11.L1三角形的邊

編制人劉霞審核人趙同軍

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求：

1、掌握三角形的概念及三角形的三邊關(guān)系，并能運用三邊關(guān)系解

決生活中的實際問題.

2、通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動，發(fā)展空間觀念,

推理能力和有條理地表達(dá)能力

3、通過觀察、操作、交流和反思,獲得必需的數(shù)學(xué)知識，激發(fā)學(xué)習(xí)

興趣

二、重點與難點：

重點：三角形的概念及三角形三邊關(guān)系

難點：發(fā)展推理能力和有條理地表達(dá)能力

三、學(xué)習(xí)過程：

探索發(fā)現(xiàn)：一、三角形的有關(guān)概念

1、觀察下面的屋頂框架圖

（1）你能從圖中找出4個不同的三角形嗎？

（2）這些三角形有什么共同的特點？

2、三角形的概念：由不?在??同?一條?直?線?上?的首尾

所組成的圖形叫做三角形

三角形有邊、內(nèi)角和頂點

3、三角形的表示方法：“三角形”可以用符號“______”表示，

如圖，頂點是A、B、C的三角形，記作.三角形的三

邊有時也用小寫字母表示，頂點A所對的邊BC用表示，頂

點B、C的對邊用

4、指出圖中有幾個三角形，并用符號分別表示出來

5、（1）如圖，圖中共有個三角形，它們分別是

（2）以AD為邊的三角形有

（3）/AED是__________、的內(nèi)角

二、三角形三邊關(guān)系

1、元宵節(jié)的晚上，房梁上亮起了彩燈，裝有黃色彩燈的電線與裝

有紅色彩燈的電線哪根長？說明你的理由

2、在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度有怎樣的關(guān)系？

為什么？

（提示：在七二我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過“兩點之間，最短”，

能不能幫你解釋為什么？）

歸納：____________________________________

3、分別量出下面三個三角形的三邊長度，并填入空格內(nèi)

計算每個三角形的任意兩邊之差，并與第三邊比較，你能達(dá)到什

么結(jié)論？

由此我們可以歸納出三角形三邊之間的關(guān)系:

三、鞏固與提高

1、有兩根長度分別為5cm和8cm的木棒，用長度為2cm的木棒與

它們能擺成三角形嗎？為什么？長度為13cm的木棒呢？如果想

擺成三角形，那么你選擇第三根木棒的長度應(yīng)該在什么范圍？

2、下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能搜成三角形嗎？

為什么？

(1)3cm、4cm>5cm(2)8cm、7cm^15cm

(3)13cm>12cm^20cm(4)5cm>5cm、11cm

現(xiàn)有長度分別為1cm,2cm,3cm,4cm,5cir.的五條線段,從其中選

三條線段為邊可以構(gòu)成

個不同的三角形

4、等腰三角形一邊長9cm,另一邊長4cm,它的第三邊是多少？

為什么？

5、如果三角形的兩邊長分別是2和4,且第三邊是奇數(shù)，那么第

三邊長為。若第三邊為偶數(shù)，那么三角形的周長為

6、為什么經(jīng)常有行人斜穿馬路而不走人行橫道線？

7、若AABC的三邊為a、b、c,則化簡|a+b-c|-|b-a-c|

的結(jié)果是_________

8、如圖所示，A、B、C、D四個村莊準(zhǔn)備合建一個自來水水池，

要求由水池向四村鋪設(shè)的水管最短，設(shè)計人員建議把水池建在AC、

BD的交點P處.你能解釋其中的道理嗎？

四、學(xué)習(xí)小結(jié)：整理本節(jié)主要知識點，并一一在下面寫出來

11.1.2三角形的高、中線與角平分線學(xué)案

編制人劉霞審核人趙同軍

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷畫圖等實踐過程認(rèn)識三角形的高、中線與角平分線.

2.會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線，通過畫圖了解

三角形的三條高(及所在直線)交于一點，三角形的三條中線，三條

角平分線等都交于點.

重點

'：1)了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會用工具準(zhǔn)確

畫出三角形的高、中線與角平分線.

(2)了解三角形的三條高、三條中線與三條角平分線分別交于

~■點.

活各J1自主學(xué)習(xí)知識提煉

閱讀教材，回答下列問題：

1.三角形的高從△ABC的頂點4向它所對的邊所在直線

畫垂線，垂足為。，所得線段叫做△/16c的邊6C上的

.如圖⑴，AD是△ABC的高，則AD_L.

2.連接△A8C的頂點A和它所對的邊8c的中點。，所得線段

AD叫做的邊BC上的.如圖(2),AD是△ABC的

中線，則BD=.

3.NA4C的平分線AO,交NB4C的對邊3c于點O,所得線段

AD叫做△ABC的.如圖⑶，AD是△ABC的角平

分線，則NB4Q=N.

4.三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別？高與垂線呢?

5.一個三角形有兒條高？幾條中線？幾條角平分線?

6.分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有

的高，觀察高與三角形的位置關(guān)系.

7.分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有

的中線，觀察中線與三角形的位置關(guān)系.

8.分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫出所有

的角平分線，觀察角平分線與三角形的位置關(guān)系.

CBC

活動2基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.任意一個三角形都有_____條高，_一條中線，一條角平分

線.

