湖南長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則的值為（）A． B．1 C． D．02．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．3．某高中舉辦了一場(chǎng)中學(xué)生作文競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)決定從參賽選手中選出一等獎(jiǎng)一名、二等獎(jiǎng)二名、三等獎(jiǎng)二名，通過評(píng)委會(huì)獲悉在此次比賽中獲獎(jiǎng)的學(xué)生為3男2女，其中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)項(xiàng)中都有男生，請(qǐng)計(jì)算一下這5名學(xué)生不同的獲獎(jiǎng)可能種數(shù)為（）A．12 B．15 C．18 D．214．設(shè)奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增5．設(shè)集合，則（）A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A． B． C． D．7．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽規(guī)則為“3局2勝”,即以先贏2局者為勝,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每局比賽中甲獲勝的概率為0.4,則本次比賽甲獲勝的概率是（）A．0.216 B．0.36 C．0.352 D．0.6488．設(shè)有兩條直線，和兩個(gè)平面、，則下列命題中錯(cuò)誤的是A．若，且，則或B．若，且，，則C．若，且，，則D．若，且，則9．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．110．區(qū)間[0，5]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則滿足x[0，1]的概率為A． B． C． D．11．若，，如果與為共線向量，則（）A．， B．，C．， D．，12．設(shè)是含數(shù)的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能取值只能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)面與底面所成二面角為45°，則它的全面積為________14．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________．(有數(shù)字填寫答案)15．x2+1x3516．已知函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍．18．（12分）如圖（A），（B），（C），（D）為四個(gè)平面圖形:（A）（B）（C）（D）（I）數(shù)出每個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)，并將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；交點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)（A）452（B）58（C）125（D）15（II）觀察表格，若記一個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為，試猜想間的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）.19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在的下方．20．（12分）（1）3個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，一共有多少種不同的放法？（2）3個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有2個(gè)空盒的放法共有多少種？21．（12分）如圖，三棱柱中，，，（1）證明：；（2）若平面

平面，，求點(diǎn)到平面的距離．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

求出的導(dǎo)函數(shù)，代入即得答案.【詳解】根據(jù)題意，，所以，故選D.本題主要考查導(dǎo)函的四則運(yùn)算，比較基礎(chǔ).2、A【解析】因，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，應(yīng)選答案A。3、B【解析】

一等獎(jiǎng)為男生，則從3個(gè)男生里選一個(gè)；二等獎(jiǎng)有男生，可能是一男一女，可能是兩男；剩下的即為三等獎(jiǎng)的學(xué)生，依照分析求組合數(shù)即可【詳解】由題可知，一等獎(jiǎng)為男生，故；二等獎(jiǎng)可能為2個(gè)男生或1個(gè)男生，1個(gè)女生，故故獲獎(jiǎng)可能種數(shù)為，即選B本題考查利用排列組合解決實(shí)際問題，考查分類求滿足條件的組合數(shù)4、B【解析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根號(hào)函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當(dāng)時(shí)，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．5、B【解析】分析：先解不等式得出集合B，再由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．詳解：由題意，，∴．故選B．點(diǎn)睛：本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元確定如何求集合中的元素．6、B【解析】

分析程序中兩個(gè)變量和流程圖可知，該算法為先計(jì)算后判斷的直到型循環(huán)，模擬執(zhí)行程序，即可得到答案.【詳解】程序執(zhí)行如下終止條件判斷否否否否否否是故當(dāng)時(shí)，程序終止，所以判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件應(yīng)為.故選：B.本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷循環(huán)的類型和終止循環(huán)的條件是解題關(guān)鍵7、C【解析】

先列舉出甲獲勝的情況，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率?！驹斀狻坑浭录嗀:甲獲勝，則事件A包含：①比賽兩局，這兩局甲贏；②比賽三局，前兩局甲、乙各贏一局，第三局甲贏。由獨(dú)立事件的概率乘法公式得PA故選：C.本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，解題前先要弄清事件所包含的基本情況，并逐一列舉出來，并結(jié)合概率的乘法公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。8、D【解析】

對(duì)A，直接進(jìn)行直觀想象可得命題正確；對(duì)，由線面垂直的性質(zhì)可判斷；對(duì)，由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷；對(duì)D，也有可能.【詳解】對(duì)A，若，且，則或，可借助長(zhǎng)方體直接進(jìn)行觀察命題成立，故A正確；對(duì)B，若，且，可得，又，則由線面垂直的性質(zhì)可知，故B正確；對(duì)C，若，且，可得，又，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故C正確；對(duì)D，若，且，則也有可能，故D錯(cuò)誤.故選：D.本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面之間關(guān)系的判定方法及性質(zhì)定理是解答此類問題的關(guān)鍵．9、C【解析】

