PAGEPAGE138．4列聯(lián)表獨(dú)立性分析案例[讀教材·填要點(diǎn)]1．列聯(lián)表一般地，對于兩個(gè)因素X和Y，X的兩個(gè)水平取值：A和eq\x\to(A)(如吸煙和不吸煙)，Y也有兩個(gè)水平取值：B和eq\x\to(B)(如患肺癌和不患肺癌)，我們得到下表中的抽樣數(shù)據(jù)，這個(gè)表格稱為2×2列聯(lián)表.YXBeq\x\to(B)合計(jì)Aaba＋beq\x\to(A)cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2．χ2的求法公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念用隨機(jī)變量χ2探討兩變量是否有關(guān)的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟要推斷“X與Y有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行：(1)提出假設(shè)H0：X與Y無關(guān)；(2)依據(jù)2×2列聯(lián)表及χ2公式，計(jì)算χ2的值；(3)查對臨界值，作出推斷．其中臨界值如表所示：P(χ2≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828表示在H0成立的狀況下，事務(wù)“χ2≥x0”發(fā)生的概率．5．變量獨(dú)立性推斷的依據(jù)(1)假如χ2>10.828時(shí)，就有99.9%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；(2)假如χ2>6.635時(shí)，就有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；(3)假如χ2>2.706時(shí)，就有90%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；(4)假如χ2≤2.706時(shí)，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即X與Y沒有關(guān)系．[小問題·大思維]1．利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性分析，估計(jì)值的精確度與樣本容量有關(guān)嗎？提示：利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性分析，可以對推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本容量n越大，這個(gè)估計(jì)值越精確．假如抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果就不具有牢靠性．2．在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為29.78，在推斷因素相關(guān)時(shí)，P(χ2≥6.64)≈0.01和P(χ2≥7.88)≈0.005，哪種說法是正確的？提示：兩種說法均正確．P(χ2≥6.64)≈0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩因素相關(guān)；而P(χ2≥7.88)≈0.005的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為兩因素相關(guān)．獨(dú)立性分析的原理[例1]打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)．下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：患心臟病未患心臟病總計(jì)每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379總計(jì)5415791633依據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性分析，是否有99%的把握認(rèn)為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系？[解]由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2的值為χ2＝eq\f(1633×30×1355－224×242,254×1379×54×1579)≈68.033>6.635.因此，有99%的把握認(rèn)為每一晚打鼾與患心臟病有關(guān)系．解決一般的獨(dú)立性分析問題，首先由所給2×2列聯(lián)表確定a，b，c，d，a＋b＋c＋d的值，然后代入隨機(jī)變量的計(jì)算公式求出觀測值χ2，將χ2與臨界值x0進(jìn)行對比，確定有多大的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系．1．某大型企業(yè)人力資源部為了探討企業(yè)員工工作主動性和對待企業(yè)改革看法的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下列聯(lián)表：主動支持企業(yè)改革不太支持企業(yè)改革總計(jì)工作主動544094工作一般326395總計(jì)86103189依據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性分析，是否有99%的把握認(rèn)為工作看法與支持企業(yè)改革之間有關(guān)系？解：由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(189×54×63－40×322,94×95×86×103)≈10.759>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為工作看法與支持企業(yè)改革之間有關(guān)系．獨(dú)立性分析的應(yīng)用[例2]下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表：得病不得病合計(jì)干凈水52466518不干凈水94218312合計(jì)146684830(1)這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由；(2)若飲用干凈水得病5人，不得病50人，飲用不干凈水得病9人，不得病22人．按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時(shí)的差異．[解](1)假設(shè)H0：傳染病與飲用水無關(guān)．把表中數(shù)據(jù)代入公式，得χ2＝eq\f(830×52×218－466×942,146×684×518×312)≈54.21，因?yàn)楫?dāng)H0成立時(shí)，χ2≥10.828的概率約為0.001，所以我們有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)這種傳染病與飲用不干凈水有關(guān)．(2)依題意得2×2列聯(lián)表：得病不得病合計(jì)干凈水55055不干凈水92231合計(jì)147286此時(shí)，χ2＝eq\f(86×5×22－50×92,14×72×55×31)≈5.785.由于5.785＞2.706，所以我們有90%的把握認(rèn)為該種疾病與飲用不干凈水有關(guān)．兩個(gè)樣本都能統(tǒng)計(jì)得到傳染病與飲用不干凈水有關(guān)這一相同結(jié)論，但(1)中我們有99.9%的把握確定結(jié)論的正確性，(2)中我們只有90%的把握確定．獨(dú)立性分析的步驟：要推斷“X與Y是否有關(guān)”可按下面的步驟進(jìn)行：①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：X與Y無關(guān)；②依據(jù)2×2列聯(lián)表與χ2計(jì)算公式計(jì)算出χ2的值；③依據(jù)兩個(gè)臨界值，作出推斷．