河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2025屆數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在上的函數(shù)，單調(diào)遞增，，若對任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若，則下列四個命題：①是在上的“追逐函數(shù)”；②若是在上的“追逐函數(shù)”，則；③是在上的“追逐函數(shù)”；④當時，存在，使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個數(shù)為（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③2．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知，，，則（）A． B． C． D．4．（）A．2 B．1 C．0 D．5．已知為虛數(shù)單位，，則復數(shù)的虛部為()A． B．1 C． D．6．已知離散型隨機變量的分布列為表格所示，則隨機變量的均值為（）0123A． B． C． D．7．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則（）A． B． C． D．8．某市交通部門為了提高某個十字路口通行效率，在此路口增加禁止調(diào)頭標識（即車輛只能左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行），則該十字路口的行車路線共有（）A．24種 B．16種 C．12種 D．10種9．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A． B．C． D．10．隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知復數(shù)，則的虛部是（）A． B． C．-4 D．412．把一枚質(zhì)地均勻、半徑為1的圓形硬幣拋擲在一個邊長為8的正方形托盤上，已知硬幣平放在托盤上且沒有掉下去，則該硬幣完全落在托盤上（即沒有任何部分在托盤以外）的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球O的半徑為R，點A在東經(jīng)120°和北緯60°處，同經(jīng)度北緯15°處有一點B，球面上A，B兩點的球面距離為___________；14．已知函數(shù)，則_____15．若為上的奇函數(shù)，且滿足，對于下列命題：①；②是以4為周期的周期函數(shù)；③的圖像關于對稱；④.其中正確命題的序號為_________16．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點，且，若與交于點，建立如圖所示的直角坐標系.（1）求點的坐標；（2）求.18．（12分）已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像經(jīng)過點和點，且的圖像有一條對稱軸為.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.19．（12分）設函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）設函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．21．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均為正數(shù).求證：22．（10分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．再以原點為極點，以正半軸為極軸建立極坐標系，并使得它與直角坐標系有相同的長度單位．在該極坐標系中圓的方程為．（1）求圓的直角坐標方程；（2）設圓與直線交于點、，若點的坐標為，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意，分析每一個選項，首先判斷單調(diào)性，以及，再假設是“追逐函數(shù)”，利用題目已知的性質(zhì)，看是否滿足，然后確定答案.【詳解】對于①，可得，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，此時當k=100時，不存在，故①錯誤；對于②，若是在上的“追逐函數(shù)”，此時，解得，當時，，在是遞增函數(shù)，若是“追逐函數(shù)”則，即，設函數(shù)即，則存在，所以②正確；對于③，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，當k=4時，就不存在，故③錯誤；對于④，當t=m=1時，就成立，驗證如下：，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即此時取即，故存在存在，所以④正確；故選B本題主要考查了對新定義的理解、應用，函數(shù)的性質(zhì)等，易錯點是對新定義的理解不到位而不能將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關系，實際上對新定義問題的求解通常是將其與已經(jīng)學過的知識相結(jié)合或?qū)⑵浔硎鲞M行合理轉(zhuǎn)化，從而更加直觀，屬于難題.2、A【解析】

求出，（或）是否恒成立對分類討論，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出極值最小值，建立的關系式，求解即可.【詳解】.（1）當時，，所以在上單調(diào)遞減，，（舍去）.（2）當時，.①當時，，此時在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，解得（舍去）；②當時，.當時，，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以在上單調(diào)遞增，于是，解得.綜上，.故選：A本題考查函數(shù)的最值，利用導數(shù)是解題的關鍵，考查分類討論思想，如何合理確定分類標準是難點，屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可確定臨界值，從而得到大小關系.【詳解】；；且本題正確選項：本題考查利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎題.4、C【解析】

用微積分基本定理計算．【詳解】．故選：C.本題考查微積分基本定理求定積分．解題時可求出原函數(shù)，再計算．5、A【解析】

給兩邊同乘以，化簡求出，然后可得到其虛部【詳解】解：因為，所以所以，所以虛部為故選：A此題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的有關概念，屬于基礎題6、C【解析】分析：利用離散型隨機變量分布列的性質(zhì)求得到，進而得到隨機變量的均值詳解：由已知得，解得：∴E（X）=故選：C點睛：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法，考查離散型隨機變量的基本性質(zhì)，是基礎題.7、B【解析】分析：由題意可知，，然后利用二項式定理進行展開，使之與進行比較，可得結(jié)果詳解：由題可知：而則故選點睛：本題主要考查了二次項系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題目意思，將轉(zhuǎn)化為是本題關鍵，然后運用二項式定理展開求出結(jié)果8、C【解析】

根據(jù)每個路口有種行車路線，一個十字路口有個路口，利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】每個路口有種行車路線，一個十字路口有個路口，故該十字路口行車路線共有（種）故選：C本題考查了分布乘法計數(shù)原理，屬于基礎題.9、A【解析】

