專題3.1整式【十大題型】

【華東師大版】

?題型梳理

【題型?代數(shù)式的表示及其含義】................................................................1

【題型2用字母表示變化規(guī)律】..................................................................1

【胭型3整式相關(guān)的概念辨析】.................................................................3

【題型4根據(jù)單項式的概念求字母參數(shù)的值】.....................................................3

【題型5根據(jù)多項式的概念求字母參數(shù)的值】.....................................................4

【題型6根據(jù)多項式不存在某項求字母參數(shù)的值】.................................................4

【題型7單項式與多項式中的結(jié)論開放性問題】...................................................4

【題型8單項式與多項式綜合運(yùn)用】.............................................................5

【題型9與整式有關(guān)的規(guī)律探究題】.............................................................5

【題型10列整式解決實(shí)際問題】.................................................................5

，舉一反三

【知識點(diǎn)1代數(shù)式】

用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.

【題型1代數(shù)式的表示及其含義】

【例1】（2023春黑龍江雙鴨山七年級?？计谥校┬⊥跤?00元人民幣買3枚面值為。元的郵票，應(yīng)找回

元.

【變式1-1］（2023春?福建三明?七年級統(tǒng)考期中）一個長為5cm的長方形的周長為2（5+3）cm,則字母〃

表示的是.

【變式1-2］（2023春?山西大同?七年級統(tǒng)考期中）-。是（）

A.負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.0D.正負(fù)無法確定

【變式1?3】（2023春?福建泉州?七年級校聯(lián)考期中）一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個位數(shù)字

為3則這個三位數(shù)為（）

A.abcB.a+b+cC.100a+10b+cD.lOOabc

【題型2用字母表示變化規(guī)律】

【例2】（2023春?福建福州?七年級?？计谥校┯^察下列等式：

TX—,

--X-=

2323

⑴寫出第4個等式是：；

⑵猜想并寫出第〃個等式是：;（〃為正整數(shù)）

（3）探究并計算：（TX3+（-*）+（-*）+…+（-募X募）.

【變式2-1］（2023春?廣?東梅州?七年級?？计谀┤我膺x取四個連續(xù)的自然數(shù)，將它們的積存加上1,所

得的結(jié)果可以用一個自然數(shù)的平方表示.如：1x2x3x44-1=25=52;2x3x4x54-1=121=

II2.........設(shè)這四個連續(xù)的自然數(shù)分別為九,72+l,n+2,n+3,則n（n4-l）（n+2）（n+3）+1=（△）?,

其中緡'用含〃的式子表示為.

【變式2-2］（2023春?湖南永州?七年級校考期中）觀察下列算式：

I2-02=1+0=1;22—I2=2+1=3：32-22=3+2=5；

42-32=4+3=7；52-42=5+4=9：......

若字母〃表示正整數(shù)，請把第〃個等式用含〃的式子表示出來：.

【變式2-3］（2023春?安徽安慶?七年級統(tǒng)考期中）觀察下列等式：

第1個等式：M=I3

第2個等式：（1+2）2=13+23；

第3個等式：（1+2+3）2=13+23+33；

第4個等式：（1+2+3+4￥=「+23+33+43

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：

（2）寫出第n（n為正整數(shù)）個等式：（用含n的等式表示）

（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律11?+123+133+…+1003的值;

（4）計算134-33+53+73+…+993的值.

【知識點(diǎn)2整式相關(guān)的概念】

單項式：如-2x），2,：〃〃?，」，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字

母也是單項式.注意：（1）單項式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子：②單

獨(dú)的一個數(shù)；③單獨(dú)的一個字母.（2）單項式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算.

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù).一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).

多項式：幾個單項式的和叫做多項式.其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項.多項

式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù).

整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.

【題型3整式相關(guān)的概念辨析】

【例3】（2023春?吉林?七年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式：—ab,:，a+b,a2+a-l.回答下列問

題：

⑴單項式分別為：:

⑵多項式分別為：：

⑶整式有個；

⑷-ab的系數(shù)為；

⑸次數(shù)最高的多項式為.

【變式3-1］（2023春?福建福州?七年級?？计谥校┫铝姓f法中，錯誤的是（）

A.5a2b的次數(shù)是3B.一x的系數(shù)為一1

C./y-l是二次二項式D.字不是單項式

【變式3-2］（2023春?湖南長沙?七年級校聯(lián)考期末）在代數(shù)式x-y,3Q,/-y+，（xyz,0,乃，等中有

（）

A.3個多項式，4個單項式B.2個多項式，5個單項式

C.8個整式D.3個多項式，5個單項式

【變式3-3］（2023春?吉林長春?七年級?？计谀⒍囗検?-4必+3a2b2-/按字母6降耳排列后，則

從左邊數(shù)第三項為.