2．為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對外語的愛好有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有愛好的有138人，無愛好的有98人，文科對外語有愛好的有73人，無愛好的有52人．是否有90%的把握認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的愛好有關(guān)”？解：依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：理科文科總計(jì)有愛好13873211無愛好9852150總計(jì)236125361依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得隨機(jī)變量χ2＝eq\f(361×138×52－73×982,211×150×236×125)≈1.871×10－4.因?yàn)?.871×10－4<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的愛好有關(guān)”．獨(dú)立性分析的綜合應(yīng)用[例3]為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗(yàn)結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)頻數(shù)1025203015完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．表3：皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計(jì)注射藥物Aa＝b＝注射藥物Bc＝d＝合計(jì)[解]皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計(jì)注射藥物Aa＝70b＝30100注射藥物Bc＝35d＝65100合計(jì)10595200由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(200×70×65－35×302,100×100×105×95)≈24.56>6.635.因此，有99%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．在繪制列聯(lián)表時(shí)，應(yīng)對問題中的不同數(shù)據(jù)分成不同的類別，然后列表．要留意列聯(lián)表中各行、各列中數(shù)據(jù)的意義及書寫格式．3．已知某班n名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成果(單位：分，滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，且成果在[90,100]內(nèi)的有6人．(1)求n的值；(2)規(guī)定60分以下為不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助獨(dú)立性檢驗(yàn)分析是否有90%的把握認(rèn)為“本次測試的及格狀況與性別有關(guān)”？附：P(χ2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)解：(1)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c，))解得b＝0.01.因?yàn)槌晒赱90,100]內(nèi)的有6人，所以n＝eq\f(6,0.01×10)＝60.(2)由于2b＝a＋c，而b＝0.01，可得a＋c＝0.02，則不及格的人數(shù)為0.02×10×60＝12，及格的人數(shù)為60－12＝48，設(shè)及格的人中，女生有x人，則男生有x－4人，于是x＋x－4＝48，解得x＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次測試的及格狀況與性別的2×2列聯(lián)表如下：及格不及格總計(jì)男22830女26430總計(jì)481260結(jié)合列聯(lián)表計(jì)算可得χ2＝eq\f(60×22×4－8×262,30×30×48×12)＝1.667<2.706，故沒有90%的把握認(rèn)為“本次測試的及格狀況與性別有關(guān)”.解題高手多解題在調(diào)查的480名男人中，有38名患色盲，520名女人中，有6名患色盲．試推斷人的性別與患色盲是否有關(guān)？你所得到的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？[解]由題意作2×2列聯(lián)表如下：色盲非色盲總計(jì)男38442480女6514520總計(jì)449561000法一：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，在調(diào)查的男人中，患色盲的比例是eq\f(38,480)≈7.917%，女人中患色盲的比例為eq\f(6,520)≈1.154%，由于兩者差距較大，因而我們可以認(rèn)為性別與患色盲是有關(guān)系的．法二：由列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)可知，a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋b＝480，c＋d＝520，a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1000，代入公式得χ2＝eq\f(1000×38×514－6×4422,480×520×44×956)≈27.1.由于χ2≈27.1>6.635，所以我們有99%的把握即在犯錯(cuò)誤不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與患色盲有關(guān)系．這個(gè)結(jié)論只對所調(diào)查的480名男人和520名女人有效．1．下面是2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46則表中a，b的值分別為()A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52解析：選C∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.2．下列關(guān)于χ2的說法中正確的是()A．χ2在任何相互獨(dú)立問題中都可以用于檢驗(yàn)是否相關(guān)B．χ2的值越大，兩個(gè)事務(wù)的相關(guān)性越大C．χ2是用來推斷兩個(gè)相互獨(dú)立事務(wù)相關(guān)與否的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它可以用來推斷兩個(gè)事務(wù)是否相關(guān)這一類問題D．χ2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)答案：C3．對于因素X與Y的隨機(jī)變量χ2的值，下列說法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小C．χ2越接近于0，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小D．χ2越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越大解析：選Bχ2越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小，則“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大．即χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小．4．