山西省晉中市祁縣二中2025年數(shù)學高二下期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知分別是的內(nèi)角的的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形2．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是()A．420 B．210 C．70 D．353．形狀如圖所示的2個游戲盤中（圖①是半徑為2和4的兩個同心圓，O為圓心；圖②是正六邊形，點P為其中心）各有一個玻璃小球，依次搖動2個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲，則一局游戲后，這2個盤中的小球都停在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．4．已知某產(chǎn)品連續(xù)4個月的廣告費用（千元）與銷售額（萬元），經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理，得到如下數(shù)據(jù)信息：①廣告費用和銷售額之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；②；③回歸直線方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，廣告費用為8千元時，可預(yù)測銷售額約為（）A．4.5萬元 B．4.9萬元 C．6.3萬元 D．6.5萬元5．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．6．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．327．觀察下列各式：，則的末尾兩位數(shù)字為（）A．49 B．43 C．07 D．018．在極坐標系中,點與之間的距離為(

)A．1 B．2 C．3 D．49．袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A．310B．35C．110．對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yiA．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)11．設(shè)，則的值為()A．2 B．2046 C．2043 D．－212．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，，則（）A． B． C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m的值為_______．14．如圖所示，函數(shù)的圖象由兩條射線和三條線段組成．若,，則正實數(shù)a的取值范圍是_________．15．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.16．將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)和在公共定義域內(nèi)，恒成立；（3）若存在兩個不同的實數(shù)，，滿足，求證：．18．（12分）某大學學生會為了調(diào)查了解該校大學生參與校健身房運動的情況，隨機選取了100位大學生進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：參與不參與總計男大學生30女大學生50總計45100（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關(guān)？請說明理由.附：，其中.0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機抽取3株,設(shè)隨機變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望;(Ⅲ)據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準備前往該基地隨機購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費,每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計分析結(jié)果為決策依據(jù),預(yù)測老王采取哪種付費方式更便宜?20．（12分）已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．（12分）證明：當時，.22．（10分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，且與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的標準方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知結(jié)合正弦定理可得利用三角形的內(nèi)角和及誘導公式可得，整理可得從而有結(jié)合三角形的性質(zhì)可求【詳解】解：是的一個內(nèi)角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．本題主要考查了正弦定理，三角形的內(nèi)角和及誘導公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)試題．2、A【解析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【詳解】按照的順序：當相同時：染色方案為當不同時：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關(guān)鍵.3、A【解析】

先計算兩個圖中陰影面積占總面積的比例，再利用相互獨立事件概率計算公式，可求概率.【詳解】一局游戲后，這2個盤中的小球停在陰影部分分別記為事件，，由題意知，，相互獨立，且，，所以“一局游戲后，這2個盤中的小球都停在陰影部分”的概率為.故選A.本題考查幾何概型及相互獨立事件概率的求法，考查了分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由已知可求出，進而可求出，即可得到回歸方程，令，可求出答案.【詳解】由題意，，因為，所以，則回歸直線方程為.當時，.故選C.本題考查了線性回歸方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則，直接計算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值．【詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.7、B【解析】

通過觀察前幾項，發(fā)現(xiàn)末尾兩位數(shù)分別為49、43、01、07，以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，由此即可推出的末尾兩位數(shù)字?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，得，發(fā)現(xiàn)的末尾兩位數(shù)為49，的末尾兩位數(shù)為43，的末尾兩位數(shù)為01，的末尾兩位數(shù)為07，（）；由于，所以的末兩位數(shù)字為43；故答案選B本題以求的末尾兩位數(shù)的規(guī)律為載體，考查數(shù)列的通項公式和歸納推理的一般方法的知識，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解析】

