機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第4章機(jī)器人的軌跡生成

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10324.1基本概念4.2關(guān)節(jié)空間軌跡生成4.3直角坐標(biāo)空間軌跡生成本節(jié)目錄基本概念32025/6/1機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)思路路徑規(guī)劃軌跡生成運(yùn)動(dòng)控制基本概念42025/6/1路徑路徑工具點(diǎn)路徑是對(duì)空間運(yùn)動(dòng)的幾何描述，它由機(jī)器人一系列連續(xù)空間構(gòu)型組成，直觀表現(xiàn)為機(jī)器人末端工具點(diǎn)在空間的幾何路徑。路徑規(guī)劃滿足一定約束的條件下，生成無碰撞空間路徑，使機(jī)器人從一個(gè)構(gòu)型變化到另一個(gè)構(gòu)型；工業(yè)機(jī)器人的路徑規(guī)劃方法有：示教在線、離線編程、智能規(guī)劃等。在本課程中，假定路徑已知。52025/6/1軌跡既明確了空間運(yùn)動(dòng)過程的幾何描述，也明確了完成這一運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。在本課程中，對(duì)工業(yè)機(jī)器人而言，軌跡指直角坐標(biāo)空間中的位姿變量或關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)變量隨時(shí)間變化的函數(shù)，變量既包括位置，也包括速度和加速度。要實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制，最終必須獲得關(guān)節(jié)變量的時(shí)間函數(shù)。軌跡xfx0x位姿變量函數(shù)關(guān)節(jié)變量函數(shù)x基本概念62025/6/1在指定或不指定末端工具點(diǎn)空間路徑的情況下，給定機(jī)器人起始點(diǎn)、0個(gè)或多個(gè)中間點(diǎn)以及終止點(diǎn)的位姿向量，及其對(duì)應(yīng)的速度向量、加速度向量，獲得位姿變量和關(guān)節(jié)變量的時(shí)間函數(shù)的過程稱為軌跡生成。根據(jù)時(shí)間函數(shù)，按照一定時(shí)間（或位移）間隔，獲得某變量的一系列離散值的過程稱為軌跡插補(bǔ)。有時(shí)，術(shù)語(yǔ)軌跡插補(bǔ)與軌跡生成可通用。軌跡生成與軌跡插補(bǔ)注：這里的“點(diǎn)”特指以空間位姿向量表示的點(diǎn)，它包含六個(gè)分量中間點(diǎn)起始點(diǎn)終止點(diǎn)各分量函數(shù)

基本概念72025/6/1將插補(bǔ)得到的關(guān)節(jié)角序列以確定的時(shí)序發(fā)送給關(guān)節(jié)伺服控制器，伺服控制器根據(jù)給定信號(hào)、反饋信號(hào)，利用伺服算法輸出驅(qū)動(dòng)信號(hào)，發(fā)送給驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)各關(guān)節(jié)跟蹤給定的關(guān)節(jié)變量。運(yùn)動(dòng)控制

基本概念84.1基本概念4.2關(guān)節(jié)空間軌跡生成4.3直角坐標(biāo)空間軌跡生成本節(jié)目錄關(guān)節(jié)空間軌跡生成92025/6/1過程先計(jì)算起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和中間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，獲得上述路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)變量值；針對(duì)各關(guān)節(jié)，分別生成連接上述已知關(guān)節(jié)值、且起止時(shí)間相等的平滑關(guān)節(jié)函數(shù)。原則關(guān)節(jié)函數(shù)要光滑，保證運(yùn)動(dòng)速度平滑；滿足各位姿點(diǎn)上的位置、速度和加速度約束條件。多種可選關(guān)節(jié)函數(shù)關(guān)節(jié)空間軌跡生成—S曲線102025/6/1S曲線——帶拋物線過渡的線性函數(shù)最簡(jiǎn)單的關(guān)節(jié)軌跡——直線提示：在直線段，關(guān)節(jié)勻速運(yùn)動(dòng)，但是末端執(zhí)行器通常做變速空間曲線運(yùn)動(dòng)解決方法：在直線的端點(diǎn)增加一段拋物線注意：兩端的拋物線持續(xù)時(shí)間相同，采用相等的恒定加速度問題：起始點(diǎn)和終止點(diǎn)關(guān)節(jié)速度不連續(xù)關(guān)節(jié)空間軌跡生成—S曲線112025/6/1S曲線方程的求解過渡段終點(diǎn)速度等于直線段速度：