【題型4根據(jù)單項式的概念求字母參數(shù)的值】

［例4］（2023春?貴州黔西?七年級統(tǒng)考期中）已知（a-3）x2y⑶+（b+2）是關(guān)于x,y的五次單項式，求a2-3ab+b2

的值.

【變式4-1］（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）若（m+3）/yn+i是關(guān)于刈y的五次單項式且系數(shù)為6,試求

m,ri的值.

【變式4-2］（2023春?江蘇南通?七年級校聯(lián)考期中）若（m+2）2x^-2是關(guān)于x,y的六次單項式，則m。,

n=.

值等于3.你寫的整式是.

【變式7-3］（2023春?吉林?七年級統(tǒng)考期末）任意寫出一個含有字母機(jī)，〃的三次四項式，其中最高次項

的系數(shù)為6,常數(shù)項為-8的式子為.

【題型8單項式與多項式綜合運(yùn)用】

2

【例8】（2023春?廣西河池?七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于為），的多項式片.嚴(yán)+'+入7-2?-5是六次四項式，單

項式3/〃律m的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同，求的值.

【變式8-1］（2023?全國?七年級假期作業(yè)）已知多項式”+1、2一二+/,一1是關(guān)于r）,的五次四項式，

單項式一8%2y3z的次數(shù)為兒。是最小的正整數(shù)，求9一/）/+1的值.

【變式8-2］（2023春?全國?七年圾專題練習(xí)）已知單項式的次數(shù)為5,多項式6+3-產(chǎn)-%2沖產(chǎn)

的次數(shù)為6,求單項式（加+〃）R沙〃的次數(shù)與系數(shù)的和.

【變式8-3］（2023春?陜西西安?七年級統(tǒng)考期末）已知多項式一3//+1-2x2y2+4y2+8是五次四項式,

單項式5”y的次數(shù)與該多項式的二次項系數(shù)相同，求mn的值.

【題型9與整式有關(guān)的規(guī)律探究題】

【例9】（2023春?云南昭通?七年級統(tǒng)考期末）一組按規(guī)律排列的式子：一2,…….第n個式子

234

是（n為正整數(shù)）（）

A.（-l）n+1—B.（-l）n—C.（-l）n—D.（-l）n—

k7n'）n+1v7nv7n

【變式9-1］（2023春?廣東梅州七年級?？奸_學(xué)考試）觀察下列數(shù):專,一或，一晝，…，按此規(guī)律排

列，第十個數(shù)為.

【變式9-2）（2023春?遼寧錦州?七年級統(tǒng)考期末）一組按規(guī)律排列的兩項式:a-b,a2-b3,a3-b5,a4-b7,

...?則第2023個兩項式為.

【變式9-31（2023春?山西忻州?七年級校考期中）觀察下列多項式:2a—b,4a+b2,8a-b3,16a+b\...?

按此規(guī)律，則可得到第2023個多項式是.

【題型10列整式解決實(shí)際問題】

【例10】（2023春?吉林長春?七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩家體育用品商店出售同樣的乒乓球拄和乒乓球，

乒乓球拍每副定價40元，乒乓球每盒定價5元，現(xiàn)兩家商店搞促銷活動，甲店的優(yōu)惠辦法是：每買一副乒

乓球拍贈兩盒乒乓球；乙店的優(yōu)惠辦法是：全部商品按定價的8.5折出售.某班需購買乒乓球拍4副和工盒

乒乓球.

⑴當(dāng)％>8時，分別求在這兩家商店購買所需支付的費(fèi)用.（用含五的代數(shù)式表示）

⑵當(dāng)％=20時，分別計算在這兩家商店購買所需支付的費(fèi)用，如果這兩種方案可以同時使用，請幫助該班

設(shè)計?種最省錢的購買方案，并計算此方案所需支付的費(fèi)用.

【變式10-1】（2023春?山東臨沂?七年級統(tǒng)考期中）某公園的門票價格是：成人票每張10元，學(xué)生票每張5

元，一個旅游團(tuán)有成人工人，學(xué)生y人.

（1）該旅游團(tuán)應(yīng)付多少門票費(fèi)？

（2）如果該旅游團(tuán)有30個成人和15個學(xué)生，那么他們應(yīng)付多少門票費(fèi)？

【變式10-2】（2011秋?山東?七年級統(tǒng)考期中）今年十月份，為方便民眾出行，連江縣成立了出租車公司，

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價5元，可乘坐3千米；3千米之后每千米加收1.8元.若某人乘坐了x千米，

