第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與對(duì)稱有關(guān)的最值模型》專項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．2．已知，等腰直角中，，，為邊上的一點(diǎn)，連接，以為斜邊向右側(cè)作直角，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；(3)如圖3，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出三角形周長(zhǎng)的最小值．3．如圖①，已知，中，，，．點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿折疊，得到，連接，或的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)說(shuō)明線段和線段的位置關(guān)系；(2)當(dāng)共線時(shí)，求線段，線段的長(zhǎng)；(3)①點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求的面積；②若點(diǎn)位于的中垂線上，求點(diǎn)到的距離．(4)如圖②，若交于點(diǎn)，直接寫出的最大值．4．在菱形中，，，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)．將菱形沿翻折，點(diǎn)分別落在處，且線段過(guò)點(diǎn)B，線段與交于點(diǎn)O．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)；(3)當(dāng)最小時(shí)，連接與交于點(diǎn)M，求長(zhǎng)．(4)連接與交于點(diǎn)M，求的最大值．5．在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為線段的垂直平分線的交點(diǎn)，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，按邊分，是_______三角形．②如圖3，直線與交于點(diǎn)F，滿足為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，的值最大？并求出這個(gè)最大值．6．如圖1，中，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，連接．(1)當(dāng)為等邊三角形，的大小為________；(2)如圖2，延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn)，大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出的大小：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，，點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)的過(guò)程中，的面積最大值為________，掃過(guò)的面積為________．7．【問(wèn)題情境】：如圖，在中，，于，，，求的長(zhǎng)．【問(wèn)題解決】小明同學(xué)是這樣分析的：將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，設(shè)為，在中運(yùn)用勾股定理，可以求出的長(zhǎng)．

（1）說(shuō)明四邊形是正方形；（2）求出的長(zhǎng)．【方法提煉】請(qǐng)用小明的方法解決以下問(wèn)題：（3）如圖，四邊形中，，，，，求的最大值．（4）如圖，四邊形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（直接寫出結(jié)果）8．如圖，為等腰三角形，，和分別為等邊三角形，與交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為邊上點(diǎn)，連接，且．①證明：；②若，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)，若，求的最大值．9．在中，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則的大小；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，的形狀是三角形；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．P為直線上一動(dòng)點(diǎn)．說(shuō)明P點(diǎn)在什么位置時(shí)，有最大值；請(qǐng)直接寫出這個(gè)最大值．（提示：作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)）10．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，將線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接BE，點(diǎn)D關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為F，BE與DF交于點(diǎn)G，連接DE，EF．（1）求證：∠BDF＝30°（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的長(zhǎng)；（3）如圖2，在（2）條件下，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，連接FM，點(diǎn)O為FM的中點(diǎn)，當(dāng)△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，求證：EO的最大值等于BC．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有矩形，點(diǎn)，將矩形沿折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，邊交軸于點(diǎn)，．(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)如圖2，在直線以及軸上是否分別存在點(diǎn)，，使得的周長(zhǎng)最小？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，作直線交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．在中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)如圖1，若．①求證：；②如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，若．求證：．(2)如圖3，若，，，是否存在最小值？若存在，求出最小值并直接寫出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．【問(wèn)題探究】（1）如圖1，在四邊形中，，，分別延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，若，，求的最小值；【問(wèn)題解決】（3）隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能（AI）已經(jīng)成為驅(qū)動(dòng)全球經(jīng)濟(jì)和科技創(chuàng)新的重要力量．某科技公司有一個(gè)形狀為四邊形的研發(fā)基地（如圖3），測(cè)得，，，，現(xiàn)計(jì)劃在、、、邊上分別取點(diǎn)、、、，且，沿四邊形修建一個(gè)人工智能研究中心，為確保安全和保密，需要在該研究中心四周修建圍墻，圍墻必須使用某種特殊材料，為節(jié)省成本，要求圍墻的總長(zhǎng)度（四邊形的周長(zhǎng)）盡可能的短．問(wèn)圍墻總長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，求出圍墻總長(zhǎng)度的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，在中，，，點(diǎn)，分別為邊，上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)恰好在線段的延長(zhǎng)線上(1)若，，求的長(zhǎng)；(2)若，為的中點(diǎn)，猜想線段和之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)在（2）的條件下，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)A在第一象限，且，．