2.一個三角形的三條中線位置為()

A.一定都在三角形內(nèi)B.一定都在三角形

外

C.可能在三角形外，也可能在三角形內(nèi)D,可能與三角形一

邊重合

3.在△45C中，AE是中線，AO是角平分線，Ab是

高，填空：

⑴BE==-；⑵NBAD==-;

---------2-----------—2------

（3）ZAFB==90°;（4）SMRC=.

4.已知40,AE分別是△48C的中線、高，

且A5=5cm,AC=3cm,則△A3。與△AOC

的周長之差為;ZVIB。與△AOC

的面積關(guān)系是.

活動3課堂小結(jié)

這節(jié)課我有哪些收獲?

活動4課堂練習(xí)

1.三角形的三條中線、三條角平分線、三條高都是（）

A,直線B.射線C.線段D.射線或線

段

2.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么

這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角

形D.不能確定

3.能把三角形的面積分成兩個相等的三角形的線段是（）

A.中線B.高C.角平分線D.以上三種

情況都正確

4.若NBA尸=NCAR則是A48O的角平分線，是

A43c的角平分線.

5.AB1AC,則是A48C的邊__上的高，也是ABDC的邊

______上的高，也是AA8O的邊上的高.

E

第4題困第5題圖第6題圖

6.BD、AE分別是A4BC的中線、角平分線，AC=10cm,

N8AC=70°,則AQ=,ZBAE=

拓展延伸

如圖，已知AA3C,如何將它分成四個面積相等的二角形,

請給出至少兩種分法.

B

11.1.3三角形的穩(wěn)定性、

編制人劉霞審核人趙同軍

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、知識目標(biāo)：通過觀察和實地操作得到三角形具有穩(wěn)定性，四邊

形沒有穩(wěn)定性，

2、能力目標(biāo)：穩(wěn)定性與沒有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中廣泛應(yīng)用

3、情感目標(biāo)：采用自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法，培養(yǎng)自己

主動參與、勇于探究的精神。

【重點難點】

1點;了解三角形穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活是實際應(yīng)用

難點：準(zhǔn)確使用三角形穩(wěn)定性與生產(chǎn)生活之中

【課型】新授課

【學(xué)習(xí)方法】自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法

【教學(xué)用具】電腦、投影儀

【學(xué)習(xí)過程】

一、看一看，想一想

蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘

一根木條，為什么這樣做呢？

□圖7.1-5

二、做一做

1、用三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形

狀會改變嗎？

2,用四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形

狀會改變嗎？

3、在四邊形的木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來,

然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

(3)

三、議■-■議

從上面實驗過程你能得出什么結(jié)論？與同伴交流。

三角形木架形狀不會改變，四邊形木架形狀會改變，這就是說,

三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性。

鋼架橋

幅IM喇架

活動掛架

四、三角形穩(wěn)定性應(yīng)用舉例、四邊形沒有穩(wěn)定性的應(yīng)用舉例

11.2.1三角形的內(nèi)角和

編制人劉霞審核人趙同軍

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、了解三角形的內(nèi)角；

2、會用平行線的性質(zhì)’與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180

度；

3、學(xué)會解決與求角有關(guān)的實際問題；

4、初步培養(yǎng)學(xué)生的說理能力。

【重點難點】

重點：了解I三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，學(xué)會解決簡單的實際問題。

難點：說明三角形內(nèi)角和等于180度。

【課型］新授課

【學(xué)習(xí)方法】自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法

【教學(xué)用具】三角尺、鉛畫紙、小剪刀、量角器。電腦、投影儀

【學(xué)習(xí)過程】

一、動手操作，初步感知

問題：

1、三角形的內(nèi)角和等于多少度？

2、在紙上畫一個三角形將將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看。

3、在同伴交流有哪些不同的拼合方法。

設(shè)計意圖：從豐富的拼圖活動中發(fā)展學(xué)思維的靈活性，創(chuàng)造性，

為下一環(huán)節(jié)“說理”做準(zhǔn)備。

二、實踐說理，深入新知

問題：

1、由剛才拼合而成的圖形，你能想出說明“三角形內(nèi)角和等于

180度“這個結(jié)淪的正確方法嗎？

2、把你的想法與同伴交流.

3、各小組派代表展示說理方法.

4、請同學(xué)們歸納上述各種不同的方法。

把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，用量角

器量出

NBCD的度數(shù)，可得到NA+NB+NACB=180“。［投影1］

A

(I)

圖1

想一想，還可以怎樣拼？

①剪下NA,按圖（2）拼在一起，可得到NA+NB+NACB=180、

圖2

②把NB和NC剪下按圖（3）拼在一起，可得到NA+NB+N

ACB=180°o

(圖3)

如果把上面移動的角在圖上進(jìn)行轉(zhuǎn)移，由圖1你能想到證明

三角形內(nèi)角和等于180。的方法嗎？

已知△ABC,求證：NA+NB+NC=180'。

證明一

過點C作GI〃AB,則/A=/ACM,ZB=ZDCM,

又ZACB+ZACM+ZDCM=180°

?\NA+NB+NACB=180°。

即：三角形的內(nèi)角和等于180°。

由圖2、圖3你又能想到什么證明方法？請說說證明過程。

設(shè)計意圖：在說理過程中，更加深刻地理解多種拼圖方法，創(chuàng)設(shè)

不同說理方法的表達(dá)情境。

三、應(yīng)用新知

在4ABC中，

（1）已知NA=80°,能否知道NB,/C的度數(shù)?