（1）用代數(shù)式表示他應(yīng)支付的費(fèi)用；

（2）若他乘坐了13千米，應(yīng)支付多少元？

【變式10-3】（2023春?河北邯邨匕年級統(tǒng)考期末）某超市新進(jìn)了一批百香果，進(jìn)價為每斤8元，為了合理

定價，在前五天試行機(jī)動價格，售出時每斤以10元為標(biāo)準(zhǔn)，超*10元的部分記為正，不足10元的部分記為

負(fù)，超市記錄的前五天百香果的銷售單價和銷售數(shù)量如下表所示，

第1天第2天第3天第4天第5天

銷售單價（元）+1-2+3-1+2

銷售數(shù)量（斤）2035103015

⑴前5天售賣中，單價最高的是第天；單價最高的一天比單價最低的一天多元;

⑵求前5天售出百香果的總利潤；

⑶該超市為了促銷這種百香果，決定推出一種優(yōu)惠方案：購買不超過6斤百香果，每斤12元，超出6斤的

部分，每斤9.6元.若嘉嘉在該超市買x（x>6）斤百香果，用含'的式子表示嘉嘉的付款金額.

專題3.1式【十大題型】

【華東師大版】

，題型梳理

【胭型?代數(shù)式的表示及其含義】................................................................I

【潁型2用字母表示變化規(guī)律】..................................................................1

【題型3整式相關(guān)的概念辨析】.................................................................3

【題型4根據(jù)單項式的概念求字母參數(shù)的值】.....................................................3

【題型5根據(jù)多項式的概念求字母參數(shù)的值】.....................................................4

【題型6根據(jù)多項式不存在某項求字母參數(shù)的值】.................................................4

【題型7單項式與多項式中的結(jié)論開放性問題】...................................................4

【題型8單項式與多項式綜合運(yùn)用】.............................................................5

【題型9與整式有關(guān)的規(guī)律探究題】.............................................................5

【超型10列整式解決實(shí)際問題】.................................................................5

，舉一反三

【知識點(diǎn)1代數(shù)式】

用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.

【題型1代數(shù)式的表示及其含義】

【例I】(2023春?黑龍江雙鴨山?七年級校考期中)小王用100元人民幣買3枚面值為〃元的郵票，應(yīng)找回

元.

【答案】(100-3a)

【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的代數(shù)式，本題得以解決.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：用于買郵票的錢是：3a元，

則應(yīng)找回(100-3a)元，

故答案為：(100-3a).

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式.

【變式1-1](2023春?福建三明?七年級統(tǒng)考期中)一個長為5cm的長方形的周長為2(5+/?)cm,則字母人

表示的是.

【答案】寬

【分析】根據(jù)長方形的周長等于(長+寬)x2解答即可.

【詳解】解：團(tuán)長方形的長為S.周長為2(S+〃).

勖表示長方形的寬，

故答案為：寬.

【點(diǎn)睛】本題考查長方形的周長、用字母表示數(shù)，熟記長方形的周長公式是解答的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023春?山西大同?七年級統(tǒng)考期中）一々是（）

A.負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.0D.正負(fù)無法確定

【答案】D

【分析】根據(jù)代數(shù)式的意義分析即可.

【詳解】；Q可以表示負(fù)數(shù)，正數(shù)，0,

???-。也可以表示負(fù)數(shù)，正數(shù)，0,

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的意義，理解代數(shù)式的意義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023春?福建泉州?匕年級校聯(lián)考期中）一個二位數(shù)，百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個位數(shù)字

為C,則這個三位數(shù)為（）

A.abcB.a+b+cC.100a+10b+cD.lOOabc

【答案】C

【分析】三位數(shù)=百位上的數(shù)字X100+十位上的數(shù)字xl0+個位上的數(shù)字，把相關(guān)數(shù)值代入即可.

【詳解】團(tuán)一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個位數(shù)字為c,

團(tuán)這個三位數(shù)可以表示為100a+10b+c,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，掌握三位數(shù)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵.

【題型2用字母表示變化規(guī)律】

【例2】（2023春?福建福州?七年級?？计谥校┯^察下列等式：

2323

111,1

--X-=--+

⑴寫出第4個等式是：；

⑵猜想并寫出第〃個等式是：:（〃為正整數(shù)）

⑶探究并計算：（Tx3+（-*）+（-*）+…+（-土x康）.

【答案】（if那

■O■O

⑵一丁國一+有

⑶-照

【分析】（1）按照上面計算方法計算即可得出答案；

（2）根據(jù)題目規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，一'2二一三+士；

nn+1nn+1

（3）由規(guī)律式子變形，中間部分互相抵消，只剩首項和尾項，即可算出答案.