不同加速度值對(duì)應(yīng)不同曲線

聯(lián)立上述兩式，得S曲線方程：

加速度必須足夠高，否則無解：關(guān)節(jié)空間軌跡生成—S曲線122025/6/1經(jīng)過中間軌跡點(diǎn)的S曲線

中間點(diǎn)前后過渡段加速度相等過渡段關(guān)于中間點(diǎn)對(duì)稱關(guān)節(jié)空間軌跡生成—S曲線132025/6/1經(jīng)過中間軌跡點(diǎn)的S曲線對(duì)第一個(gè)軌跡段，其直線段速度：

第一個(gè)軌跡段的其他參數(shù)：關(guān)節(jié)空間軌跡生成—S曲線142025/6/1經(jīng)過中間軌跡點(diǎn)的S曲線對(duì)最后一個(gè)軌跡段，其直線段速度：最后一個(gè)軌跡段的其他參數(shù)：

注：實(shí)際使用中，用戶指定中間點(diǎn)和各段時(shí)間；各關(guān)節(jié)采用設(shè)定的加速度生成過渡段；這種方法軌跡中間點(diǎn)的精確位置無法到達(dá)。關(guān)節(jié)空間軌跡生成—S曲線152025/6/1S曲線中的“穿越點(diǎn)”—需要精確跟蹤的中間點(diǎn)生成新S曲線的過程：將原S曲線中“穿越點(diǎn)”兩側(cè)的過渡段加速度適當(dāng)增大，更新兩側(cè)直線的斜率（速度）；過“穿越點(diǎn)”做直線，其斜率取指定值，或兩側(cè)更新后直線的斜率均值。與更新后的直線相交，獲得兩個(gè)“偽中間點(diǎn)”；以合適的加速度建立新的過渡段。關(guān)節(jié)空間軌跡生成—S曲線162025/6/1(a)加速度值大，過渡段短S曲線特點(diǎn)：函數(shù)簡(jiǎn)單，計(jì)算量??；速度連續(xù)，且能以設(shè)定的最大速度連續(xù)運(yùn)行；加速度不連續(xù);不能滿足各中間點(diǎn)處的速度約束條件。(b)加速度值小，直線段短關(guān)節(jié)空間軌跡生成—無中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式172025/6/1要求：1.起始和終止關(guān)節(jié)角度2.起始和終止關(guān)節(jié)速度滿足上述約束條件的最簡(jiǎn)光滑函數(shù)——三次多項(xiàng)式機(jī)器人從起始點(diǎn)啟動(dòng)直接運(yùn)行到終止點(diǎn)并停止，同時(shí)滿足如下約束條件：3.加速度連續(xù)關(guān)節(jié)空間軌跡生成—無中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式182025/6/1三次多項(xiàng)式的速度和加速度將約束條件代入位置、速度和加速度多項(xiàng)式關(guān)節(jié)空間軌跡生成—無中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式192025/6/1

關(guān)節(jié)空間軌跡生成—無中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式202025/6/1例：對(duì)機(jī)器人某關(guān)節(jié)，起始角度θ0