令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，確定，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為.故選：.本題考查函數(shù)最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值點(diǎn).10、A【解析】

利用幾何概型求解即可.【詳解】由幾何概型的概率公式得滿足x[0，1]的概率為.故選：A本題主要考查幾何概型的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.11、B【解析】

利用向量共線的充要條件即可求出．【詳解】解：與為共線向量，存在實(shí)數(shù)使得，，解得．故選：．本題考查空間向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

利用函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得到：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合．我們可以通過代入和賦值的方法當(dāng)f（1）=，，0時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為，，0，然而此時(shí)x=0或者x=1時(shí)，都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此只有當(dāng)x=，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y，故選B．本題考查函數(shù)的定義，即“對(duì)于集合A中的每一個(gè)值，在集合B中有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)”(不允許一對(duì)多).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：設(shè)正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為2a,PO為三棱錐的高，做PD垂直于AB，連OD，則PD為側(cè)面的高，OD為底面的高的三分之一，在三角形POD中構(gòu)造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．詳解：設(shè)正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為2a,PO為三棱錐的高，做PD垂直于AB，連OD，則PD為側(cè)面的高，OD為底面的高的三分之一，在三角形POD中故全面積為：故答案為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了正三棱錐的表面積的求法，其中涉及到體高，斜高和底面的高的三分之一構(gòu)成的常見的模型；正三棱錐還有一特殊性即對(duì)棱垂直，這一性質(zhì)在處理相關(guān)小題時(shí)經(jīng)常用到.14、16【解析】展開式的次項(xiàng)與形成常數(shù)項(xiàng)，展開式的常數(shù)項(xiàng)和1形成常數(shù)項(xiàng)，所以展開式的次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為1，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為15+1=1615、10；32【解析】

x2T由10-5r=0得r=2,故展開式中常數(shù)項(xiàng)為C52=10;取x=116、【解析】令指數(shù)，則：，據(jù)此可得定點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

將函數(shù)寫出分段函數(shù)形式，再分段解不等式。不等式的解集非空即?！驹斀狻?1)或或無(wú)解或或或原不等式的解集為(2)若要的解集非空只要即可故的取值范圍為本題考查含絕對(duì)值的不等式，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。18、（I）列聯(lián)表見解析；（II）.【解析】

（I）數(shù)出結(jié)果填入表格即可．（II）觀察一個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為E，F(xiàn)，G，即可猜想E，F(xiàn)，G之間的等量關(guān)系．【詳解】（I）（II）觀察表格，若記一個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為，猜想之間的數(shù)量關(guān)系為.本題考查歸納推理，實(shí)際上本題考查的重點(diǎn)是給出幾個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)寫猜想E，F(xiàn)，G之間的等量關(guān)系，本題是一個(gè)綜合題目，知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的比較巧妙．19、（1）的最小值是，最大值是；（2）證明詳見解析.【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即得函數(shù)單調(diào)遞增，最后根據(jù)單調(diào)性確定最值，（2）先作差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)最值，根據(jù)最大值小于零得證結(jié)論.試題解析：(1)因?yàn)閒(x)＝x2＋lnx，所以因?yàn)閤>1時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)證明：令，所以因?yàn)閤>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，所以.所以f(x)<g(x)．所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在的下方．20、（1）64；（2）36【解析】

（1）根據(jù)題意，分析可得3個(gè)小球，每個(gè)小球有4種放法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步分析：①，將3個(gè)小球分成2組，②，在4個(gè)盒子中任選2個(gè)，分別放入分好組的兩組小球，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，3個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)小球有4種放法，則3個(gè)小球有種不同的放法；（2）根據(jù)題意，分2步分析：①將3個(gè)小球分成2組，有種分組方法，②在4個(gè)盒子中任選2個(gè)，分別放入分好組的兩組小球，有種選法，則恰有2個(gè)空盒的放法有種．本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.21、（1）見解析（2）【解析】試題分析：(1)利用題意首先證得，然后利用線面垂直的定義即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量和直線的方向向量可得直線與平面所成角的正弦值是.試題解析：（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)?，所?由于，，故為等邊三角形，所以.因?yàn)?，所?又，故（2）由（1）知，，又，交線為，所以，故兩兩相互垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知，則，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取故.所以與平面所成角的正弦值為22、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解析】

（1），①時(shí)，因?yàn)?，所以，函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，無(wú)極值；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在區(qū)間上的極小值為，無(wú)極大值．（2）由題意，，即問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)．