【詳解】（1）解：團(tuán)—lxg=—1+g,

田第4個等式為一:=+

4545

故答案為：一+

4545

（2）解：-1X；-1+$

第〃個等式是：一'a二一工+士.

nn+1nn+1

故答案為：--?——=--H—.

nn+17in+1

（3）解:（-”3+（-沁）+（-*）+…+（-表x嬴）

=（-1+與+（-工+!）+（--+-）+…+（——二+」一）

\2/V23/\34/\20222023/

1111111

2233420222023

1

=-1+----

2023

2022

―2023,

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，探索出等式的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2023春?廣東梅州?七年級校考期末)任意選取四個連續(xù)的自然數(shù)，將它們的積存加上1,所

得的結(jié)果可以用一個自然數(shù)的平方表示.如：1X2X3X4+1=25=52；2X3X4X5+1=121=

II2.........設(shè)這四個連續(xù)的自然數(shù)分別為n,n+l,n+2,n+3,Mn(n+l)(n+2)(n+3)+1=(A)2,

其中“er用含〃的式子表示為.

【答案】n2+3n+1

【分析】根據(jù)所給等式歸納總結(jié)得到第〃個算式即可.

【詳解】解：01x2x3x4+1=(I24-3x1+1)=52,

2x3x4x54-1=(22+3x2+1)=II2,

3x4x5x64-1=(32+3x3+1)=192,

0n(n+l)(n+2)(n+3)4-1=(n2+3n4-1)2,

呼曾用含〃的式子表示為足+3n+1,

故答案為：n2+3n+1.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，數(shù)字類規(guī)律探索，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023春?湖南永州?七年級校考期中)觀察卜.列算式：

22222

12-0=1+0=1;2-1=2+1=3；3-2=3+2=5；

42-32=4+3=7；52—42=5+4=9；......

若字母〃表示正整數(shù)，請把第〃個等式用含〃的式子表示出來：.

[答案】n2-(n-I)2=n4-(n-1)=2n-1

【分析】觀察式子即可得出結(jié)論.

【詳解】解：觀察式子可發(fā)現(xiàn)《2-5-1)2="+(71-1)二2九一1,

故答案為：n2-(n-I)2=n+(n-1)=2n-1.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型，觀察式子得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?安徽安慶七年級統(tǒng)考期中)觀察F列等式：

第1個等式："=13

第2個等式：(1+2)2=13+23；

第3個等式：(1+2+3y=I3卜23433；

第4個等式：(1+2+3+4)2=I3+23+33+43

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：

⑵寫出第n(n為正整數(shù))個等式：(用含n的等式表示)

⑶利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律1#+123+133+…+1003的值；

⑷計算尸+33+53+73+-+993的值.

【答案】⑴(1+2+3+4+5)2=I3+23+33+43+53

(2)(1+2+3+4+54-+n)2=I3+23+334-43+53+???+n3

⑶25499475

(4)12497500

【分析】(1)根據(jù)題「中給定的式子，寫出第5個式子即可；

(2)根據(jù)給定的式子，寫出第n(n為正整數(shù))個等式即可；

33333333333

(3)將1#+12+13+…+1003轉(zhuǎn)化為(/+2+3+4+5+…+100)-(I+2+34-4+

53+…+103),利用前面等式的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為(1+2+3+4+54--+100)2-(1+2+34-4+5+-+

10)2,進(jìn)行求解即可；

(4)將13+33+53+73+…+993轉(zhuǎn)化為(1+2+34-4+5+-+100)2-8(14-2+3+4+5+-+

50)2,進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：第五個式子為：(1+2+3+4+5/=1+23+33+43+53

(2)(1+2+3+4+5+…+九)2=F+23+33+43+53+…+川

(3)II3+123+1334-143+153+…+1003

=(I3+23+33+43+53+…+1003)-(I3+23+33+43+53+-+103)

=(1+2+3+4+5+…+100)2—(1+2+3+4+5+…+10)2

=50502-552

=25499475；

(4)13+33+53+73+…+993

=(I3+23+33+43+53+…+1003)-(23+43+63+83+…+1003)

=(1+2+3+44-5+-+100)2-8(1+2+3+4+5+…+50)2

=50502-8(51x25)2

=25502500-13005000

=12497500.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵是得到（1+2+3+4+5+…+幾）2=I+23+33+43+

53+…十九3.

【知識點(diǎn)2整式相關(guān)的概念】

單項式；如-2A/，-1,它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字

母也是單項式.注意：（I）單項式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單

獨(dú)的一個數(shù)；③單獨(dú)的一個字母.（2）單項式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算.

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù).一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).

多項式：幾個單項式的和叫做多項式.其中每個單項式叫做多項式的頂，不含字母的項叫做常數(shù)項.多項

式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù).

整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.

【題型3整式相關(guān)的概念辨析】

【例3】（2023春?吉林?七年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式：—Qb,-pa+b,a2+a-l.回答下列問

題：

⑴單項式分別為：：

⑵多項式分別為：：

⑶整式有個；

（4）-ab的系數(shù)為：

⑸次數(shù)最高的多項式為.