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程．【詳解】∵伸縮變換，∴xx′，yy′，代入曲線y＝sin2x可得y′＝3sinx′故選：A．本題考查代入法求軌跡方程，考查學生的計算能力，比較基礎．10、D【解析】

利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后可利用基本不等式求出的最小值．【詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選D.本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出定值，以及對所求代數(shù)式進行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于中等題．11、A【解析】

利用復數(shù)運算法則及虛部定義求解即可【詳解】由，得，所以虛部為.故選A本題考查復數(shù)的四則運算，復數(shù)的虛部，考查運算求解能力.12、B【解析】分析：求出硬幣完全落在托盤上硬幣圓心所在區(qū)域的面積，求出托盤面積，由測度比是面積比得答案.詳解：如圖：要使硬幣完全落在托盤上，則硬幣圓心在托盤內(nèi)以6為邊長的正方形內(nèi)，硬幣在托盤上且沒有掉下去，則硬幣圓心在托盤內(nèi)，由測度比為面積比可得，硬幣完全落在托盤上的概率為.故選B.點睛：本題考查幾何概型概率的求法，正確理解題意是關鍵，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】

根據(jù)緯度差可確定，根據(jù)扇形弧長公式可求得所求距離.【詳解】在北緯，在北緯，且均位于東經(jīng)兩點的球面距離為：本題正確結(jié)果：本題考查球面距離的求解問題，關鍵是能夠通過緯度確定扇形圓心角的大小，屬于基礎題.14、【解析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根據(jù)定積分法則計算即可．詳解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1，∴=（﹣x3+x2+x）=.故答案為.點睛：這個題目考查了積分的應用，注意積分并不等于面積，解決積分問題的常見方法有：面積法，當被積函數(shù)為正時積分和面積相等，當被積函數(shù)為負時積分等于面積的相反數(shù)；應用公式直接找原函數(shù)的方法；利用被積函數(shù)的奇偶性得結(jié)果.15、①②④【解析】

由結(jié)合題中等式可判斷命題①的正誤；根據(jù)題中等式推出來判斷出命題②的正誤；由函數(shù)為奇函數(shù)來判斷命題③的正誤；在題中等式中用替換可判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，在等式中，令可得，得，命題①正確；對于命題②，，所以，是以為周期的周期函數(shù)，命題④正確；對于命題③，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，不關于直線（即軸）對稱，命題③錯誤；對于命題④，由，可得，即，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，命題④正確.故答案為：①②④.本題考查函數(shù)的奇偶性、對稱性以及周期性的推導，求解時充分利用題中的等式以及奇偶性、對稱性以及周期性的定義式，不斷進行賦值進行推導，考查推理能力，屬于中等題。16、2；【解析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【詳解】因為，方差.本題考查平均數(shù)與方差公式的簡單應用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意寫出各點坐標，利用求得點的坐標。（2）根據(jù)求得點的坐標，再計算、，求出數(shù)量積。【詳解】建立如圖所示的坐標系，則，，，，由，所以，設，則,所以，解得，所以（2）根據(jù)題意可知，所以,所以，從而，。本題考查了平面向量的坐標運算以及數(shù)量積，屬于基礎題。18、（1），；（2）.【解析】

（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過點且f（x）的圖象有一條對稱軸為直線，可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一個周期內(nèi)的圖象經(jīng)過點，，且f（x）的圖象有一條對稱軸為直線，故最大值A＝4，且,∴，∴ω＝1．所以.因為的圖象經(jīng)過點，所以，所以，.因為，所以，所以.（2）因為，所以，，所以，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+）的性質(zhì)求解析式，通常由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出的值，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎題．19、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)題意得到，分，，三種情況討論，即可得出結(jié)果；（2）先由關于的不等式恒成立，得到恒成立，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當時，即為，當時，，解得；當時，，可得；當時，，解得，綜上，原不等式的解集為；（2）關于的不等式恒成立，即為恒成立，由，可得，解得：或.本題主要考查含絕對值不等式，通常需要用到分類討論的思想，靈活運用分類討論的思想處理，熟記絕對值不等式的性質(zhì)即可，屬于常考題型.20、(1)1(2)（，）【解析】分析：（1）先求導數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<2；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當x∈(2，2)時，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點睛：利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解.21、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）分別在、、三個范圍內(nèi)去掉絕對值符號得到不等式，解不等式求得結(jié)果；（2）將所證結(jié)論變?yōu)樽C明，利用基本不等式可證得結(jié)論.【詳解】（1）當時，，解得：當時，，無解當時，，解得：不等式的解集為：（2）均為正數(shù)要證，只需證：即證：，，三式相加可得：（當且僅當時取等號）成立本題考查絕對值不等式的求解、利用基本不等式證明不等關系的問題，考查分類討論的思想、分析法證明不等式和基本不等式的應用，屬于?？碱}型.22、（1）（2）【解析】試題分析:（1）由可將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）先將直線的參數(shù)方程代入圓C方程，再根據(jù)參數(shù)