(2)已知NA=80°,NB=52°,則NC=

(3)已知/A=80°,ZB-ZC=40°,貝U/C

(4)已知NA+ZB=100°,ZC=2ZA,能否求NA、NB、ZC

的度數(shù)？

(5)己知NA:NB:NC=1:3:5,能否求NA、NB、ZC的度

數(shù)？

2、出示例題。

例如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏

東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的

視角NACB是多少度？

分析：怎樣能求出NACB的度數(shù)？

設(shè)計3個問題：

(1)請你解釋一下這些方位角。

(2)ZACB是哪個三角形的內(nèi)角？

(3)有不同解法請你的同伴交流。

設(shè)計意圖：向?qū)W生展示分析問題的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣

闊性。

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，只需求出/CAB和NCBA的度數(shù)即

可。

/CAB等于多少度？怎樣求/CBA的度數(shù)？

解：ZCBA=ZBAD-ZCAD=80o-50o=30°

VADZ/BE???ZBAD+ZABE=180Q

.??ZAEE=180-ZBAD=1800-80°=l00°

ZABC=ZABE-ZEBC=100°-40°=60(,

，ZACB=1800-ZABC-ZCAB=18O°-6O°-3Oo=9O0

答：從C島看AB兩島的視角NACB=180°是90°。

四、課堂練習(xí)

課本1、2題。

已知aABC中，ZC=ZABC=2ZA,BD是AC邊上的高，求NDBC

的度數(shù)。

設(shè)計意圖：增加第2小題，一方面鞏固了前面的已學(xué)知識(高),

另一方面進(jìn)一步提高學(xué)生的說理能力。

五、總結(jié)歸納

采用讓學(xué)生歸納、補充，然后教師補充的方式進(jìn)行。

1、本節(jié)課我們學(xué)了什么知識？

2、你有什么收獲？

設(shè)計意圖：發(fā)揮學(xué)生主體意識，培養(yǎng)學(xué)生語言概括能力.

六、布置作業(yè)

1、必做題：習(xí)題11.2第1、2、3、4題

2、選做題：

(1)在NC中,CD1AB,垂足是D,/A=54°,ZBCD=56°,

求/B,NACB的度數(shù)。

(2)在△ABC中，ZA+ZB=110°,ZC=2ZB,NO50度，

分別求NA、NB的度數(shù)。

(3)在aABC中，NACB=90度，CD_LAB,垂足為D,ZBCD=27

度，求NACD的度數(shù)，且探索N3CD與NA,NB與NACD

的關(guān)系。

(4)將一個三角形紙片一刀分成兩個三角形，能否這兩個

三角形：

①都是直角三角形；

②都是鈍角三角形；

③都是銳角三角形；

請簡要說明理由。

11.2.2三角形的外角

編制人魏紅剛審核人趙同軍

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、知識與技能：使學(xué)生初步掌握三角形內(nèi)的和定理的兩個

推論，并會應(yīng)用

2、過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)知識內(nèi)容，使之條理化，以

便加深理解和記憶，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

3、情感態(tài)度與價值觀：

⑴培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，運用幾何語言有條理的表達(dá)能力。

⑵通過師生共同活動，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中培養(yǎng)良好的

情感，合作交流，主動參與的意識，在獨立思考的同時能夠認(rèn)同

他人。

【重點】三角形內(nèi)角和定理推論的應(yīng)用.

【難點】三角形外角的概念.真正理解推論，并能靈活運用.

［課型］新授課

【學(xué)習(xí)方法】自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法

【學(xué)習(xí)過程】

一、目標(biāo)導(dǎo)入

敘述并證明三角形內(nèi)角和定理。

在證明三角形內(nèi)角和定理時，用到了把4ABC的一邊BC延長

得到NACD,這個角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并

且來研究它的性質(zhì).

二、自主學(xué)習(xí)（1）：

1.自學(xué)內(nèi)容：教材“探究”上.

2.自學(xué)要求：學(xué)生理解三角形外角的概念。

三、交流展示（1）：

1：三角形外角的定義：_________________________________

2：外角的特征有三：（1）頂點在___________上.（2）一條邊是

（3）另一條邊是__________________.

3、畫出一個三角形，并畫出它前所有外角。

4、下列圖中，ZKN2、N3哪些是aABC的外角？

A

E

四、自主學(xué)習(xí)主):

1.自學(xué)內(nèi)容：

2.自學(xué)要求：學(xué)生理解三角形內(nèi)角和定理推論

五、交流展示(2)

1.敘述并證明推論

六、自主學(xué)習(xí)(3)：

1.自學(xué)內(nèi)容：課本例題；

2.自學(xué)要求：學(xué)生能靈活運用三角形內(nèi)角和定理推論

七、交流展示(3)

1、課本練習(xí)

2、己知：D是AB上一點，E是AC上一點，BE、CD相交于F,Z

A=62°,ZACD=35°,ZABE=20°

求：(l)NBDC度數(shù).(2)NBFD度數(shù).

八、鞏固練習(xí)：

1.一個三角形的兩內(nèi)角分別55。和65°,它的外角不可能是

()

A.115°B.120°C.125°D.

