第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)綜合壓軸題》專項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、二次函數(shù)與面積問(wèn)題1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上不與，重合的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，若，求的值；(3)點(diǎn)在拋物線上且不與點(diǎn)重合，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．分別過(guò)，兩點(diǎn)作軸的平行線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，將四邊形的周長(zhǎng)記為．直接寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式；當(dāng)隨的增大而增大時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，設(shè)對(duì)稱軸交線段于點(diǎn)N，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，且在點(diǎn)N的下方，是否存在以P，Q，N為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，連接，交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，令，求k的最大值．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．點(diǎn)、點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)且．當(dāng)線段最大時(shí)，求的周長(zhǎng)的最小值．(3)點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)為第（2）問(wèn)周長(zhǎng)取得最小值時(shí)的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的過(guò)程．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，連接．直線交拋物線于另一點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分（不包含兩點(diǎn)）是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)笛卡爾愛(ài)心曲線是由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾于17世紀(jì)提出的，因此得名．這條曲線在數(shù)學(xué)中有著重要的地位，不僅在理論上具有重要意義，還在實(shí)際應(yīng)用中有所體現(xiàn)．例如，心形線的幾何構(gòu)造可以通過(guò)平面幾何的方法得到，這種方法有助于更好地理解心形線的數(shù)學(xué)定義，并鍛煉幾何直覺(jué)．智慧學(xué)習(xí)小組探索發(fā)現(xiàn)，拋物線可以通過(guò)變化得到心形線．如圖2，將拋物線在上方的圖象沿折疊后就會(huì)得到心形線，若心形線與軸交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．二、二次函數(shù)與特殊四邊形問(wèn)題6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)E，其頂點(diǎn)為C，D是拋物線第四象限上一點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，若的面積是面積的兩倍，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，，試探究直線是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．拋物線，與x軸交于點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，P是線段上方拋物線上一點(diǎn)，連接，交線段于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)隨之停止，將線段繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，直接寫(xiě)出當(dāng)一邊與平行時(shí)t的值．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．連接，作射線，且．(1)求拋物線（）的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是射線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，．當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(guò)（）中線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與射線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．9．如圖1，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，C，與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖2，連接，若點(diǎn)P為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，且，求a的值．10．已知拋物線與直線在第一象限交于點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；(2)如圖1，為拋物線上一點(diǎn)，軸交線段于點(diǎn)．若為等腰三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若平分，求的面積．三、二次函數(shù)與線段周長(zhǎng)問(wèn)題11．已知，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，若點(diǎn)為直線下方的函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．①點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的最小值；②在軸上是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則四邊形的面積是_____；（直接寫(xiě)出結(jié)果）(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．13．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)在第四象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；②求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將該拋物線在間的部分記為圖象，將圖象在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新的函數(shù)的圖象，記這個(gè)函數(shù)的最大值為，最小值為，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．14．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，其橫坐標(biāo)為，點(diǎn)、分別在線段、上，若,求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)在第一象限點(diǎn)左側(cè)的拋物線上，線段、交于點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接、、，若，，，求的值及點(diǎn)、的坐標(biāo)．15．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并交軸于另一點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，交直線于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，若點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，求四邊形的面積；(3)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案1．(1)(2)(3)；或或．