【答案】（1）—。匕，

（2）a+b,a2+a—1

⑶4

（4）-1

（5）a2+a—1

【分析】根據(jù)單項式的定義即可得出（1）,根據(jù)多項式的定義即可得出（2）,根據(jù)整式的定義即可得出

（3）,根據(jù)間項式的系數(shù)的定義即可得出（4）,根據(jù)多項式的次數(shù)的定義即可得出（5）.

【詳解】（1）解：單項式有一出），-p

故答案為：-ab,—p

（2）多項式有a+b,a2+a-1-

故答案為：Q+b,a2+a—

（3）整式有-a匕,—pa+b,a2+a—1共4個；

故答案為:4；

（4）-ab的系數(shù)為一1；

故答案為：—1：

（5）次數(shù)最高的多項式為M+。一1.

故答案為：a2+a-l.

【點(diǎn)睛】本題考查J'單項式，整式和多項式的定義，多項式的項和次數(shù)等知識點(diǎn)，能熟記單項式和多項式

的定義是解此題的關(guān)犍，注意：表示數(shù)與數(shù)或數(shù)與字母的積，叫單項式，單獨(dú)一個數(shù)或字母也是單項式，

兩個或兩個以上單項式的和，叫多項式，單項式和多項式統(tǒng)稱整式，多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫這

個多項式的次數(shù).

【變式3-1］（2023春?福建福州?七年級校考期中）下列說法中，錯誤的是（）

A.5a2b的次數(shù)是3B.的系數(shù)為-1

C./y-l是二次二項式D.等不是單項式

【答案】C

【分析】根據(jù)單項式和多項式的定義，單項式的次數(shù)、系數(shù)，多項式的次數(shù)，系數(shù)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：A.5a2b的次數(shù)是3,故A正確，不符合題意；

B.一%的系數(shù)為一1,故B正確，不符合題意；

C./y-l是三次二項式，故C錯誤，符合題意；

D.審是多項式，不是單項式，故D正確，不符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項式和單項式的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式系數(shù)和次數(shù)，單項式的系

數(shù)和次數(shù).

【變式3-2］（2023春?湖南長沙?七年級校聯(lián)考期末）在代數(shù)式％-y,3a,x2-y+xyz,0,n,手中有

（）

A.3個多項式，4個單項式B.2個多項式，5個單項式

C.8個整式D.3個多項式，5個單項式

【答案】A

【分析】根據(jù)單項式和多項式的定義逐一判斷可得答案.

【詳解】解：在所列代數(shù)式中，單項式有3a,xvz,0,n這4個，

多項式有x-y,x2-y+1,等這3個，共7個整式，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項式與單項式，解題的關(guān)鍵是掌握單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，?個單

項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)，幾個單項式的和是多項式.

【變式3-3］（2023春?吉林長春?七年級?？计谀⒍囗検?-4必+3a2爐-/按字母匕降履排列后，則

從左邊數(shù)第三項為.

【答案】-4ab

【分析】先把多項式按照字母方的指數(shù)由高到低排列，從而可得答案.

【詳解】解：多項式2-4ab+3a2b2-/按字母力降事排列后為：

—b3+3a2h2-4ah+2,

團(tuán)從左邊數(shù)第三項為-4出?，

故答案為:-4ab.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多項式的降‘曷排列，熟記多項式的降曷排列的含義是解本題的關(guān)鍵.

【題型4根據(jù)單項式的概念求字母參數(shù)的值】

【例4）（2023春?貴州黔西?七年級統(tǒng)考期中）已知（a-3）x2yla|+（b+2）是關(guān)于x,y的五次單項式，求a2-3ab+b2

的值.

【答案】-5.

【分析】根據(jù)單項式及單項式次數(shù)的定義，可得出a、b的值，代入代數(shù)式即可得出答案.

【詳解】（3（a-3）xV3|+（b+2）是關(guān)于x,y的五次單項式,

（|Q|=3

0jb=-2.

Q-300

叩（a=-3

力=-2

貝Ija2-3ab+b2=9-18+4=-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項式的知識，屬于基礎(chǔ)題，掌握單項式的定義及單項式次數(shù)的定義是解答本題的關(guān)

鍵.

【變式4-1］（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）若（m+3）/y，i+】是關(guān)于％,y的五次單項式且系數(shù)為6,試求

m,ri的值.

【答案】m=3,n=2

【分析】根據(jù)題意可得m+3=6.n+1+2=5,進(jìn)而求得的值.

【詳解】解：???（血+3）%2尸+1是關(guān)于％,y的五次單項式且系數(shù)為6,

.%?n+3=6,n4-14-2=5

二m=3,72=2

【點(diǎn)睛】本題考查了單項式的系數(shù)與次數(shù)，單項式中，數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)，單項式中所有字母的指

數(shù)的和叫做它的次數(shù)，掌握單項式的系數(shù)與次數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023春?江蘇南通?七年級校聯(lián)考期中）若（m+2）2x^2是關(guān)于x,y的六次單項式，則m。,

n=.