130°

2.己知三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，那么這個三

角形是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上三

種情況都有可能

九、小結(jié)

1.三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補。

2.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

3.三角形的外角和等于3600°

找二角形的外角是難點，特別是當(dāng)一個角是某個二角形的

內(nèi)角，同時又是另一個三角形的外角時，困難就更大，解決這

個難點的方法是講清定義，圖形分析，變換位置，思路清晰.

十二、布置作業(yè):

11.3.1多邊形

編制人魏紅剛審核人趙同軍

一、自學(xué)范圍

二、自學(xué)目標(biāo)

1、了解多邊形及有關(guān)概念，理解正多邊形及其有關(guān)概念.

2、區(qū)別凸多邊形與凹多邊形.

三，自學(xué)重點

多邊形的有關(guān)線段和正多邊形

四、自學(xué)過程

1、自學(xué)教材完成下列問題：

(1)舉出生活中的多邊形

(2)我們學(xué)過三角形，類似地，在內(nèi)，由一

些線段的圖形叫做多邊形。

(3)如圖：這個多邊形是—邊形，

它的內(nèi)角是__________________

它的一個外角是

2、自學(xué)第一段

(1)連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊

形的對角線。

(2)四邊形ABCD由A點與一點連接是四邊形的一條對

角線。

四邊形共有一條對角線。

(3)六邊形ABCDEF由A點與點連接，可引條，

此六邊形共有條對角線。

（4）n邊形由一個頂點可引一條對角線，共有一條對

角線。

3、自學(xué)頁最后兩段

（1）如何區(qū)分凸多邊形？

（2）叫正多邊形。

五、學(xué)效測試

4、完成21頁練習(xí)

5、判斷題.

（1）由四條線段首尾順次相接組成的圖形叫四邊形.（）

（2）由不在一直線上四條線段首尾次順次相接組成的圖形叫四

邊形.（）

（3）由不在一直線上四條線段首尾順次接組成的圖形，且其中

任何一條線段所在的直線、使整個圖形都在這直線的同一側(cè)，叫

做四邊形.（）

（4）在同一平面內(nèi)，四條線段首尾順次連接組成的圖形叫四邊

形.（）

6、畫出圖中的六邊形ABCDEF的所有對角線.

A

1、在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做

2、六邊形共一個頂點，條邊個內(nèi)角

3、從n邊形的一個頂點可以引條這角線，這些對角線把n

邊形分成個三角形。

A、n,n-1n-3,n-1C^n-3,n-2D、n-2,n-3

4、下列說法不正確的是（）

A、正多邊形的各邊都相等B、正多邊形的各角都相等

C、正四邊形就是長方形D、正三角形就是等邊三角形

5、四邊形共有條對角線；五邊形共有條對角線；六邊

形共有條對角線；……十邊形共有一條對角線；n邊形

共有_條對角線。

6、一個長方形木塊,截去一個三角形后不可能得到的多邊形是（）

A、三角形B、四邊形C、五邊形D、六邊形

7、已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角

線的條數(shù)的2倍，則此多邊形的邊數(shù)為

§732多邊形的內(nèi)角和

編制人魏紅剛審核人趙同軍

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握多邊形的內(nèi)角和公式.

2.理解多邊形外角和公式。

二、本節(jié)重難點：

教學(xué)重點：多邊形的內(nèi)角和.

教學(xué)難點：探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式過程.

三、學(xué)習(xí)過程：

（一）探索多邊形的內(nèi)角和

活動1：判斷下列圖形，從多邊形上任取一點c,作對角線，判斷

分成三角形的個數(shù)。

4

邊形邊形邊形

活動2：從多邊形的一個頂點出發(fā)，可以引多少條對角線？他們

將多邊形分成多少個三角形？

總結(jié)多邊形內(nèi)角和，你會得到什么樣的結(jié)論？

分成

邊三角

多邊形圖形內(nèi)角計算規(guī)律

數(shù)形的

和

個數(shù)

三角形31180°(3-2)180°

4

四邊形4

五邊形5

六邊形6O

七邊形7

0

OOOOOOOOOOOOOOO

0O

n邊形nO

總結(jié)多邊形的內(nèi)角和公式

一般的，從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引—條對角線，他們將

n邊形分為一個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于18（TX。

鞏固練習(xí)

1.十二邊形的內(nèi)角和是（）。

2.一個多邊形當(dāng)邊數(shù)增加1時，它的內(nèi)角和增加（）。

3.一個多邊形的內(nèi)角和是720。，則此多邊形共有（）

個內(nèi)角。

4.如果一個多邊形的內(nèi)角和是1440度，那么這是

（）邊形。

（二）探索多邊形的外角和

活動3：如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角

的和叫做五邊形的外角和.五邊形的外角和等于多少？

分析：（1）任何一個外角同于他相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？

（2）五邊形的五個外角加上與他們相鄰的內(nèi)角所得總和是多少？

（3）上述總和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？

解：五邊形的外角和=-五邊形的內(nèi)角和

也可以理解為：從多邊形的一個頂點A點出發(fā)，沿多邊形的各邊

走過各點之后回到點A.最后再轉(zhuǎn)回出發(fā)時的方向。由于在這個運

動過程中身體共轉(zhuǎn)動了一周，也就是說所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一

個角。所以多邊形的外角和等于。。

結(jié)論：多邊形的外角和二。。

練習(xí)1：如果一個多邊形的每一個外角等于30°,則這個多邊形的

邊數(shù)是。

練習(xí)2：正五邊形的每一個外角等于,每一個內(nèi)角等于

（三）小結(jié)：本節(jié)課你有哪些收獲?