【分析】把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可知，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，從而可知，利用銳角三角函數(shù)可知，解方程求出的值即可；利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)過(guò)，兩點(diǎn)作軸的平行線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，把，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別用含的代數(shù)式表示出來(lái)，可得：，根據(jù)的取值范圍分三種情況分別求出關(guān)于的函數(shù)解析式；根據(jù)拋物線的圖象與性質(zhì)，在不同的取值范圍內(nèi)分別求出當(dāng)隨的增大而增大時(shí)，的取值范圍即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，可得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可得：，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，，，軸，，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，整理得：，解得：；（3）解：設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，可得：，解得：，直線的解析式為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為，整理得：，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如下圖所示，則有，解得：，當(dāng)時(shí)，則有，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如下圖所示，則有，解得：，則有，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，即，如下圖所示，則有，，綜上所述，；當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是，，時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．綜上所述，當(dāng)隨的增大而增大時(shí)，的取值范圍是或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何的綜合、平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵利用分類討論的思想分情況求解．2．(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法先求解拋物線為，再求解，，再求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）如圖，過(guò)作軸交于，連接，，設(shè)，則，，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于，∴，∴，∴，令，則，解得：，，∴，令時(shí)，，∴，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為；（2）解：如圖，過(guò)作軸交于，連接，，設(shè)，則，∴，∴，當(dāng)時(shí)，面積最大，而為定值，∴此時(shí)最大，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與面積問(wèn)題，線段問(wèn)題，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．3．(1)(2)存在，P的坐標(biāo)為(3)的最大值為【分析】本題主要考查了函數(shù)的解析式的求法、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入求得a、b的值即可解答；（2）以點(diǎn)P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與相似，則為等腰直角三角形，，故當(dāng)和為直角時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)A重合，不符合題意；當(dāng)為直角時(shí)，則，即，解方程即可求解；（3）先求得直線的表達(dá)式為易得，再根據(jù)計(jì)算，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可?！驹斀狻浚?）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入可得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為．（2）解：∵拋物線的表達(dá)式為，∴當(dāng)時(shí)，，即∴，即為等腰直角三角形，∵以點(diǎn)P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴為等腰直角三角形，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的表達(dá)式為，∵拋物線解析式為，∴該拋物線的對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，∵，故當(dāng)和為直角時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)A重合，不符合題意；當(dāng)為直角時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，解得：或（舍去），∴點(diǎn)．（3）解：如圖：連接，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為，則有，解得：，∴直線的表達(dá)式為，∴，∴，∴，．∴的最大值為．4．(1)(2)的周長(zhǎng)的最小值為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出，從而可求直線的解析式為，設(shè)，則，表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最大值為，求出，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，求出直線的解析式為，從而可得，證明四邊形為平行四邊形，得出，連接并延長(zhǎng)，使得，連接，證明為等腰直角三角形，得出，求出點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，得到，即的周長(zhǎng)，連接交于，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)（即、重合時(shí)），最小，為，求出，最后由勾股定理計(jì)算即可得解；（3）求出，，過(guò)點(diǎn)軸，作軸交軸于，作交于，則，求出，證明，得出，設(shè)，則，求出，解得，此時(shí)；作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，從而得出，即點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，，求出直線的解析式為，聯(lián)立求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)直線的解析式為，將，代入直線的解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，∵軸交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，為，此時(shí)，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，將代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，連接并延長(zhǎng)，使得，連接，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，即，∵，∴，∵，∴點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴的周長(zhǎng)，連接交于，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)（即、重合時(shí)），最小，為，設(shè)，則，解得：，即，∴，∴的周長(zhǎng)的最小值為；（3）解：如圖，，設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得，即，設(shè)，則，解得：或（不符合題意，舍去），∴，如圖，過(guò)點(diǎn)軸，作軸交軸于，作交于，，則，∴，，∴，∵直線的解析式為，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，解得：或（不符合題意，舍去），∴，此時(shí)，∴；作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，∴，∴點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，將代入解析式可得，∴直線的解析式為，∴設(shè)直線的解析式為，將代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立可得：，解得：或（不符合題意，舍去），∴，此時(shí)，∴；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)綜合—線段周長(zhǎng)問(wèn)題、二次函數(shù)綜合—角度問(wèn)題、解直角三角形、求一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．5．(1)，；(2)存在，；(3)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）把、分別代入拋物線，確定一次函數(shù)的解析式，兩個(gè)解析式聯(lián)立解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)作拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)軸交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)．，分別表示所求兩個(gè)三角形的面積，根據(jù)題意建立方程，解答即可．（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．利用勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，對(duì)稱性解答即可．【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)，解得拋物線的解析式為.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）．