【答案】-25

【詳解】試題解析:（3（m+2）2x3產(chǎn)2是關(guān)于x,y的六次單項式，

團(tuán)m+2x0,3+n-2=6.

解得mo-2,n=5.

故答案為：-2；5.

考點(diǎn)：單項式.

【變式4-3］（2023春?六年級單元測試）已知單項式一，y2m-i與-22/丫2的次數(shù)相同.

?5

⑴求m的值；

（2）求當(dāng)x--9,y--2時單項式一|ky2m-i的值.

【答案】⑴2

（2）-48

【分析】（1）根據(jù)單項式的次數(shù)的定義，即可得到?個關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值:

（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求得代數(shù)式，然后把％,y的值代入即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：1+2m一1=2+2,

解得：771=2：

(2)回m=2,

3

0_^xy2m-i=-^Xy,

?5J

則當(dāng)％=-9,y=-2時，

原式=x(-9)x(-8)=-48.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項式的次數(shù)的定義，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).根據(jù)定義求得m的值

是關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)多項式的概念求字母參數(shù)的值】

[例5](2023春?陜西商洛?七年級統(tǒng)考期末)已知多項式(a-2)爐+3xd+x-7是關(guān)于x的四次三項式,

則ab=.

【答案】8

【分析】根據(jù)多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)，單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)可得Q-2=

0,b=4,再解即可.

【詳解】解：由題意得：a-2=0,b=4,

解得：a=2,2?=4,

則ab=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查多項式，解題關(guān)鍵是掌握多項式次數(shù)的確定方法.

【變式5-1](2023春?四川遂寧?七年級統(tǒng)考期末)如果多項式(a-2)x43是關(guān)于％的三次多

項式，則()

A.a=0,b=3B.a=1,b=3

C.a=2,b=2D.a=2,b=3

【答案】D

【分析】根據(jù)多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：依題意可得2=0,b=3,

解得a=2、b=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項式的相關(guān)概念，掌握多項式次數(shù)的確定方法是解題關(guān)鍵.

【變式5-2]（2023春?湖南長沙?七年級統(tǒng)考期中）關(guān)于x,y的多項式/-3kxy-8是二次二項式，則常數(shù)

k=___.

【答案】0

【分析】根據(jù)題意可得-3攵=0,即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于x,y的多項式8是二次二項式，

-3k=0,

解得：k=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項式，熟練掌握幾個單項式的和叫做多項式，其中，每個單項式叫做多項式的

項；多項式的次數(shù)：多項式中最高次項的次數(shù)，叫做多項式的次數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2023春?廣西防城港?七年級統(tǒng)考期末）若多項式//ml十（7八十2）--y+3是?個關(guān)于x,y

的四次四項式，則6的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)多項式的次數(shù)和項數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：（3多項式//加+（77!+2）/一丫+3是一個關(guān)于％,y的四次四項式，

團(tuán)|m|=2且m+2H0,

解得：7九二2,

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項式，熟練掌握一個多項式有幾項就叫幾項式，次數(shù)最高的項的次數(shù)是幾就叫

幾次多項式是解題的關(guān)鍵.

【題型6根據(jù)多項式不存在某項求字母參數(shù)的值】

[例6]（2023春?山東濱州?七年級統(tǒng)考期末）當(dāng)k=時，多項式/+（15k-15）孫-3y2-20y不含孫

項.

【答案】1

【分析】多項式/+（15々-15）xy-3y2-20y的同類項合并已完成，不含%y項就是使15k-15為0,即可.

得出&值.

【詳解】解：由題意可得：15k-15=0,即15k=15,

解得k=l.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了多項式內(nèi)容，關(guān)鍵是理解不含盯項的含義.即合并后的孫項的系數(shù)為0.

【變式6-1](2023春?吉林?七年級統(tǒng)考期末)若多項式(々一5)爐一3%+1中不含/項，則k的值為.

【答案】5

【分析】根據(jù)不含某項即該項的系數(shù)為0進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：何伍一5)/—3%+1中不含/項，

歐-5=0,

齦=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項式項中的系數(shù)求值，熟知不含某項即該項的系數(shù)為0是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2023春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末)如果整式十九》是關(guān)于x的二次單項式，則().

A.m=0?n=0B.m=2,n=1C.m=0,n=1D.m=2,n=0

【答案】D

【分析】根據(jù)多項式項數(shù)和次數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：團(tuán)整式”|+心是關(guān)干x的二次單項式，

0m=2,n=0.

故迄D

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了多項式，關(guān)鍵是掌握一個多項式含有〃個單項式，次數(shù)是兒那么這個多項式就叫

b次。項式.