（四）作業(yè)：

習(xí)題11.3的2、6題

（五）隨堂練習(xí)

1、n邊形的內(nèi)角和等于，九邊形的內(nèi)角和等于

2、如果一個多邊形的內(nèi)角和是1440度，那么這是

邊形。

3、已知多邊形的每個內(nèi)角都等于150°,求這個多邊形的邊數(shù)?

4、一個多邊形從一個頂點可引對角線3條，這個多邊形內(nèi)角和等

于（）

A:360°B:540°C:720°D:900°

5.已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個多邊

形的邊數(shù)？

12.1全等三角形學(xué)案

編制人：徐洪木審核人：趙同軍

思維啟動

觀察下列各組圖形:

問題：什么樣的兩個圖形叫做全等形？什么又叫做全等三角

形呢？

綜合探究

探究一變換與全等

1.如圖1、圖2、圖3,△ABC通過怎么變換得到另一個三角

形的？

圖3

2.圖1、圖2、圖3中的兩個三角形全等嗎？

3.討論總結(jié)：變換與全等的關(guān)系.

答案：1.圖1中，△ABC可以通過平移得到另一個三角形;

圖2中，AABC可以通過翻折得到另一個三角形；圖3中，^ABC

可以通過旋轉(zhuǎn)得到另一個三角形.

2.圖1、圖2、圖3中的兩個三角形分別全等.

3.一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變了，但形狀、

大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

探究二全等三角形中的對應(yīng)元素

1.圖4中，AABC空△DCB,BC的對應(yīng)邊是_______；圖5

中，ZiABC/ZXADE,NBAC的對應(yīng)角是；圖6中，ZXABC

^△ADE,NBAC的對應(yīng)角是.

2.討論總結(jié)：由1得出的規(guī)律是什么？

3.找出圖4、圖5、圖6中的所有對應(yīng)角和對應(yīng)邊.

4.討論總結(jié)：通過3的解答，你還能得到什么規(guī)律？

答案：1.CB,ZDAE,ZDAE.

2.公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角，對頂角是對應(yīng)角.

3.圖4中，AR與DC,AC與DR是對應(yīng)邊：/A與/D,/ARC

與NDCB,NACB與NDBC是對應(yīng)角.圖5中，NC與NE,ZABC

與NADE是對應(yīng)角；AB與AD,BC與DE,AC與AE是對應(yīng)邊.ZB

與ND,NC與/E是對應(yīng)角；AB與AD,BC與DE,CA與EA是對

應(yīng)邊.

4.對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊.

探究三全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用

1.如圖7,△ABDgZ\EBC,指出圖中所有的相等的邊和角.

2.若AB=7,BC=18,你能求出哪些邊的長度?

3.你能求出線段DE的長嗎？

圖7

4.討論總結(jié)：以上求解過程中，應(yīng)用了全等什么性質(zhì)？

5.你能求出圖形中哪個角的大小?

6.討論總結(jié)：5中又應(yīng)用了全等三角形什么性質(zhì)？

答案：1.AB=EB,BD=BC,DA=CE；ZA=ZCEB,ZD=ZC,

ZABD=ZEBC.

2.EB=7,DB=18.

3.DR=DR-ER=18-7=11.

4.全等三角形的對應(yīng)邊相等.

5.由NABD=NEBC,NABD+NEBC=180可求得，ZABD=

ZEBC=90.

6.全等三角形的對應(yīng)角相等.

隨堂反饋

1.一個圖形經(jīng)過平移后，發(fā)生變化的是（）

A.形狀B.大小C.位置

D.以上都變化了

2.若△ABC與aDEF全等，A和E,B和D分別是對應(yīng)點，則

下列結(jié)論錯誤的是（）

A.BC=EFB.ZB=ZDC.ZC=ZFD.AC=

EF

3.如圖，AABC^ACDA,AB=5,BC=7,AC=6,則AD邊的

長為（）

A.4B.5C.6D.7

D

（第3題）（第4題）

（第5題）

4.如圖,AABC中,ZBAC=60,將ZXABC繞著點A順時針旋

轉(zhuǎn)40,則/胡C’的度數(shù)為（）

A.60B.40C.100D.90

5.如圖，把AABD沿BD翻折到4C3D的位置，若NABD=

60,ZC=90,則NADC的度數(shù)為

6.已知△ABC0Z\DEF,若的周長為32,AB=8,BC=

12,則ED的長為

7.下列圖案是由全等的圖形組成的，其中AB=5cm,CD=

2AB.則AF=

8.如圖,ZXABC與4DEF是全等三角形，其中A和D、B和E

是對應(yīng)點.

（1）用符號“也”表示這兩個三角形全等（要求對應(yīng)頂點寫

在對應(yīng)位置上）.

（2）寫出圖中相等的線段和相等的角.

（3）寫出圖中互相平行的線段，并說明理

9.如圖，把大小為4X4的正方形網(wǎng)格分割成兩個全等的圖

形，請在圖中沿虛線畫出三種不同的方法.

10.如圖，在△ABC中，D和E分別是邊AC和BC上的點，若

△ADB^AEDB^AEDC,求NC的度數(shù).