(1)若點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，向x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上運(yùn)動(dòng)，C、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，①如圖1，連接，連接，若當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)度；②如圖2，連接，若D為中點(diǎn)時(shí)，，求證：；(2)如圖3，點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸，連接，若，，垂足為點(diǎn)F，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，P為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，取最小值，求此時(shí)的長(zhǎng)（用含m的式子表示）．參考答案1．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）解，求得，根據(jù)即可求解；（2）延長(zhǎng)使得，連接，可得，根據(jù)，得出四點(diǎn)共圓，則，，得出，結(jié)合已知條件得出，可得，即可得證；（3）在取得最小值的條件下，即，設(shè)，則，，根據(jù)題意得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，延長(zhǎng)使得，連接，

∵是的中點(diǎn)則，，，∴，∴，∴，∴∵是等邊三角形，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，設(shè)，則，，∴，，∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．∴∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，∴在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是的中點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，則，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，如圖所示，連接，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

∴，是的中點(diǎn)，∴即是的中位線，同理可得是的中位線，∴，∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，∴∴則在中，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓外一點(diǎn)到圓上距離的最值問(wèn)題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得出，，運(yùn)用勾股定理可得出，再運(yùn)用含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，在上截取，連接，先證明是等腰直角三角形，再證明，即可證得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，取中點(diǎn)，連接，，利用軸對(duì)稱性質(zhì)和三角形中位線定理可求得，要使最大，必須最大，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離及三角形三邊關(guān)系可得的最大值，即可求得答案．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，在上截取，連接，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；（3）如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，取中點(diǎn)，連接，，∵AB=4，∠ACB=90°，AC=BC，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，的最大值為，，，，，，、關(guān)于對(duì)稱，、關(guān)于對(duì)稱，三角形周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng)，，，，，，，要使最大，必須最大，的最大值為，三角形周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng)，即【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱性質(zhì)，三角形中位線定理等，解題關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形，通過(guò)軸對(duì)稱性質(zhì)解決線段的最值問(wèn)題．3．(1)線段垂直線段(2)；(3)①；②或者(4)【分析】題目主要考查折疊的性質(zhì)，解三角形，相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意及勾股定理得出，即可確定，再由余弦函數(shù)代入求解即可；（3）①過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，再由三角函數(shù)確定，結(jié)合圖形即可求解；②分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，作出相應(yīng)輔助線，設(shè)，此時(shí)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)及一元二次方程的解法求解即可；（4）設(shè)為不同于的一點(diǎn)，此時(shí)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用軸對(duì)稱性質(zhì)得出，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)及解三角形即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：線段垂直線段，理由如下：是沿折疊得到，，線段是線段垂直平分線的一部分，線段垂直線段；（2）當(dāng)共線時(shí)，點(diǎn)重合，，在中，，，，，，，，，此時(shí)；（3）①過(guò)點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，∴，由勾股定理可得，，，在中，，，，同理：，，，，，，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，；②當(dāng)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，此時(shí)，，，，，，，（舍去），點(diǎn)到的距離為，當(dāng)時(shí)，同理可得：，點(diǎn)到的距離為，綜上所述：點(diǎn)到的距離為或者；（4），當(dāng)最小時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，最小，理由如下：設(shè)為不同于的一點(diǎn)，此時(shí)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，，，，，在中，，此時(shí)最小，在中，，，的最大值為：．4．(1)見(jiàn)解析(2)1(3)(4)【分析】（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，由三角形內(nèi)角和得，繼而得到，繼而得到本題答案；（2）設(shè)，根據(jù)菱形性質(zhì)及角的轉(zhuǎn)化證明，繼而利用相似比得到本題答案；（3）過(guò)點(diǎn)作的對(duì)稱點(diǎn)，由題意得點(diǎn)在上，連接，當(dāng)時(shí)，最小，即最小，則，，則，由得：，解得：，故，顯然為等邊三角形，則，由對(duì)稱得，，可求證，故；（4）當(dāng)最大，即最小，同上可知時(shí)，最小，同上可求，則．