【變式6-3](2023春?北京東城七年級北京市第五中學(xué)分校校考期中)如果多項式一一伍一1)/+5/+

(b+3)x-1不含/和%項，則ab=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)題意得出爐和工項的系數(shù)為0,即一9一1)=。，b+3=0,解方程求出。和〃的值，代入即

可求出ab的值.

【詳解】0z4-(a-l)x3+5x2+(b+3)x-1不含/和％項，

0—(a—1)=0.Z?+3=0,

解得：a=1,b=—3,

團(tuán)a力=1x(—3)=-3.

故答案為；-3.

【點(diǎn)睛】此題考查了多項式的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是多項式不含有的項的系數(shù)為零.

【題型7單項式與多項式中的結(jié)論開放性問題】

【例7】（2023春?河南南陽?七年級統(tǒng)考期中）寫出一個單項式，要求：此單項式含有字母。、b,系數(shù)是負(fù)

數(shù)，次數(shù)是3.我寫的單項式為—.

【答案】答案不唯一，如:-ab2

【分析】單項式的次數(shù)是字母部分的次數(shù)和，系數(shù)是數(shù)字部分，據(jù)此即可解題.

【詳解】解：這個單項式可以是-ab）答案不唯一.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項式的定義，屬于簡單題，熟悉單項式的概念是解題關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023春?甘肅平?jīng)?七年級?？计谥校┬●R虎在抄寫一個5次單項式-;xy以□時，誤把字母y、

Z上的指數(shù)給漏掉了，原單項式可能是（填一個即可）.

【答案】一2%y2z2或一或一2%yz3

333

【分析】根據(jù)單項式的次數(shù)是單項式中所有字母指數(shù)之和即得.

【詳解】解：回單項式一彳孫口2口的次數(shù)是5

回y、z上的指數(shù)之和為5-1=4

團(tuán)有三種情況：一gxy?/或一|xyb或一jxyz?

故答案為：一,xy2z2或一；％y3z或一9％yz3

【點(diǎn)睛】本題考查單項式的次數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是理解單項式中所有字母指數(shù)之和是單項式的次數(shù).

【變式7-2］（2023春?江蘇南通?七年級校聯(lián)考期中）請你寫出一個只含.丫的整式，滿足當(dāng)x=-2時，它的

值等于3.你寫的整式是.

【答案】一弓刈答案不唯一

【分析】直接利用已知結(jié)合整式的定義：多項式和單項式的統(tǒng)稱，進(jìn)行求解即可.

【洋解】解：由題意可得：—|x（答案不唯一），當(dāng)x=-2時，-|x=3.

故答案為：一日工（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了整式，正確理解整式的定義是解題關(guān)鍵.

【變式7?3】（2023春?吉林?七年級統(tǒng)考期末）任意寫出一個含有字母機(jī)，”的三次四項式，其中最高次項

的系數(shù)為6,常數(shù)項為-8的式子為.

【答案】Gm3-2mn+n2-8（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三次四項式、最高次項的系數(shù)為6,常數(shù)項-8可寫出所求多項式，只要符合題意

即可.

【詳解】解：0—個含有字母m,n三次四項式，其中最高次項的系數(shù)為6,常數(shù)項為-8,

此多項式是：6m3-2mn+n2-3.

故答案是：6m3—2mn+n2—8.

【點(diǎn)睛】本題考杳了列代數(shù)式，多項式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式中系數(shù)、最高次項、常數(shù)項的概念.

【題型8單項式與多項式綜合運(yùn)用】

【例8】（2023春?廣西河池?七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x,y的多項式/>〃+/+孫是六次四項式，單

項式31〃產(chǎn)m的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同，求m-n的值.

【答案】1

【分析】根據(jù)多項式AV+，+A-/-2.?-5是六次四項式如2+//J+1-G,求得m的值，根據(jù)單項式盧〃】的次數(shù)

與這個多項式的次數(shù)相同知2〃+5-〃?=6,求得〃的值，再代入計算可得.

【詳解】解：因為多項式上嚴(yán)+/+通2-21-5是六次四項式，

所以2+w+l=6,

所以m=3,

因為單項式的次數(shù)也是六次，

所以2W+5-/M=6?

所以n=2,

所以吐〃=3-2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項式的知識，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握多項式次數(shù)的判斷，得出，小〃的

值，難度一般.

【變式8-1］（2023?全國?七年級假期作業(yè)）已知多項式嚴(yán)+^2一/+%2、-1是關(guān)于心的五次四項式，

單項式—8%2y3z的次數(shù)為4。是最小的正整數(shù)，求（Q-b）c+l的值.

