PAGE21/23選修1-23.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算（羅靜）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，初步形成基本的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式加法、減法運(yùn)算，理解并掌握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義.（2）理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法和除法的運(yùn)算.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律；了解共軛復(fù)數(shù)的定義及性質(zhì).（3）培養(yǎng)學(xué)生參透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析問題、解決問題以及運(yùn)算的能力.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)復(fù)數(shù)代數(shù)形式四則運(yùn)算法則.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義，對(duì)復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用.二.教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1預(yù)習(xí)教材P56P60,完成P58和P60相應(yīng)練習(xí)題任務(wù)2掌握復(fù)數(shù)加、減、乘、除四則運(yùn)算法則任務(wù)3利用復(fù)平面理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.設(shè)z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當(dāng)z1＋z2＝0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi為（）A.1＋iB.2＋iC.3D.－2－i答案：D解析：∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋a＝0,b＋1＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝－1))，∴a＋bi＝－2－i.2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，則復(fù)數(shù)z＝z2－z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：C解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－1，－3)，在第三象限.3.若復(fù)數(shù)z滿足z＋(3－4i)＝1，則z的虛部是（）A.－2B.4C.3D.－4答案：B解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虛部是4.（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧1.復(fù)數(shù)通常用小寫字母z表示，即z＝a＋bi(a,b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即實(shí)部和虛部分別相等即a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)的模為2.問題探究問題探究一：復(fù)數(shù)的加減法●活動(dòng)一怎樣計(jì)算復(fù)數(shù)的加法與減法?設(shè),是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么（1）復(fù)數(shù)與的和的定義：（2）復(fù)數(shù)與的差的定義：.●活動(dòng)二從復(fù)數(shù)的加法和減法法則我們可以得到一個(gè)怎樣的結(jié)論？事實(shí)上，兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（減）就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加（減）.●活動(dòng)三復(fù)數(shù)的和與差還是一個(gè)復(fù)數(shù)嗎？顯然，復(fù)數(shù)的和與差仍然是一個(gè)唯一確定的復(fù)數(shù).●活動(dòng)四我們以前學(xué)過的運(yùn)算律還能在復(fù)數(shù)中使用嗎？對(duì)任意.（1）交換律：；（2）結(jié)合律：.●活動(dòng)五復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義是什么？（1）復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)（3）復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義，即為向量的合成與分解：平行四邊形法則，可簡(jiǎn)化成三角形法則，如圖，表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，即表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量注：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差表示與連接兩個(gè)終點(diǎn)且指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).問題探究二：復(fù)數(shù)的乘除法●活動(dòng)一復(fù)數(shù)的乘法怎么算？復(fù)數(shù)的乘法是否有似曾相識(shí)的感覺？設(shè)=a＋bi，=c＋di（a,b,c,d∈R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則·=（a＋bi）（c＋di）=_________________.從上面可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).●活動(dòng)二復(fù)數(shù)的乘法是否也滿足運(yùn)算律呢？對(duì)任意.（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：●活動(dòng)三復(fù)數(shù)的除法又該如何計(jì)算呢？設(shè)=a＋bi,=c＋di（a,b,c,d∈R，且c＋di≠0），幾個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：①i的冪的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).②(1±i)2＝±2i，，，.③設(shè)，則ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活動(dòng)四什么叫做共軛復(fù)數(shù)？一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.共軛復(fù)數(shù)有如下性質(zhì)：①；②；③，；④，；⑤，(z2≠0).例1計(jì)算下列各題：(1)；(2)；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋1＋2i＝10－3i，求z.【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】詳解：.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.（4）z＋1＋2i＝10－3i，∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.點(diǎn)拔：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加減.例2設(shè)及分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對(duì)應(yīng)，試計(jì)算z1＋z2，并在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1＋z2所對(duì)應(yīng)的向量.【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)加減法的幾何意義】【思路探究】利用加法法則求z1＋z2詳解：∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i∵，，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，與復(fù)數(shù)z1＋z2對(duì)應(yīng)，∴＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量如圖所示.點(diǎn)拔：1.根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.利用向量進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時(shí)，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.3.復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可能.變式：在題設(shè)不變的情況下，計(jì)算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1－z2所對(duì)應(yīng)的向量.解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.復(fù)數(shù)z1－z2所對(duì)應(yīng)的向量為.例3（1）設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.（2）已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值.【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的模的幾何意義，復(fù)數(shù)加減法的幾何意義；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】（1）設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).由題意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，∴2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2.∴|z1－z2|＝.（2）【思路探究】利用復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，以及數(shù)形結(jié)合的思想解題.解法一：設(shè)w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(－4,5)為圓心，1為半徑的圓.如圖(1)所示，∴|w|max＝＋1，|w|min＝－1.