B

12.2三角形全等的判定

編制人：徐洪木審核人：趙同軍

學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解三角形全等的“邊邊邊”的條件、并利用其解決問題；理解

作一個角等于已知角的理由.

了解三角形的穩(wěn)定性.

知識梳理:

1.三角形全等的條件:對應(yīng)相等的兩個三角形全等,

簡寫為邊邊邊或；

2.三角形具有穩(wěn)定性；

3.尺規(guī)作圖:

（1）只用直尺和作圖的方法稱為尺規(guī)作圖;

（2）用直尺和圓規(guī)作一個角等于己知角：

學(xué)法指導(dǎo):

例題如圖，在四邊形中，A斤DB,AODC,請問//

和相等嗎？若相等，請寫出證明過程；若不相等，請

說明理由.

分析：要看NZ和N〃是否相等，可看△/回和△〃比'是否全等,

又已知兩邊對應(yīng)相等，可考慮是否第三邊對應(yīng)相等.

當(dāng)堂訓(xùn)練

L如圖，aABC是一個鋼架，AB二AC,AD是連結(jié)點A與BC中點D

的支架.

BDC

求證：△ABDg/\ACD.

2.如圖，已知AC=FE、BODE,點A、D、B、F在一條直線上,AD=FB.要

用“邊邊邊”證明△ABC^^FDE,除了已知中的AC=FE,BODE

以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個條件?

達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：

1.如圖，若〃為仇?中點，那么用“SSS”判定△力監(jiān)△力切需

添加的一個條件是.

2.如圖，已知的二必，AC=B3Zl=30°,則的度數(shù)是

3.如圖，AB=AD,DC=BC,N夕與/〃相等嗎？為什么？

D

4.已知如圖，小明根據(jù)條件“力8=DC,AC=DB,AC.劭交于

點0”,探索圖形中的三角形全等關(guān)系時，他發(fā)現(xiàn)△力吐△〃8,

而且△月*△〃或：你同意小明的發(fā)現(xiàn)嗎？請寫出探索過程，并

說明理由.

課后作業(yè)

夯實基礎(chǔ)

1.如圖，△A3C中，AB=AC,EB=EC,

則由“SSS”可以判定（)

A./XABD^^ACDB./\ABE^^ACE

C.ABDE/MDED.以上答案都不對

2.如圖，△A8C是等邊三角形,若在它邊上的一點與這邊所對角

的頂點的連線恰好將△ABC分成兩個全第三角形，則這樣的點共

有（）

A.1個B.3個C.6個D.9個

3.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊

B.全等三角形兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角

C.全等三角形是一種特殊三角形

D.如果兩個三角形都與另一個三角形全等，那么這兩個三角形

也全等

4.小明用四根竹棒扎成如圖所示的風(fēng)箏框架，已知=

AD=CB,下列判斷不正確的是（）..

（第4題）（第5題）

（第6題）

A.NA=NCB.ZABC=/CDAC.ZABD=NCDB

D.ZABD=ZC

5.如圖，△ABC中，AB=ACtAE=CF,BE=AFf則NE=N

_____,ZC4F=Z.

6.如圖，AD=BC,DC=AB.AE=CF,找出圖中的一對全等

三角形,并說明你的理

由?

7.如圖，在△川/中，/的。=60°,將△4先

繞著點/I順時針旋轉(zhuǎn)40。后得到△/1外；則/

班后的度數(shù)為.

8.如圖，AB=DE,AC=DFfBF^EC,△力a1和△

女/全等嗎？請說明理由.

能力提高

9.在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A(4,0)、B(0,2),如果點C在坐

標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)點C的坐標(biāo)為_____或_______時，由點B、0、白

組成的三角形與aAOB全等。/、

10.如圖，在aABC中，AB=AC,D是BC邊上的中點，連接6AD.”

(1)求證：△ADBgZ^ADC；(2)求證：ZADB=ZADC=90°；

11.如圖,AD=CB,E、F是AC上兩動點,且有DE=BF.

（1）若E、F運動至如圖①所示的位置，且有AF二CE,求證：△

ADE^ACBF.

（2）若E、F運動至如圖②所示的位置，仍有AF二CE,那么aADE

名△CBF還成立嗎？為什么？

（3）若E、F不重合,AD和CB平行嗎？說明理由。

12.如圖，在△ABC中，NC=90°,。，E分別為AC,/W上的點,

且AE=BC,DE=DC.

求證：DE±AB.

B

12.2三角形全等的判定

編制人：徐洪木審核人：趙同軍

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.探索三角形全等的“邊角邊”的條件，理解滿足邊邊角兩三角

形不一定全等

2.應(yīng)用“邊角邊”證明兩個三角形全等，進(jìn)而證明線段或角相等.

知識梳理：

三角形全等的條件:和它們的對應(yīng)

相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊"或'1

注：及其一邊所對的相

等，兩個三角形不一定全等。

學(xué)法指導(dǎo)：

例題如圖，點C,E,B,尸在同一直線上，NC=NF,AC=￡＞尸，

EC=BF.△ABC與全等嗎？說明你的結(jié)論.

分析：由題意，題中直接給出一組對應(yīng)角、一組對應(yīng)邊相等，還差

一組對應(yīng)邊（BOEF）就可以應(yīng)用“SAS”判定兩個三角形全等了.觀

察所給的條件=8尸,我們可以利用線段的和得到有效的一組

對應(yīng)邊BOEF,于是問題獲得解決.

