)．故選：B．2．（2021·上海）若，且，則x的值為（）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】由對數(shù)的運(yùn)算和解指數(shù)方程可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.3．（2021·上海徐匯區(qū)·高一期末）人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：dB）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足，一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54dB，在有40人的課堂上講課時，老師聲音的強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時聲音強(qiáng)度的10倍，則老師聲音的等級約為（）A．36dB B．63dB C．72dB D．81dB【答案】B【分析】利用題中給出的函數(shù)模型，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)一般兩人小聲交談時聲音強(qiáng)度為，則，即，所以，則老師聲音的等級約為．故選：．4．（2021·上海高一專題練習(xí)）碳14的半衰期為5730年，那么碳14的年衰變率為（）A． B．25730 C． D．【答案】C【分析】設(shè)碳14的年衰變率為m，原有量為1，則，解方程即可得答案.【詳解】設(shè)碳14的年衰變率為m，原有量為1，則，解得，所以碳14的年衰變率為.故選：C.5．（2020·上海）設(shè)a，b，c為正數(shù)，且3a=4b=6c，則有（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)指對互化求出，再根據(jù)換底公式表示，最后根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則化簡.【詳解】設(shè)3a=4b=6c=k，則a=log3k，b=log4k，c=log6k，∴，同理，，而，∴，即．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查指對數(shù)運(yùn)算，換底公式，以及對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算公式，公式是關(guān)鍵.二、填空題6．（2021·上海）的值為_________．【答案】0【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】.故答案為：07．（2021·上海）計(jì)算___________．【答案】【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)恒等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.8．（2020·上海市新川中學(xué)高一期中）若，則=_______________；【答案】243【分析】利用指對數(shù)互化即可求出.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：243.9．（2020·上海市新川中學(xué)高一期中）若，則=_________；【答案】【分析】利用根式化指數(shù)冪，以及指數(shù)冪的運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可.【詳解】由，得，由，得，所以.故答案為：.10．（2020·上海閔行·古美高中高一期中）當(dāng)時，=___________.【答案】【分析】根據(jù)開根號的性質(zhì)，直接計(jì)算即可得解.【詳解】由，則，故答案為：11．（2021·上海金山區(qū)·高一期末）已知，化簡________.【答案】【分析】由冪的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以由冪的運(yùn)算法則得，故答案為：.12．（2021·上海）已知，則a，b的值分別為___________．【答案】100，1000或1000，100【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，則、為方程的兩根，即可求出、，再求出、即可；【詳解】解：因?yàn)樗?，即、為方程的兩根，所以或即或故答案為：?3．（2021·上海）計(jì)算：__________．【答案】10【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)恒等式計(jì)算可得；【詳解】解：故答案為：14．（2021·上海）方程的解是________．【答案】【分析】化簡方程為，結(jié)合一元二次方程和指數(shù)冪的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，解得或（舍去），由，可得，即方程的解為.故答案為：.15．（2021·上海）已知，用含的式子表示_________.【答案】【分析】首先利用換底公式得到，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可.【詳解】.故答案為：16．（2021·上海）若，則的值為________.【答案】1【分析】先將進(jìn)行平方，再將，利用指數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，故，.故答案為：.17．（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一期中）已知，，試用、表示__