=15°，終止角度θf

=75°，期望運(yùn)行時(shí)間3秒，起始和終止位置均為靜止?fàn)顟B(tài)。求滿足上述條件的三次多項(xiàng)式，并畫出關(guān)節(jié)角的位置、速度和加速度的時(shí)間函數(shù)曲線。解：將已知條件代入下式：得：關(guān)節(jié)空間軌跡生成—無中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式212025/6/1于是，位置、速度和加速度函數(shù)為：以40Hz頻率，插補(bǔ)生成如下位置、速度和加速度函數(shù)曲線：關(guān)節(jié)空間軌跡生成—有中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式222025/6/1要求：思路先反解求出起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和每個(gè)中間點(diǎn)的關(guān)節(jié)角；求連接各相鄰點(diǎn)關(guān)節(jié)角的三次多項(xiàng)式，對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)，得到多段三次多項(xiàng)式；為保證機(jī)器人不停歇地經(jīng)過每個(gè)中間點(diǎn)，對(duì)每段三次多項(xiàng)式而言，其速度約束不再等于零。速度約束變?yōu)椋簷C(jī)器人從起始點(diǎn)啟動(dòng)，然后不停歇地經(jīng)過若干中間點(diǎn)，再到達(dá)終止點(diǎn)。關(guān)節(jié)空間軌跡生成—有中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式232025/6/1滿足四個(gè)約束條件的三次多項(xiàng)式為：求解系數(shù)ai：關(guān)節(jié)空間軌跡生成—有中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式242025/6/1中間點(diǎn)關(guān)節(jié)速度的確定方法根據(jù)用戶給出的每個(gè)中間點(diǎn)的線速度和角速度，確定關(guān)節(jié)速度。問題：用戶工作量大2.使用某種啟發(fā)算法，自動(dòng)選取中間點(diǎn)速度，例如：假設(shè)各關(guān)節(jié)點(diǎn)通過直線連接；如果在中間點(diǎn)處關(guān)節(jié)運(yùn)轉(zhuǎn)方向發(fā)生變化，即直線斜率變號(hào)，則該點(diǎn)速度取0；如果在中間點(diǎn)處方向沒有變化，則該點(diǎn)速度為左右兩段直線斜率的平均值。關(guān)節(jié)空間軌跡生成—有中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式252025/6/1中間點(diǎn)關(guān)節(jié)速度的確定方法3.以中間點(diǎn)速度和加速度均連續(xù)為原則，把兩條三次曲線拼接成樣條曲線。

解：設(shè)兩個(gè)三次曲線分別為：對(duì)每段曲線：起始時(shí)刻t=0，終止時(shí)刻t=tfi，i=1,

2關(guān)節(jié)空間軌跡生成—有中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式262025/6/1對(duì)兩個(gè)三次曲線：施加約束條件：起始位置中間位置終止位置起始速度為0終止速度為0速度連續(xù)

加速度連續(xù)關(guān)節(jié)空間軌跡生成—有中間點(diǎn)的三次多項(xiàng)式272025/6/1若t=tf1

=tf2，則：關(guān)節(jié)空間軌跡生成—五次多項(xiàng)式282025/6/1要求：關(guān)節(jié)在各軌跡點(diǎn)上，同時(shí)滿足位置、速度、加速度約束思路——利用五次多項(xiàng)式擬合各軌跡點(diǎn)時(shí)間t