【詳解】（1）解：∵菱形，∴，∴，∴，∵將菱形沿翻折，點(diǎn)分別落在處，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴設(shè)，，，∴，，∴，解得：，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)作的對(duì)稱點(diǎn)，由題意得點(diǎn)在上，連接，當(dāng)時(shí)，最小，即最小，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，設(shè)，則，∴由得：，解得：，∴∵，，∴為等邊三角形，∴，由對(duì)稱得，，∴，∴∴，∴；（4）解:過(guò)點(diǎn)作的對(duì)稱點(diǎn)，由題意得點(diǎn)在上，連接，當(dāng)最大，即最小，同上可知時(shí)，最小，同上可求，∴．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，相似三角形判定及性質(zhì)，等邊三角形判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決本題的關(guān)鍵．5．(1)(2)①等邊；②當(dāng)點(diǎn)P在（點(diǎn)為點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)）的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值為2【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可；（2）①是等邊三角形，證明，即可；②結(jié)論：．如圖3中，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，此時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1中，點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，，，，，．（2）解：①如圖2中，點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，，，，，，是等邊三角形；②如圖3中，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，此時(shí)，，，，，，，，，，，時(shí)等邊三角形，，，，，，，，，，．∴點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值為2，【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6．(1)(2)的大小不變，始終為(3)，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形及軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求得，進(jìn)而可得答案；（2）設(shè)的大小為，則，由軸對(duì)稱可知，，可得，，進(jìn)而求得，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出答案；（3）作的外接圓，連接，，，過(guò)點(diǎn)作，，可知（當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)），進(jìn)而根據(jù)三角形的面積即可求得的面積最大值，再證、、、四點(diǎn)共圓，點(diǎn)在以為圓心，為直徑，的圓上運(yùn)動(dòng)，連接并延長(zhǎng)交與，則，根據(jù)運(yùn)動(dòng)臨界點(diǎn)可知所掃過(guò)的面積為弦所對(duì)的弓形的面積，進(jìn)而可求得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)為等邊三角形，，則，由軸對(duì)稱可知，，∴，故答案為：；（2）的大小不變，始終為．設(shè)的大小為，則由軸對(duì)稱可知，，，∵，則，，是的外角，；（3）作的外接圓，連接，，，過(guò)點(diǎn)作，，由（2）可知，，，∴，∵，∴，則，，∴（當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)），∴的面積最大值為；∵，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，∴，，，則、、、四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)在以為圓心，為直徑，的圓上運(yùn)動(dòng)，連接并延長(zhǎng)交與，則，∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)的過(guò)程中，所掃過(guò)的面積為弦所對(duì)的弓形的面積，∴掃過(guò)的面積；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）的最大值為；（4）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，，可證四邊形是正方形；（2）由正方形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求解；（3）將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，由折疊的性質(zhì)可求，當(dāng)，，三條線段共線時(shí)，有最大值為，即可求解；（4）由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，可求，當(dāng)，，三條線段共線時(shí)，有最大值．【詳解】解：（1）將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形；（2）設(shè)，四邊形是正方形，，，，，在中，，，或（舍去），；（3）如圖，將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，連接，，，，，，，，，，，，，當(dāng)，，三條線段共線時(shí)，有最大值，則的最大值；（4）如圖，將沿著翻折得到，將沿著翻折得到，連接，

，，，，，，，，，，當(dāng)，，三條線段共線時(shí)，有最大值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用折疊的性質(zhì)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．8．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)得到，推出，求證可得，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一即可證明；（2）①設(shè)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形呢幾何定理得出；②作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)最大，證明是等邊三角形，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】（1）證明：，，和為等邊三角形，，，．在和中，，，，，，；（2）①設(shè)由（1）可得，則又∴,∵，∴∵，∴，∵即，∴，②∴∵∴∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，如圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接此時(shí)最大，由①可得∴∵∴∴∴是等邊三角形∴∴∵∴即的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．(1)(2)①等邊②點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值為2，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可；（2）①是等邊三角形，證明，即可；②結(jié)論：．如圖3中，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，此時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1中，點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，，，，，．（2）解：①如圖2中，點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，，，，，，是等邊三角形；②如圖3中，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，此時(shí)，，，，，，，，，，，時(shí)等邊三角形，，，，，，，，，，．