2.5一元二次方程根的判別式目錄情景導入新知探究鞏固練習拓展延伸情景導入A．由解方程引入:

解方程:①x2

x

1

0b2

4ac

1

4

5

②x2

4x

4

0b2

4ac

16

16

0

③2x2

3x

4

0b2

4ac

9

32

0此方程無實數(shù)根,可見,由b2

4ac的值,可以判斷方程根的情況.新知探究B．新課:一、判別式1.方程ax2

bx

c

0(a

0)根的判別式是:

b2

4ac.（1）

b2

4ac

0

方程有兩個不相等的實數(shù)根（2）

b2

4ac

0

方程有兩個相等的實數(shù)根（3）

b2

4ac

0

方程沒有實數(shù)根.2、判別式的應用（1）直接判斷一元二次方程根的情況;（2）由題目給出的一元二次方程根的情況,求出a、b、c

中待定系數(shù)的值或取值范圍.例1不解方程,判斷下列方程根的情況.（1）2x2

3x

1

0（2）（3）5x2

7x

5

0（4）kx2

(2k

1)x

k

1

0(k

0)（1）2x2

3x

1

0（2）（3）5x2

7x

5

0（4）kx2

(2k

1)x

k

1

0(k

0)解（1）

(

3)2

4

2

1

9

80∴方程（1）有兩個不等的實根.

（2）∴方程（2）有兩個相等的實數(shù)根.

（3）

(

7)2

4

5

5

49

1000∴方程（3）無實數(shù)根.

（4）

(2k

1)2

4k(1

k)

4k2

4k

1

4k

4k2

8k2

1

0

（無論k為何值均有8k2

1

0）∴方程（4）有兩個不等實根.

今后遇到二次方程馬上先由

判斷一下根的情況這是解題的良好習慣.例2關于x的方程(m

2)x2

2(m

1)x

m

1

0在下列條件下,分別求m的非負整數(shù)值.（1）方程只有一個實數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）方程有兩個不相等的實數(shù)根.解:（1）當m

2

0即m

2時方程為一元一次方程

2x

3

0,

即m

2時,已知方程只有一個實數(shù)根.（2）當方程有兩個相等的實根時,必須且只需 解出

∴m

3時,方程有兩個相等的實數(shù)根.（3）當方程有兩個不相等實數(shù)根時,必須且只需解出又m是非負整數(shù)∴m

0或m

1

小結(jié):使用

時必須在a

0的前題下.

例3.m取什么值時,關于x的方程2x2

(m

2)x

2m

2

0有兩個相等的實數(shù)根？并求出這時方程的根.解:∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴

(m

2)2

8(2m

2)

m2

12m

20

(m

2)(m

10)

0∴m1

2m2

10當m1

2時當m2

10時∴所求m

2或m

10,方程的根為1或3.例4求證:無論a為任何實數(shù),關于x的方程x2

(2a

1)x

a

3

0總有兩個不相等的實數(shù)根.證:

(2a

1)2

4(a

3)

4a2

8a

13

4(a

1)2

9即

0無論a為任何實數(shù)(a

1)2

0∴4(a

1)2

9

0∴無論a為任何實數(shù),方程x2

(2a

1)x

a

3

0總有兩個不等實根.由例4可知:要說明

0常將它配成完全平方式

正數(shù).觀察下表.方程x1x2x1

x2x1x2x2

2x00220x2

3x

4

0-41-3-4x2

5x

6

02356Ⅰ觀察兩根之和,兩根之積與a、b、c的關系;Ⅱ兩根之和

一次項系數(shù)的相反數(shù);兩根之積

常數(shù)項.Ⅲ推廣方程ax2

bx

c

0(a

0b2

4ac

0)變形為由求根公式與上述觀察結(jié)果對比,可得到根系關系.鞏固練習拓展延伸二、根系關系1、關于x的方程ax2

bx

c

0(a

0,b2

4ac

0)的兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c的關系是:注:應用根系關系的前題是a

0且

02、根系關系的應用:（1）已知方程的一根,求另一根及字母系數(shù)的值.（2）已知兩根之間的關系,確定方程中字母系數(shù)的值.例5已知方程的一個根是

1,求k及另一根解法一:設方程的另一根為x1∴所求

,解法二∵

1是方程的根∴∴方程為

x2

1∴所求另一根為引申:若x2

1

則對應的方程是什么？即以,

1為根的方程為

0例6方程x2

(m

1)x

2m

1

0求m滿足什么條件時,方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？解:

(m

1)2

4(2m

1)

m2

6m

5①∵兩根互為相反數(shù)∴兩根之和m

1

0,m

1,且

0∴m

1時,方程的兩根互為相反數(shù).拓展延伸②∵兩根互為倒數(shù)

m2

6m

5,∴兩根之積2m

1

1m

1且

0,∴m

1時,方程的兩根互為倒數(shù).③∵方程一根為0,∴兩根之積2m

1

0

且

0,∴時,方程有一根為零.引申:1、若ax2

bx

c

0(a

0

0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b

0;（2）若兩根互為倒數(shù),則a

c;（3）若一根為0,則c

0

;（4）若一根為1,則a

b

c

0;（5）若一根為

1,則a

b

c

0;（6）若a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根.引申2若a、b是方程x2

2x

7

0的兩個實數(shù)根,求:①a2

b2②a2

3b2

4b③a3

5b2

b

76的值.解:由根系關系a

b

2,ab

7,a2

7

2a

b2

7

2b,①a2

b2=(a

b)2

2ab

4

14

18.②a2

3b2

4b

(7

2a)

3(7

2b)

4b

2(a

b)

28

2(

2)

28