(2)解法二：由條件知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(－1,1)為圓心，1為半徑的圓，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(3，－4)的距離，在圓上與(3，－4)距離最大的點(diǎn)為A，距離最小的點(diǎn)為B，如圖(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝eq\r(41)＋1，|z－3＋4i|min＝eq\r(41)－1.點(diǎn)拔：|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1，z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.例4（1）計(jì)算.（2）計(jì)算：；(3)若復(fù)數(shù)，求1＋z＋z2＋…＋z2013的值.【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】（1）分析：先計(jì)算再乘方，且將的分母實(shí)數(shù)化后再合并.詳解：又解：.（2）【思路探究】將式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、變形，使之出現(xiàn)in的形式，然后再根據(jù)in的值的特點(diǎn)計(jì)算求解.詳解：(3)，而，所以點(diǎn)拔：1.要熟記in的取值的周期性，要注意根據(jù)式子的特點(diǎn)創(chuàng)造條件使之與in聯(lián)系起來以便計(jì)算求值.2.如果涉及數(shù)列求和問題，應(yīng)先利用數(shù)列方法求和后再求解.例5已知z∈C，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，求z.【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)】詳解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi(a，b∈R)，由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－3b＝1,－3a＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝3))，所以z＝－1或z＝－1＋3i.點(diǎn)拔：1.是共軛復(fù)數(shù)的常用性質(zhì).2.實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R?z＝，利用此性質(zhì)可以證明一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).3.若z≠0且z＋＝0，則z為純虛數(shù)，利用此性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù).3.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】1.兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律.4.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算時(shí)，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)后可得，類似于以前學(xué)習(xí)的分母有理化.【重難點(diǎn)突破】(1)復(fù)數(shù)的加減法，可模仿多項(xiàng)式的加減法法則計(jì)算，實(shí)質(zhì)上是合并同類項(xiàng)，不必死記公式.(2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)于向量，那么，以為兩邊作平行四邊形，對(duì)角線OS表示的向量就是的和所對(duì)應(yīng)的向量.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).(3)復(fù)數(shù)的乘法，也可按照多項(xiàng)式的乘法法法則計(jì)算，實(shí)質(zhì)上也是合并同類項(xiàng)，同樣不必死記公式.(4)兩個(gè)復(fù)數(shù)相除較簡(jiǎn)便的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn).(5)復(fù)數(shù)除法的核心是分母實(shí)數(shù)化，類似分母有理化.4.隨堂檢測(cè)1.（）A.B.2C.D.1答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的?！吭?.復(fù)數(shù)i(2－i)等于（）A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.3.已知eq\f((1－i)2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于（）A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】由eq\f((1－i)2,z)＝1＋i，知z＝eq\f((1－i)2,1＋i)＝－eq\f(2i,1＋i)＝－1－i，故選D.（三）課后作業(yè)★基礎(chǔ)型自主突破1.等于（）A.B.C.D.答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】原式2.i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為（）A.iB.－iC.1D.－1答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：共軛復(fù)數(shù)相關(guān)概念，的周期性】方法一：i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共軛復(fù)數(shù)為i.故選A.方法二：i607＝eq\f(i608,i)＝eq\f(i4×152,i)＝eq\f(1,i)＝－i，其共軛復(fù)數(shù)為i.故選A.3.已知i是虛數(shù)單位，則(2+i)(3+i)等于（）A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】4.復(fù)數(shù)z=i·(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義】5.復(fù)數(shù)z滿足，則z=（）A.B.C.D.答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】，∴6.復(fù)數(shù)z＝eq\f(－3+i,2+i)的共軛復(fù)數(shù)是（）A.2+iB.2－iC.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義】，7.若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位)，則為（）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】8.(eq\f(1＋i,1－i))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】原式★★能力型師生共研1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝1＋ai(其中i是虛數(shù)單位，a∈R)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】由條件可知：z＝eq\f(1＋ai,1＋i)＝eq\f((1＋ai)(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(a＋1,2)＋eq\f(a－1,2)i；當(dāng)eq\f(a＋1,2)<0，且eq\f(a－1,2)>0時(shí)，，所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限，故選B.2.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（）A.B.C.D.答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的相等】把代入方程，利用復(fù)數(shù)的相等即可3.設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念】4.設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）A.若≥0，則z是實(shí)數(shù)B.若<0,則z是虛數(shù)C.若z是虛數(shù)，則≥0D.若z是純虛數(shù)，則<0答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念】5.一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)的差（）A.不可能是純虛數(shù)B.可能是實(shí)數(shù)C.不可能是實(shí)數(shù)D.無(wú)法確定是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念】6.設(shè)復(fù)數(shù)＝1－i，＝a＋2i，若的虛部是實(shí)部的2倍，則實(shí)數(shù)a的值為______.答案：6解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】∵a∈R，＝1－i，＝a＋2i，∴＝eq\f(a＋2i,1－i)＝eq\f((a＋2i)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq\f(a－2＋(a＋2)i,2)＝eq\f(a－2,2)＋eq\f(a＋2,2)i，依題意eq\f(a＋2,2)＝2×eq\f(a－2,2)，解得a＝6.7.若eq\f(a,1－i)＝1－bi，其中a，b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a＋bi|＝________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】∵a，b∈R，且eq\f(a,1－i)＝1－bi，則a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1－b，,0＝1＋b.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1.))∴|a＋bi|＝|2－i|=＝eq\r(5).8.計(jì)算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001個(gè)式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型多維突破1.復(fù)平面上三點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1，2i,5+2i,則由A、B、C所構(gòu)成的三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義】2.已知，定義運(yùn)算“⊙”為⊙＝，設(shè)非零復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若⊙＝0，則在中，的大小為________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】設(shè)，（）故得點(diǎn)，，且＝0，即.從而有，故.3.復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，且z1＝z2，則λ的取值范圍是_____________.