F

D

當(dāng)堂訓(xùn)練：

一.填空：

1.如圖甲，已知AD/7BC,AD=CB,要用邊角邊公理證明aABC絲

△CDA,需要三個條件，這三個條件中，已具有兩個條件，一是

AD=CB（已知），二是：還需要一個條件

（這個條件可以證得嗎？）.

2.如圖乙，已知AB=AC,AD=AE,Z1=Z2,要用邊角邊公理證

明△ABDgACE,需要滿足的三個條件中，己具有兩個條件：

__________________________（這個條件可以證得嗎？）.

二解答題：

1.已知：如圖，AB=AC,E分別是AB、AC的中點.求證：△

ABE^AACF.

2.已知：點A、F、E、C在同一條直線上，AE=CE,BE〃DF,BE

=DF.

求證：aABE會ZXCDF.

達(dá)標(biāo)檢測

1.如圖所示，6D、月。相交丁點。若以二勿，用“弘S”說明

AD

B

△力。儂△〃優(yōu)：還需要的條件是（）

A.AB=CDB.0B=0C

C.ZA=/〃D.AAOB二ADOC

2.如圖所示，〃是8。的中點，ADA.BC,那么下列說法錯誤的是

)

A.△4蛇B.NB=ZC

C.力〃是△4%的高D.一定是等邊三角形

3.如圖,AB=CD,要使△力協(xié)0△40,應(yīng)添加的條件是

（添加一個條件即可）

4.如圖，點U〃在線段月8上，PC=PD,Z1=Z2,請你添加

一個條件，使圖中存在全等三角形，所添加的條件為

你得到的一對全等二角形是s

5.如圖，0A=0B,0C=0D,/0=60°,zr=25°,則/頗

第3題第5題

6.已知：如圖，AB//CD,AB=CD.求證：XAB噲叢CDB

BC

課后作業(yè)

夯實基礎(chǔ)

1.如圖，在△ABC和△。七月中，已知AB=QE,BC=EF,根

據(jù)（SAS）判定4ABC會4DEF,還需的條件是（力）D

A.NA=NOB./B=/EC./C=NF/\/\

D.以上三個均可以/\\

2.下面各條件中，能使△4的條件的是￡CEF

A.AB=DE,NA=/D,BC=EFB.AB=BC/B=/E,

DB=EF

C.AB=EF,/A=/D,AC=DFD.BC=EF,4C=4F,

AC=DF

3.如圖，AD,8C相交于點。，OA=OD,OB=OC.下列結(jié)

論正確的是（）

A.△A08名△OOC.B.△ABO也△DOCC.ZA=ZC

D.4B=ND

4.如圖，已知AB=AC,AD=AEfZBAC=ZDAE.下列結(jié)論

不正確的有（）.A./BAD=NCAEB.

C.AB=BCD.BD=CE

5.如圖，已知A3_L3。，垂足為B,EDLBDt垂足為O,

AB=CD,BC=DE,則ZACE=.

BACD

第5題第6題

6.如圖，已知=NA=NB,AC=BD,經(jīng)分析

g.此時有NF=.

7.如圖所示，力凡勿相交于。且用?=〃見觀察

圖形，圖中已具備的另一相等的條件是_______,一7c

聯(lián)想到SAS,只需補充條件_______,則有△4%\/

8.如圖所示，有一塊三角形鏡子，小明不小心破

裂成1、2兩塊，現(xiàn)需配成同樣大小的一塊.為了〃

方便起見，需帶上塊，其理由是.

能力提高

9.如圖，把兩根鋼條AA',88’的中點。連在一起，可以做成一

個測量工件內(nèi)槽寬的工具（工人把這種工具叫卡鉗）只要量出

A'B’的長度，就可以知道工件的內(nèi)徑A8是否符合標(biāo)準(zhǔn)，你能簡

要說出工人這樣測量的道理

嗎？.

10.如圖，已知在△ABC中，AB=ACfZ1=Z2.

求證：ADBD=DC.

思維拓展

11.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩

點，RF.=DF,點G、H分別在RA和DC的延長線上,且A6=CH,

連接GE、EH、HF、FGo

求證：四邊形GEHF是平行四邊形。

H

12.2三角形全等的判定（3）

編制人魏紅剛審核人趙同軍

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、通過動手實踐，自主探索，進(jìn)一步掌握三角形全等的條件。

2、學(xué)生探索出全等三角形的條件“ASA、AAS”結(jié)合圖形能準(zhǔn)確表

達(dá)三角形全等。

3,能運用“ASA、AAS”的方法進(jìn)行三角形全等的判定。

重點：掌握三角形全等的條件“ASA、AAS"，并能應(yīng)用它們來判定

兩個三角形是否全等。

難點：探索“ASA、AAS”及應(yīng)用。

一：快速回顧：

1全等二角形的定義.

2.你學(xué)后的判定兩個三角形全等的方法有：

二：交流探究

1.先任意畫出一個△ABC。再畫一個aA'B'C',使A'B'=AB,

ZA;=ZA,=ZB（即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等）。把畫

好的B'U剪下，放到AABC上，它們?nèi)葐?？你能得出?/p>

么結(jié)論？

3在△ABC和△DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF（圖11.2

-9）,AABC與4DEF全等嗎?能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎?