∴點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值為2，【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．（1）見(jiàn)解析；（2）2；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，可得∠ABC=60°，由D、F關(guān)于直線BE對(duì)稱，得到BF=BD，則∠BFD=∠BDF，由三角形外角的性質(zhì)得到∠BFD+∠BDF=∠ABD，則∠BDF=∠BFD=30°；（2）設(shè)，由D、F關(guān)于直線BE對(duì)稱，得到∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，EG=DG，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，，證明△EAB≌△DAC得到，再由，得到，由此求解即可；（3）連接OG，先求出，證明OG是三角形DMF的中位線，得到，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，則OE的最大值等于BC．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵D、F關(guān)于直線BE對(duì)稱，∴BF=BD，∴∠BFD=∠BDF，∵∠BFD+∠BDF=∠ABD，∴∠BDF=∠BFD=30°；（2）設(shè)，∵D、F關(guān)于直線BE對(duì)稱，∴∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，∴∠EDG=EFG=45°，∴EG=DG，∵∠BDG=30°，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAB=∠DAC，又∵AB=AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖所示，連接OG，∵在等腰直角三角形DMN中，，∴，∵D、F關(guān)于直線BE對(duì)稱，∴G為DF的中點(diǎn)，又∵O為FM的中點(diǎn)，∴OG是三角形DMF的中位線，∴，由（2）可得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，∴OE的最大值等于BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形中位線定理，兩點(diǎn)之間線段最短等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．11．(1)(2)存在，周長(zhǎng)的最小值為8(3)存在，或【分析】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．（1）由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，，可得，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，與交于，即的周長(zhǎng)最小值為，由直角三角形的性質(zhì)可求，的長(zhǎng)，可求點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（3）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)，，四邊形是矩形，，，，由折疊可知：，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，即，解得（負(fù)值舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，與交于，，，的周長(zhǎng)為，則點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)最小值為，由（1）可得，點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，，點(diǎn)，點(diǎn)，，的周長(zhǎng)最小值為8；（3）解：存在點(diǎn)使得△為等腰三角形，若，如圖3，，，，，若時(shí)，如圖4，，，；若，如圖5，，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不存在這樣的點(diǎn)．綜上所述：的度數(shù)為或．12．(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)存在，，【分析】（1）①證明即可解答；②證明，得出，再結(jié)合①得出，即可得，證明，即可解答．（2）取的中點(diǎn)，證明，得出，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，證明，得出，取中點(diǎn)，連接，得出是的中位線，，，則三點(diǎn)共線時(shí)，最?。^(guò)作于點(diǎn)，求出，，連接，勾股定理求出，根據(jù)，求出的最小值為．再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可解答．【詳解】（1）解：①證明：在中，，，，在與中，，．②證明：，，，，，，，，，．（2）解：存在．四邊形是平行四邊形，，，取的中點(diǎn)，則，，，在和中，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，∴，∴，，取中點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，則三點(diǎn)共線時(shí)，最小．過(guò)作于點(diǎn)，則，，，，，連接，，，，的最小值為．∵，∴，∴，，∴，∴，故此時(shí)．【點(diǎn)睛】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，三角形中位線定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．13．（1）；（2）；（3）圍墻總長(zhǎng)度存在最小值，最小值為【分析】（1）根據(jù)解直角三角形的計(jì)算得到，，由即可求解；（2）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，則，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為的長(zhǎng)，作的中位線，則，，，，由此即可求解；（3）如圖3，延長(zhǎng)和，兩線交于點(diǎn)，根據(jù)解直角三角形得到，，，，分別作點(diǎn)關(guān)于，所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，，所以,當(dāng)點(diǎn)，，，，共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，該最小值等于線段的長(zhǎng)，，，，在中，，由此即可求解．【詳解】解：（1）在中，，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；（2）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，則，，∴，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為的長(zhǎng)，取的中點(diǎn)，即，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，即的最小值為；（3）如圖3，延長(zhǎng)和，兩線交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，，，分別作點(diǎn)關(guān)于，所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，，∴，，，四邊形關(guān)于所在直線對(duì)稱，∴，∴,∴當(dāng)點(diǎn)，，，，共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，該最小值等于線段的長(zhǎng)，根據(jù)題意可得，，，∴，，，，根據(jù)題意，四邊形是矩形，則，，∴，，∴，∴，在中，，當(dāng)點(diǎn)，，，，共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)取得最小值，最小值為，故圍墻總長(zhǎng)度存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，掌握解直角