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7))解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，三角函數(shù)的值域】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))化簡(jiǎn)得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8)))2－eq\f(9,16)，因?yàn)閟inθ∈[－1,1]，所以λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7)).4.已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為________.答案：eq\r(3)解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義，復(fù)數(shù)的模，直線的斜率的應(yīng)用】∵|z－2|＝eq\r((x－2)2＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).5.已知復(fù)平面上正方形的三個(gè)頂點(diǎn)是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義】設(shè)D（x,y),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵∴(x－1)+(y－2)i=1－3i∴,解得∴D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i.6.已知復(fù)數(shù)滿足:求的值.答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的概念】設(shè)，而即,則.(四)自助餐1.若C，是（）A.純虛數(shù)B.實(shí)數(shù)C.虛數(shù)D.不能確定答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的概念】.2.為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則=（）A.2B.C.D.1答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的?！縜>0,故.3.的值是（）A.0B.1C.iD.2i答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】.4若復(fù)數(shù)滿足,則的值等于（）A.1B.0C.D.答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】.5.已知,那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義】6.已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，eq\o(z,\s\up6(－))為z的共軛復(fù)數(shù)，則zeq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝（）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)】解：B依題意得zeq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.設(shè)，則的關(guān)系是（）A.B.C.D.無(wú)法確定答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，等比數(shù)列的前項(xiàng)和，等比數(shù)列的前項(xiàng)和】，故選A.8.已知N)，集合的元素個(gè)數(shù)是（）A.2B.3C.4D.無(wú)數(shù)個(gè)答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義】A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,5),B點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3),則中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),∴C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.10.設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)等于（）A.－2B.－2iC.2D.2i答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的?！俊遺＝1＋i，∴eq\x\to(z)＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故選C.11.若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為（）A.－4B.－eq\f(4,5)C.4D.eq\f(4,5)答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的?！吭O(shè)z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3b－4a＝0，,3a＋4b＝5，))解得b＝eq\f(4,5).故選D12.若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于（）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)】∵eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，∴eq\x\to(z)＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.故選A.13.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A.AB.BC.CD.D答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)平面，共軛復(fù)數(shù)】表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)A與表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，∴B點(diǎn)表示eq\x\to(z).選B.14.設(shè)z=（2-i）2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為.答案：5解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模】15.i為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若=2-3i,則.答案：=-2+3i解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義】由于z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3),所以z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3),=-2+3i.16.（1）i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________.(2)已知復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為________.答案：-2；21解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念】（1）(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2（2）因?yàn)閦＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的實(shí)部為21.17.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2016＝________.答案：1解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2))1008＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2i＋i2,1－2i＋i2)))1008＝1.18.eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2016＝________.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)】原式＝eq\f(i(1＋2\r(3)i),1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2))1008＝i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))1008＝i＋i1008＝i＋i4×252＝1＋i.19.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x，x∈R，,(1＋i)x，x?R，))則f[f(1－i)]＝________.答案：3解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，函數(shù)的概念】∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，∴f[f(1－i)]＝f(2)＝1＋2＝3.20.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，求z.答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的相等，復(fù)數(shù)的?！吭O(shè)z＝x＋yi（x,y∈R），∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25.又(3＋4i)z=(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)+(4x＋3y)i是純虛數(shù)，∴聯(lián)立三個(gè)關(guān)系式解得或∴z=4＋3i或z＝－4－3i21.設(shè)是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程.答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的相等，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的?！俊呤羌兲摂?shù)，∴，即,設(shè)，則∴.它為復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程.22.如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：①eq\o(AO,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)；②對(duì)角線eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)；③B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)平面，復(fù)數(shù)的向量表示】①eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.②eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，