若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2的觀測值為4.013，那么在犯錯(cuò)誤的概率不超過________的前提下，認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．解析：因?yàn)?.013>3.841，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．答案：0.055．某礦石粉廠當(dāng)生產(chǎn)一種礦石粉時(shí)，在數(shù)天內(nèi)即有部分工人患職業(yè)性皮膚炎，在生產(chǎn)季節(jié)起先，隨機(jī)抽取75名車間工人穿上新防護(hù)服，其余仍穿原用的防護(hù)服，生產(chǎn)進(jìn)行一個(gè)月后，檢查兩組工人的皮膚炎患病人數(shù)如下：陽性例數(shù)陰性例數(shù)合計(jì)新57075舊101828合計(jì)1588103通過數(shù)據(jù)分析，說明有________的把握認(rèn)為新防護(hù)服對預(yù)防工人職業(yè)性皮炎有效．解析：χ2＝eq\f(103×5×18－70×102,75×28×15×88)≈13.826>6.635.故有99%的把握說，新防護(hù)服比舊防護(hù)服對預(yù)防工人職業(yè)性皮炎有效．答案：99%6．為了解某班學(xué)生寵愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：寵愛打籃球不寵愛打籃球合計(jì)男生ab＝5女生c＝10d合計(jì)50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到愛打籃球的學(xué)生的概率為eq\f(3,5).(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)是否有99%的把握認(rèn)為寵愛打籃球與性別有關(guān)；請說明理由．附參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：寵愛打籃球不寵愛打籃球合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)302050(2)∵χ2＝eq\f(50×20×15－10×52,30×20×25×25)≈8.333>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為寵愛打籃球與性別有關(guān)．一、選擇題1．有兩個(gè)因素X與Y的一組數(shù)據(jù)，由其列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈4.523，則認(rèn)為X與Y有關(guān)系是錯(cuò)誤的可信度為()A．95% B．90%C．5% D．10%解析：選C∵χ2≥3.841.∴X與Y有關(guān)系的概率為95%，∴X與Y有關(guān)系錯(cuò)誤的可信度為5%.2．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110計(jì)算得，χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”解析：選C依據(jù)獨(dú)立性分析的思想方法，正確選項(xiàng)為C.3．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的老師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生狀況，詳細(xì)數(shù)據(jù)如下表：非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了分析主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(5013×20－10×72,23×27×20×30)≈4.84，所以斷定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，這種推斷出錯(cuò)的可能性為()A．0.025 B．0.05C．0.975 D．0.95解析：選B∵χ2≈4.84>3.841，所以我們有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別無關(guān)，即推斷出錯(cuò)的可能性為0.05.4．已知P(x2≥2.706)＝0.10，兩個(gè)因素X和Y，取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為X與Y有關(guān)系，則c等于()A．5 B．6C．7 D．8解析：選A經(jīng)分析，c＝5.二、填空題5．班級與成果2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班738p總計(jì)mnq表中數(shù)據(jù)m，n，p，q的值應(yīng)分別為________．解析：m＝10＋7＝17，n＝35＋38＝73，p＝7＋38＝45，q＝m＋n＝90.答案：17,73,45,906．在吸煙與患肺病是否相關(guān)的推斷中，有下面的說法：①若χ2>6.64，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??；②從獨(dú)立性分析可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺??；③從獨(dú)立性分析可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，是指有5%的可能性使得推斷錯(cuò)誤．其中說法正確的是________．解析：χ2是檢驗(yàn)吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率，故說法①不正確；說法②中對“確定容許推斷犯錯(cuò)誤概率的上界”理解錯(cuò)誤；說明③正確．答案：③7．統(tǒng)計(jì)推斷，當(dāng)________時(shí)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為事務(wù)A與B有關(guān)；當(dāng)________時(shí)，認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示事務(wù)A與B是有關(guān)的．解析：當(dāng)k>3.841時(shí)，就有在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為事務(wù)A與B有關(guān)，當(dāng)k＜2.706時(shí)認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示事務(wù)A與B是有關(guān)的．答案：k>3.841k＜2.7068．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)20至40歲 401858大于40歲152742總計(jì)5545100由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)：________(填“是”或“否”)．解析：因?yàn)樵?0至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目，即eq\f(b,a＋b)＝eq\f(18,58)，eq\f(d,c＋d)＝eq\f(27,42)，兩者相差較大，所以，經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的．答案：是三、解答題9．某市對該市一重點(diǎn)中學(xué)2024年高考上線狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽查得到表格：語文數(shù)學(xué)英語綜合科目上線不上線上線不上線上線不上線上線不上線總分上線201人17427178231762517526總分不上線43人3013232024192617總計(jì)2044020