為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）．設(shè)直線的解析式為．將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得解得直線的解析式為.聯(lián)立拋物線，得．整理、得．解得（舍去），．點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）存在．．拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．拋物線的對(duì)稱軸與交于點(diǎn)把代入，得．點(diǎn)的坐標(biāo)為．.如圖1，過(guò)點(diǎn)作拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)軸交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)．．，．解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，．點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）解：．理由如下：如圖2，設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得，點(diǎn)在直線上．在中，，由勾股定理，得．.．故，．在中．點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的解析式為，故解得，故直線的解析式為．聯(lián)立拋物線，得．整理，得．解得（不合題意，舍去；）．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．，故，故，故點(diǎn)P在點(diǎn)K的左側(cè)，.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，構(gòu)造法求面積，熟練掌握待定系數(shù)法，勾股定理，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)(3)直線恒過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）令，則，從而可得，求解得出、的坐標(biāo)，即可得解；（2）求出，連接、、、，作軸于，軸交于，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，求出，表示出，求出直線的解析式為，從而可得，求出，表示出，結(jié)合題意得出，解方程即可得解；（3）求出，，作軸于，設(shè)，則，求出，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，得出，從而可得，求出直線的解析式為，進(jìn)而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直線的解析式為，即可得解．【詳解】（1）解：在中，令，則，∴，解得：，，∴，，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，如圖，連接、、、，作軸于，軸交于，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵的面積是面積的兩倍，∴，整理得：，解得：或，∵，∴，此時(shí)，∴；（3）解：∵，∴，在中，當(dāng)時(shí)，，故，如圖：作軸于，，設(shè)，則，∴，，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將，，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，令，則，解得：，∴，∴，解得：或，∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式可得，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．7．(1)(2)或．(3)或或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸交直線BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作軸交直線BC于點(diǎn)E，則，設(shè)，則，可得，即可求解；（3）如圖，先確定，再求解直線解析式為過(guò)N作垂直于x軸交x軸于L，過(guò)G作于K，證明，可得，由題意可得：再表示M，N，G三點(diǎn)坐標(biāo)，再分三種情況討論即可．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線解析式為當(dāng)時(shí)，設(shè)直線解析式為當(dāng)時(shí)，設(shè)直線解析式為再利用待定系數(shù)法列方程組求解時(shí)間t即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)和，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作軸交直線于點(diǎn)E，在中，當(dāng)時(shí)，，∴;設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴解得或，∵P是線段上方拋物線上一點(diǎn)，∴，∴和都符合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴或；（3）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線∴當(dāng)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，過(guò)N作垂直于x軸交x軸于L，過(guò)G作交直線于K，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∵，∴，∴，∴，由題意可得：則，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，解得：當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為解得：當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為解得：又∴經(jīng)檢驗(yàn)以上3個(gè)答案都符合題意，綜上：或或【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用兩直線平行，一次項(xiàng)系數(shù)相同是解決第3問(wèn)的關(guān)鍵．8．(1)(2)(3)點(diǎn)T的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)（），則，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，將線段向左平移個(gè)單位得到，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為的長(zhǎng)度，則的最小值為；（3）根據(jù)（2）可得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，則，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令，則，解得或，∵，則設(shè)直線的解析式為，代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)（），則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，∵點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，∴當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，∵，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴將線段向左平移個(gè)單位得到，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為的長(zhǎng)度；∴的最小值為；（3）解：由（2）得，∴新拋物線由向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到，∴，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴設(shè)直線的解析式為，代入∴解得：∴直線的解析式為聯(lián)立得，解得，，當(dāng)時(shí)，，∴，聯(lián)立直線和拋物線解析式可得解得：，當(dāng)時(shí)，，∴∴軸，又∵∴∴作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)∴∵∴∵，，∴將點(diǎn)向左平移個(gè)單位再向下平移個(gè)單位，得同理直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，符合條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合問(wèn)題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．(1)，；(2)(3)或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵：（1）兩點(diǎn)式寫(xiě)出函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，將直線向上平移個(gè)距離，平移后的直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)值的增減性，分2種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，C，∴，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，∴，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，則：，∵，∴，∴點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，由（1）知：，∴，∴設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴將直線向上平移2個(gè)單位得到，點(diǎn)即為直線與拋物線的交點(diǎn)，令，解得：或；故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；（3）∵，∴拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，當(dāng)時(shí)，有最小值為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）；當(dāng)時(shí)，則：，解得：（舍去）或；綜上：或．