可先求出判斷為等邊三角形即可得到答案.【詳解】解析：由與,知,所以為等邊三角形,因此本題主要考查極坐標點間的距離，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力及計算能力，難度不大.9、C【解析】試題分析：因為第一次摸到紅球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為35×考點：1、條件概率；2、獨立事件．10、C【解析】試題分析：由散點圖1可知，點從左上方到右下方分布，故變量x與y負相關(guān)；由散點圖2可知，點從左下方到右上方分布，故變量u與v正相關(guān)，故選C考點：本題考查了散點圖的運用點評：熟練運用隨機變量的正負相關(guān)的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題11、D【解析】分析：先令得，再令得，解得結(jié)果.詳解：令得令得=0因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.12、A【解析】

由題意，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式，求的公比，進而可求解，得到答案．【詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1.【解析】分析：由復(fù)數(shù)的實部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故答案為-1.點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件.14、【解析】試題分析：由已知可得且，若，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.考點：函數(shù)圖象的應(yīng)用.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的圖象及其應(yīng)用，其中解答中涉及函數(shù)的圖象及其簡答的性質(zhì)，全稱命題、函數(shù)的恒成立問題等知識點的綜合考查，其中解答中根據(jù)已知條件和函數(shù)的圖象，列出相應(yīng)的不等式組是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.15、【解析】

由條件可得【詳解】因為，分別是的中點所以所以故答案為：本題考查的是空間向量的線性運算，較簡單.16、.【解析】

在參數(shù)方程中利用加減消元法或代入消元法消去參數(shù)，可將參數(shù)方程化為普通方程.【詳解】由得，兩式相加得，即，因此，將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為，故答案為.本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，將直線的參數(shù)方程化普通方程，常見的有代入消元法和加減消元法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導，得到得到導函數(shù)的正負，進而得到單調(diào)區(qū)間和極值；（2）構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)和求導研究函數(shù)的單調(diào)性進而得到函數(shù)的最值，使得最小值大于2即可；（3）要證原式只需要證，故得到即證：，變量集中設(shè)即可,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式.詳解：(1)函數(shù)的定義域為,,故當時,,當時,,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2)證明:函數(shù)和的公共定義域為,,設(shè),則在上單調(diào)遞增,故;設(shè),當時有極大值點,;故;故函數(shù)和在公共定義域內(nèi),.(3)證明:不妨設(shè),由題意得,,;所以;而要證,只需證明;即證明;即證明;即證明,;令,則;即證明;設(shè);則,故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),所以,即;所以不等式成立.點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式；2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).18、（1）見解析（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關(guān)【解析】

（1）根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)計算即可.（2）將表格中的數(shù)據(jù)代入公式，計算即可求出k的取值，根據(jù)參考值得出結(jié)論.【詳解】解：（1）參與不參與總計男大學生302050女大學生153550總計4555100（2）因為的觀測值，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關(guān)．本題考查列聯(lián)表和獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)方案一付費更便宜.【解析】

(Ⅰ)由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．(Ⅱ)由題意可知，高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)為5，高度在[90，100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結(jié)論，分別計算按照方案一購買應(yīng)付費和按照方案二購買應(yīng)付費，比較結(jié)果即可得按照方案一付費更便宜.【詳解】(Ⅰ)由題意可知，樣本容量,，.(Ⅱ)由題意可知,高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5,高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1,2,3,則，，,∴X的分布列為：X123P故.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結(jié)論，高度在內(nèi)的概率為，按照方案一購買應(yīng)付費元，按照方案二購買應(yīng)付費元，故按照方案一付費更便宜.本題考查頻率分布直方圖、分布列和數(shù)學期望，考查能否根據(jù)頻率分布直方圖得出每一組的概率以及一組的數(shù)據(jù)計算總體，求隨機變量的分布列的主要步驟：①明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；②求每一個隨機變量取值的概率；③列成表格，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于中等題.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和，，成等比數(shù)列代入公式得到方程，解出答案.(2)據(jù)(1)把通項公式寫出,根據(jù)裂項求和的方法求得.【詳解】解：(1)，，成等比數(shù)列,則或(舍去)所以（2）本題考查了公式法求數(shù)列通項式，裂項求和方法求，屬于基礎(chǔ)題.21、見解析【解析】分析：（1）記，則，分x∈與x∈兩類討論，可證得