證明:

總結(jié)出結(jié)論:

三：例題演練：如圖：D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC.求

證AD=AE.

討論：三角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？

四學(xué)以致用：1.如圖，要測量河兩岸相對的兩點A,B的距離，

可以在AB的垂線BF上取兩點C,D,使BC=CD,再定出即的垂線

DE,使A,C,E在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長.為

什么？

（第1期

2.如圖，AB±BC,AD±DC,Z1=Z2.求證AB=AD.

3.能力提升：如圖：Z1=Z2,Z3=Z4求證：AC=AD

D

7

c

四、小結(jié)

三角形全等的判定方法做一個小結(jié).

12.2三角形全等的判定(HL)

編制人魏紅剛審核人趙同軍

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解“HL”的條件，并運用“HL”判別兩個直角三角形全等；

2.了解特殊與一般的關(guān)系，培養(yǎng)辯證的思維方法；

3.要求學(xué)生學(xué)會文字語言，符號語言和圖形語言的表達(dá)和相互.轉(zhuǎn)化.

此外，通過多種說理形式的訓(xùn)練，讓學(xué)生選擇自己喜歡的表達(dá)方式

進(jìn)行說理.

【課前準(zhǔn)備】

1.直角三角形全等的條件有哪些？“AAA”顯然不能作為直角三角

形全等的條件，那么滿足“SSA”條件的兩個直角三角形是否全等呢？

2.如圖，ABLBE于B,DELBE于E,

(1)若NA=/D,AB=DE,則△ABC與ADEF；

根據(jù)________

(2)若NA=/。，BC=EF,則ZiABC與4DEF；

根據(jù).

(3)若AB=DE,BC=EF,貝必相。與萬；

根據(jù).

(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF貝與；

根據(jù).

3.如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這

兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆

遮住無法測量

(1)你能幫他想個辦法嗎？

(2)如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎？

［探索新知］

情境1:試用尺規(guī)作出滿足下列條件的三角形.

(1)ZB=3O°,AB=5cm,AC=3cm；(追問：所作的三角形全等嗎？)

AB=A8,

(2)如圖11.3-5-1,對于非直角三角形，滿足條件，AC.=AC2,的

/ABC】=ZABC2.

二角形有兩個△ABCI和△ABC2,它們不全等是顯然的，因為△ABC?

比△ABG多出了部分，這部分就是等腰aAGC2；其實我們還可以

由NAC?B是銳角而/AGB是鈍角作出判斷.

先準(zhǔn)備一張等腰三角形紙片ABC(AB=AC),將它沿底邊上的高

AD對折.讓學(xué)生猜測：高兩側(cè)的部分能否完全重合？(如圖

11.3-5-3)為什么？

做一做；按下列畫法，用圓規(guī)和刻度尺畫直角三角形

畫法圖形

畫角NPC0=9O°.

在射線CP上取CB=2cni.

以B為圓心，3cm為半徑畫弧

交射線CQ與點A.

連接43.

(1)你畫的這個三角形，和其他同學(xué)所作的三角形進(jìn)行比較，從

中你發(fā)現(xiàn)了什么？

斜邊、直角邊的判定方法

的兩個直角三角形全等,

簡稱斜邊、直角邊或"L

通常寫成下面的格式：

在RiAABC與RfADEF中，

..[AC=DF

?[BC=EF

：.Rt^ABC^R^DEF(HL)

①兩直角三角形兩條直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等，

根據(jù).

②兩直角三角形斜邊和?個銳角對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全

等，根據(jù).

③兩直角三角形一個銳角和一條直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三

角形全等，根據(jù).

④兩直角三角形全等的特殊條件是和對應(yīng)相等.

問題2：談?wù)劇皟蓷l邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”這句話

的理解.

【例題講解】

1.如圖，已知在ZkABC中,AB=AC,AO_L3C,垂足為D,試用(H.L)

全等識別法說明AD平分NBAC

2.已知如圖，AC.LBC,ADA,BD,垂足分別為C、D,AC=BD,

用△ABC與全等嗎？為什么？

【當(dāng)堂反饋】

1.如圖，已知/ACB=NADB=90。，要使還需增加

一個什么條件？把增加的條件填在橫線上，并在后面相應(yīng)括號內(nèi)

填上判定它們?nèi)鹊睦碛桑?/p>

①()②()

③()④()

請根據(jù)填4?6題

2.如圖1,AO是△43C的邊8c上的高，再加一個條件,

得到△48。絲△ACO.

3.如圖2,ACLAB.DFX.DE.AODF,再加一個條件

得至

4.如圖3,ABLBC,AOBD,當(dāng)CO與BC互相,得

到△ABC—DCB.

5.下列三角形不一定全等的是()

4有兩個角和一條邊對應(yīng)相等的三角形B.有兩條邊和

一個角對應(yīng)相等的三角形

C.斜邊和一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形D.三條邊對應(yīng)

相等的兩個三角形

6.如圖：AB=DF,CF=EB,ACLCE,DELCE,垂足分別為

C、E.AABC與ADEF全等嗎?為什么？

7.如圖，NACB=NCFE=90。,AB=DE,

BC=EF,試說明A￡>=b

【課后作業(yè)】

1.已知，加圖：。是8C上一點，D