關(guān)節(jié)空間軌跡生成—五次多項(xiàng)式292025/6/1系數(shù)求解帶入約束條件，寫成矩陣形式：則：關(guān)節(jié)空間軌跡生成—五次多項(xiàng)式302025/6/1五次多項(xiàng)式軌跡實(shí)例問題2：非零的初始速度導(dǎo)致軌跡的中間值超過終值問題1：速度在大部分時(shí)間都小于最大速度(b)起始速度不等于零(a)起始速度等于零關(guān)節(jié)空間軌跡生成—五次多項(xiàng)式312025/6/1五次多項(xiàng)式特點(diǎn)是S曲線和三次多項(xiàng)式的一般形式；可以滿足各軌跡點(diǎn)的位置、速度、加速度約束；速度和加速度曲線平滑；起始點(diǎn)速度不為零，軌跡中間的角度值可能超出終止點(diǎn)角度值；平均速度遠(yuǎn)低于最大值，在這一點(diǎn)上不如S曲線。解決思路在對(duì)速度和加速度約束不嚴(yán)格的場(chǎng)合，盡量用S曲線在高精度且對(duì)速度和加速約束敏感的場(chǎng)合，可用B樣條曲線324.1基本概念4.2關(guān)節(jié)空間軌跡生成4.3直角坐標(biāo)空間軌跡生成本節(jié)目錄直角坐標(biāo)空間軌跡生成332025/6/1特點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑事先已經(jīng)確定；路徑可用簡(jiǎn)單函數(shù)（已知路徑函數(shù)）或復(fù)雜樣條函數(shù)（未知路徑函數(shù)，根據(jù)有限采樣點(diǎn)擬合獲得）表示；根據(jù)路徑函數(shù)定義各位姿變量隨時(shí)間變化的函數(shù)，在直角坐標(biāo)空間進(jìn)行軌跡生成和插補(bǔ)，獲得一系列位姿變量插值點(diǎn)的位置、速度和加速度；{S}{T}

CP模式342025/6/1特點(diǎn)無論那種方式，均需要對(duì)路徑上所有點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算，獲得它們對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角，再以PTP模式生成關(guān)節(jié)軌跡；計(jì)算量大，插補(bǔ)點(diǎn)密度取決于系統(tǒng)計(jì)算性能；{S}{T}

PfP0PPiPi+1Qi+1QiQtiti+1運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解幾何問題352025/6/1特點(diǎn)用途準(zhǔn)確跟蹤指定路徑；應(yīng)用場(chǎng)合：所有需要做輪廓跟蹤的作業(yè)，例如：弧焊、涂膠、切割等。運(yùn)動(dòng)路徑上可能出現(xiàn)奇異點(diǎn)等特殊情況，需要進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)校驗(yàn)。路徑通過奇異空間關(guān)節(jié)速度無窮大位姿受約束限制直角坐標(biāo)空間的位姿表達(dá)362025/6/1位姿向量以工具坐標(biāo)系T相對(duì)于工件坐標(biāo)系S的位姿來表達(dá)位姿向量：位置向量{S}{T}旋轉(zhuǎn)向量三角度表示法：等效軸角表示法：連續(xù)旋轉(zhuǎn)的實(shí)現(xiàn)——三角度表示法372025/6/1

圖中為了清晰附加了移動(dòng)，不影響針對(duì)旋轉(zhuǎn)的結(jié)論{B}{Ti}{TI}{TF}連續(xù)旋轉(zhuǎn)的實(shí)現(xiàn)——等效軸角表示法382025/6/1

直角坐標(biāo)空間軌跡生成—直線路徑392025/6/1xfx0x思路：

x分量的S曲線軌跡

直角坐標(biāo)空間軌跡生成—直線路徑402025/6/1思路：xfx0xx分量的S曲線軌跡

直角坐標(biāo)空間軌跡生成—直線路徑412025/6/1思路：根據(jù)插補(bǔ)得到的各點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間位姿向量，利用運(yùn)動(dòng)反解，求各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)向量；根據(jù)插補(bǔ)得到的各點(diǎn)直角坐標(biāo)空間速度向量，利用雅可比矩陣，求各點(diǎn)關(guān)節(jié)速度向量；利用PTP方法，再一次在關(guān)節(jié)空間生成各點(diǎn)之間的關(guān)節(jié)空間軌跡（通常為S曲線）；根據(jù)伺服系統(tǒng)的性能，確定關(guān)節(jié)空間的插補(bǔ)時(shí)間步長(zhǎng)，進(jìn)而獲得關(guān)節(jié)空間的插補(bǔ)值，發(fā)送給伺服系統(tǒng)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)在指定時(shí)間內(nèi)，以指定的速度運(yùn)動(dòng)到指定角度。PfP0PPiPi+1Qi+