（14）三角形及其全等（知識精煉）——中考數(shù)學一輪復習考點精煉與綜測重難講解1.三角形的三邊關(guān)系及角的關(guān)系分類按角分：按邊分：性質(zhì)三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.角的關(guān)系：（1）內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.（2）內(nèi)外角關(guān)系：a.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.如圖，b.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角如圖，邊角關(guān)系：在同一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊（大邊對大角，小邊對小角）三角形具有穩(wěn)定性2.三角形中的重要線段名稱圖形性質(zhì)重要結(jié)論中線三角形的三條中線的交點在三角形的內(nèi)部，這個點稱為重心.中線將三角形分成兩個面積相等的三角形.高，即銳角三角形的三條高的交點在三角形的內(nèi)部；直角三角形的三條高的交點是直角的頂點；鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部，這個點稱為垂心.角平分線三角形的三條角平分線的交點在三角形的內(nèi)部，這個點稱為內(nèi)心.中位線且中位線所截得的三角形與原三角形相似，其相似比為1:2，面積比為1:43.線段的垂直平分線線段的垂直平分線圖形性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等直線是線段的垂直平分線，為上一點，則；反過來，若，則點在線段的垂直平分線上判定與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上知識詳解（1）由線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，比利用兩三角形全等證明更簡捷.線段的垂直平分線的性質(zhì)在求線段的長及平面圖形的周長中都有廣泛的應(yīng)用.（2）線段的垂直平分線的判定是畫線段垂直平分線的依據(jù)4.角平分線的性質(zhì)內(nèi)容符號語言圖形角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等如果點在的平分線上，且于點，于點，那么知識詳解（1）性質(zhì)中的距離是指點到角兩邊的垂線段的長.（2）性質(zhì)中有兩個條件：一是點在角的平分線上，二是這個點到角兩邊的距離，即這個點到角的兩邊的垂線段的長度，兩者缺一不可.（3）利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，而不是“垂直于角平分線的線段”.（4）應(yīng)用角平分線的性質(zhì)解題的格式：平分，于點，于點，.（5）角平分線的性質(zhì)的作用：由于角平分線的性質(zhì)的結(jié)論是兩條線段相等，因此角平分線的性質(zhì)常被用來證明兩條線段相等5.角平分線的判定內(nèi)容符號語言圖形角平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上如果點為內(nèi)一點，于點，于點，且，那么點在的平分線上知識詳解（1）角平分線的性質(zhì)與判定的關(guān)系：點在角的平分線上（角的內(nèi)部的）點到角的兩邊的距離相等.要正確理解，明確條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的交換，性質(zhì)是證明兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù).（2）應(yīng)用角平分線的判定解題的格式：于點，于點，，平分6.全等三角形的性質(zhì)與判定概念能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形性質(zhì)（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高、角平分線、中位線都相等判定邊邊邊（）：三邊分別相等的兩個三角形全等邊角邊（）：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等角邊角：（）：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等角角邊（）：兩角對應(yīng)相等，且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形相等斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等【提示】判定一般三角形全等，無論用哪種方法，都要有三組元素對應(yīng)相等，且其中最少要有一組對應(yīng)邊相等延伸拓展1.三角形內(nèi)角、外角平分線相交構(gòu)成的角有如下規(guī)律：（1）（兩個內(nèi)角的平分線）如圖所示，在中，與的平分線交于點，則.（2）（一個內(nèi)角的平分線和一個外角的平分線）如圖所示，在中，的平分線與的平分線交于點，則.（3）（兩個外角的平分線）如圖所示，和是的兩個外角，與的平分線交于點，則.2.構(gòu)造三角形中位線的方法中位線具有平移角度、倍分轉(zhuǎn)化的功能.在遇到與中點相關(guān)的題目時，有時需要通過添加輔助線構(gòu)造三角形中位線，常用的構(gòu)造方法有：①如圖（1），若已知一邊中點，則取另一邊中點；②如圖（2），若已知兩邊中點，則連接第三邊；③如圖（3），若已知一邊中點，則將另一邊倍長，再連接第三邊；④如圖（4），若已知一條線段與角平分線垂直，則延長這條線段構(gòu)造等腰三角形，結(jié)合已知條件得到中位線.解題方法1.解三角形的三邊關(guān)系問題三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.利用三角形三邊之間的關(guān)系可以解決以下兩類問題：（1）判斷三條線段能否組成三角形：三條線段中，如果較短的兩條線段之和大于最長的線段，那么這三條線段能組成一個三角形.（2）確定三角形第三邊的取值范圍：三角形兩邊為，則第三邊必滿足，由此便可確定第三邊的取值范圍.【方法總結(jié)】判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段之和大于最長的線段，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.在給出一組線段，判斷它們能否圍成三角形時，應(yīng)先分類討論確定有多少種選擇，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一進行驗證.2.求等腰三角形的邊長問題解決已知等腰三角形的周長和一邊長求另兩邊長問題的方法：當題目沒有明確已知邊是底邊還是腰時，則已知邊可能是底邊，也可能是腰，此時要分類討論，并利用三角形的三邊關(guān)系對每種情況進行檢驗，看能否組成三角形；若已經(jīng)明確已知邊是腰或底邊，則不需要分類討論.3.解與三角形的高、中線有關(guān)的問題三角形的高和中線是三角形中的兩條重要線段.①從三角形一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，垂足與頂點之間的線段叫作三角形的高；利用三角形的高可解決三角形相關(guān)角度的計算和面積計算的問題.鈍角三角形由兩條高線在三角形外部，對于無附圖的幾何題一般需要進行分類討論.②三角形的頂點和它對邊中點的連線叫作三角形的中線，三角形的每條中線把三角形分成兩個等底同高的三角形，因此這兩個三角形的面積相等.【方法總結(jié)】由三角形的高可得的角，與三角形內(nèi)角和、外角和相聯(lián)系可解決三角形相關(guān)角度的計算問題，同時三角形的高是計算三角形面積的重要條件.4.證明線段的和差關(guān)系或位置關(guān)系證明線段的和差問題，通常采用“截長補短法”，即一種是在“和線段”上截取一部分等于一個“分線段”，再證剩余部分等于另一“分線段”，這種方法叫“截長法”；另一種是延長“分線段”，使其等于“和線段”，再證延長部分等于另一“分線段”，這種方法叫“補短法”.5.三角形全等的開放性問題一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則可再找兩角的夾邊相等或一組對應(yīng)邊相等；若已知一邊一角，則找另一組角，或找夾這個角的另一組邊相等.6.運用角平分線的性質(zhì)解決問題①證明線段的和差問題：要證一條線段等于另兩條線段的和，可采用轉(zhuǎn)化法，即將“大量”分成兩部分，證它們分別等于兩個“小量”.過角的平分線上的點向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分