【答案】16

【分析】根據(jù)多項式"。+'2一％3+/、-1是五次四項式，可得。+1=3,Q=2,由單項式-8/y3z的次

數(shù)為江c是最小的正整數(shù)，得出力=6,c=l,代入即可得出答案.

【詳解】團(tuán)多項式“。+于一%3+%2y-1是五次四項式，

團(tuán)a+l=3,a=2.

回單項式-8/y3z的次數(shù)為b,C是最小的正整數(shù)，

助=6,c=1.

團(tuán)（Q-匕），+1=（2-6>+1=（-4）2=16.

I3（a-b）c+i的值為16.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項式、單項式的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握單項式、多項式的定義.

【變式82]（2023春?仝國?七年級專題練習(xí)）已知單項式3/戶的次數(shù)為5,多項式6+丹-吳-#沖戶

的次數(shù)為6,求單項式（/〃+〃）.切沖的次數(shù)與系數(shù)的和.

【答案】8

【分析】根據(jù)己知求出〃?、〃的值，把〃?、〃的值代入單項式，求出單項式的系數(shù)和次數(shù)，即可得出答案.

【詳解】解：回單項式3/沖的次數(shù)為5,多項式6++3的次數(shù)為6,

26

024-/7=5,2+〃?+3=6,

解得：m=l,n=3,

0（m+〃）xmyn=4xy3,

系數(shù)是4,次數(shù)是1+3=4,

4+4=8,

即單項式（〃?+〃）皿少〃的次數(shù)與系數(shù)的和是8.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項式和單項式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力.

【變式8-3]（2023春?陜西西安?七年級統(tǒng)考期末）已知多項式-3//+1-2/必+4y2+8是五次四項式,

單項式5%為的次數(shù)與該多項式的二次項系數(shù)相同，求77m的值.

【答案】6

【分析】根據(jù)多項式次數(shù)，單項式的次數(shù)列等式求出“，〃，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)多項式-3/ym+i-2/y2+4y2+8是五次四項式，

有2+m+1=5,解得m=2,

根據(jù)單項式5”y的次數(shù)與一3/ym+i一2x2y2+4y2+8的二次項系數(shù)相同，

即有"+1=4,解得n=3?

則有：mn=2x3=6,

即值為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多項式和單項式的次數(shù)，掌握多項式和單項式次數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵.

【題型9與整式有關(guān)的規(guī)律探究題】

【例9】（2023春?云南昭通?七年級統(tǒng)考期末）一組按規(guī)律排列的式子：-2,-g…….第九個式子

234

是（n為正整數(shù)）（）

c（一1尸等

A.(-1嚴(yán)維B.(-1)噌D.(-l)n—

''n

【答案】D

【分析】觀察各式子可以得到分子滿足3幾-1,分母是連續(xù)整數(shù)符號為奇數(shù)位負(fù)，偶數(shù)為正，即為（-1尸十】,

按要求寫出公式即可.

【詳解】解：-2二一：......的分子相差3,故分子滿足3九一1,分母是連續(xù)整數(shù)"，符號為奇

1234

數(shù)位負(fù)，偶數(shù)為正，即為（-1尸,

回第一個式子是（一1尸零，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律問題，通過觀察得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1］（2023春?廣東梅州?七年級?？奸_學(xué)考試）觀察下列數(shù)：5,j一々，…，按此規(guī)律排

X6X4X5

列，第十個數(shù)為.

【答案】一士

X11

【分析】先通過觀察數(shù)字的變化規(guī)律得出第九個數(shù)是（-1），+1?春，再把九等于10代入即可.

【詳解】解:由1T3,-g...可得:

第九個數(shù)是：（一1尸+1?備，

則第十個數(shù)為（一1）】0+】?嬴=一擊.

故答案為：-4r-

X11

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化問題，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，在找規(guī)律時首

先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的解題的關(guān)鍵是把數(shù)據(jù)的分母用九表示出來.

【變式9-21（2023春?遼寧錦州?七年級統(tǒng)考期末）一組按規(guī)律排列的兩項式:a-b,a2-b3,a3-b5-b7,

…，則第2023個兩項式為.

【答案】。2。23一匕4。45

【分析】把已知的多項式看成由兩個單項式組成，分別找出兩個單項式的規(guī)律，也就知道了多項式的規(guī)律.

【詳解】解：多項式的第一項a的指數(shù)依次為：1，2,3,4,....

第二項b的指數(shù)依次為：1,3,5,7....（2x1-1=1,2x2-1=3,2x3-1=5,2x4-1=7,

…，）且系數(shù)都是一1，

團(tuán)第幾個式子是：〃一匕251,

當(dāng)力=2023時，這個二項式為。2。23,84045.

故答案為：a2023-b4045.

【點(diǎn)睛】本題考查多項式，本題屬于找規(guī)律的題目，把多項式分成幾個單項式的和，分別找出各單項式的

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式