10．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3或4或(3)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸，則，由勾股定理可得，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法可求得的值；（2）由（1）可知拋物線為，設(shè)，由題意得，且，則，，，分三種情況：當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，分別列出方程即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，由（1）可知，，令直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則，則平分，先證明，得，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，則，得證，可知，，而直線交拋物線于，兩點(diǎn)，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，則，再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與直線在第一象限交于點(diǎn)，∴設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸，則，由勾股定理可得，∵，∴，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入，得，解得：；（2）由（1）可知拋物線為，設(shè)，∵軸交線段于點(diǎn)，∴，且，則，，當(dāng)時(shí)，即，∴，解得：（或5不符題意，應(yīng)舍去）當(dāng)時(shí)，即，∴，解得：（不符題意，應(yīng)舍去）當(dāng)時(shí)，即，∴，解得：（或不符題意，應(yīng)舍去）綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3或4或；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，由（1）可知，∴，令直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則，則平分，∴，，則，∵平分，∴，則∴，∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，則，∴，∴，，而直線交拋物線于，兩點(diǎn)，∴，整理得，解得：，即，，∴，，∵，∴，即解得，∴，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析，圖形與坐標(biāo)，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，分類討論，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．(1)(2)①；②存在，【分析】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）①根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的關(guān)系得到，，，直線的解析式為，設(shè)，則，則，根據(jù)二次函數(shù)最最值的方法得到當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為，如圖所示，可得是定值，四邊形是平行四邊形，，此時(shí)，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短得到，當(dāng)時(shí)，的值最小，可證，得到，設(shè)，則，在中，，即，則，由此即可求解；②如圖所示，點(diǎn)在點(diǎn)上方，四邊形是菱形，得，即；如圖所示，點(diǎn)在點(diǎn)下方，四邊形是菱形，，即；由此即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：①二次函數(shù)中，令時(shí)，，則，令時(shí)，，解得，，∴，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)為直線下方的函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴設(shè)，則，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為，如圖所示，∴，，，且，∵點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，軸，∴，，∴是定值，如圖所示，將連接，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，此時(shí)，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短得到，當(dāng)且三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∵，∴，且，∴，∴，∴，即，設(shè)，則，在中，，即，解得，，∴，∴的最小值為，∴的最小值為；②存在，理由如下，如圖所示，點(diǎn)在點(diǎn)上方，四邊形是菱形，∴，且，則，，∴，，∴，整理得，，解得，（不符合題意，舍去），，∴，即，則，∴軸，∵，∴軸，∴；如圖所示，點(diǎn)在點(diǎn)下方，四邊形是菱形，∴，且，，∴，整理得，，解得，（不符合題意，舍去），，∴，∴，∴；綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與線段，特殊四邊形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)求圖形面積，線段最小值的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合，勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合分析，分類討論思想是關(guān)鍵．12．(1)(2)(3)補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，C點(diǎn)坐標(biāo)，利用四邊形的面積為即可求解；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴，則，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，則，將代入，則，∴，∴，將代入，則，∴，∴，∵，，∴，，∴四邊形的面積為，；故答案為：；（3）解：過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，∵拋物線解析式為，設(shè)，則：，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得，∴直線的解析式為：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)①；②，；(3)【分析】（1）將，代入，解方程組即可求解；（2）①設(shè)直線為，代入點(diǎn)，用表示兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再將縱坐標(biāo)相減即可求解；②證明，得，進(jìn)而得，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）結(jié)合圖象，分兩種情況：①當(dāng)新的函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)是點(diǎn)B時(shí)，最低點(diǎn)是，②當(dāng)新的函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)是點(diǎn)時(shí)，最低點(diǎn)是，分別求解即可得出取值范圍．【詳解】（1）解：將，代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：①設(shè)直線為，代入，得，，解得，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，軸，，，；②，，，，，，軸，，，，，，，，時(shí)，，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在間的部分記為圖象，如圖所示：圖象的最低點(diǎn)為頂點(diǎn)，最高點(diǎn)為，，將點(diǎn)沿直線向上翻折，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，①當(dāng)新的函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)是點(diǎn)B時(shí)，最低點(diǎn)是，如圖所示：這個(gè)函數(shù)的最大值為，最小值為，，，，②當(dāng)新的函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)是點(diǎn)時(shí)，最低點(diǎn)是，如圖所示：這個(gè)函數(shù)的最大值為，最小值為，，，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)解析式的求法，利