福建省廈門市廈門一中2025屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（）A． B． C． D．2．設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖像如圖所示，則導函數(shù)的圖像可能為()A． B．C． D．3．已知，則（）A．18 B．24 C．36 D．564．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．樣本的相關系數(shù)r，越接近于1，線性相關程度越小D．命題“若，則”的逆否命題為真命題5．設離散型隨機變量的分布列如右圖，則的充要條件是（）123A．B．C．D．6．已知函數(shù)在上恒不大于0，則的最大值為（）A． B． C．0 D．17．一物體的運動方程為（為常數(shù)），則該物體在時刻的瞬時速度為（）A． B． C． D．8．設銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．9．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．10．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)為()①；②與及中至少有一個成立；③，，不能同時成立．A． B． C． D．11．設函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．12．某地區(qū)空氣質(zhì)量檢測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.9，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.75，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．把單位向量繞起點逆時針旋轉(zhuǎn)，再把模擴大為原來的3倍，得到向量，點在線段上，若，則的值為__________．14．在斜三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都為2，若，，且，則的值為________15．曲線在點處的切線方程為___________．16．在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布,已知成績在到分之間的學生有名，若該校計劃獎勵競賽成績在分以上（含分）的學生，估計獲獎的學生有________.人（填一個整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：若有，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，恒成立.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ex,g(x)＝lnx.(1)設f(x)在x1處的切線為l1,g(x)在x2處的切線為l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;(2)若方程af2(x)－f(x)－x＝0有兩個實根,求實數(shù)a的取值范圍；(3)設h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)b的取值范圍.19．（12分）在平面四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.（1）拓展到空間，寫出空間四邊形類似的命題，并加以證明；（2）在長方體中，，，，、分別為、的中點，利用上述（1）的結論求線段的長度；（3）在所有棱長均為平行六面體中，（為銳角定值），、分、所成的比為，求的長度.（用，，表示）20．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的取值范圍.21．（12分）知函數(shù)，，與在交點處的切線相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)（且）的圖象過定點P，且點P在直線（，且）上，求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求出的關系，進而得到雙曲線的離心率，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)雙曲線的漸近線方程為．根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑1，可得，整理得，即，又由，則，可得即雙曲線的離心率為．故選：B．本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程，即可得的值(范圍)．2、D【解析】

通過原函數(shù)的單調(diào)性可確定導函數(shù)的正負，結合圖象即可選出答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，單調(diào)遞減，所以時，，符合條件的只有D選項，故選D.本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的符號之間的對應關系，屬于中檔題.3、B【解析】，故，.4、D【解析】

利用四種命題之間的變換可判斷A；根據(jù)全稱命題的否定變法可判斷B；利用相關系數(shù)與相關性的關系可判斷C；利用原命題與逆否命題真假關系可判斷D.【詳解】對于A，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯誤；對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯誤；對于C，樣本的相關系數(shù)r，越接近于1，線性相關程度越大，故C錯誤；對于D，命題“若，則”為真命題，故逆否命題也為真命題，故D正確；故選：D本題考查了判斷命題的真假、全稱命題的否定、四種命題的轉(zhuǎn)化以及原命題與逆否命題真假關系、相關系數(shù)與相關性的關系，屬于基礎題.5、B【解析】

由題設及數(shù)學期望的公式可得，則的充要條件是．應選答案B．6、A【解析】

先求得函數(shù)導數(shù)，當時，利用特殊值判斷不符合題意.當時，根據(jù)的導函數(shù)求得的最大值，令這個最大值恒不大于零，化簡后通過構造函數(shù)法，利用導數(shù)研究所構造函數(shù)的單調(diào)性和零點，并由此求得的取值范圍，進而求得的最大值.【詳解】，當時，，則在上單調(diào)遞增，，所以不滿足恒成立；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又恒成立，即.設，則.因為在上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一的實數(shù)，使得，當時，；當時，，所以，解得，又，所以，故整數(shù)的最大值為.故選A.本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查構造函數(shù)法，考查零點存在性定理，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.7、B【解析】

對運動方程為求導，代入，計算得到答案.【詳解】對運動方程為求導代入故答案選B本題考查了導數(shù)的意義，意在考查學生的應用能力.8、C【解析】因為△為銳角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因為，所以，又因為，所以；由，即，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域為，故選C點睛：本題解題關鍵是利用正弦定理實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關于角的函數(shù)關系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，易錯點是限制角的取值范圍.9、B【解析】

寫出雙曲線的漸近線方程，由圓的方程得到圓心坐標與半徑，結合點到直線的距離公式與垂徑定理列式求解．【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由對稱性，不妨取，即．圓的圓心坐標為，半徑為，則圓心到漸近線的距離，，解得．故選：B．本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查直線與圓位置關系的應用，屬于中檔題．10、C【解析】

①假設等式成立，由其推出a、b、c的關系，判斷與題干是否相符；②假設其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時成立.【詳解】對①，假設（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對②，假設都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時成立，∴③不正確．

故選C．本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時運用舉例說明的方式更快捷.11、D【解析】令,則，設，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。12、A【解析】

設“某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，根據(jù)條件概率的計算公式，即可得出結果.【詳解】設“某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，由題意可得，，所以某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良的概率為.故選A本題主要考查條件概率，熟記條件概率的計算公式即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可得，與夾角為，先求得，則，再利用平面向量數(shù)量積的運算法則求解即可.【詳解】單位向量繞起點逆時針旋轉(zhuǎn)，再把模擴大為原來的3倍，得到向量，所以，與夾角為，因為，所以，所以，故答案為.本題主要考查平面向量幾何運算法則以及平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）．14、4【解析】

根據(jù)向量線性運算分別表示出,結合向量數(shù)量積運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫出空間幾何體如下圖:,,,且,且底面邊長和側(cè)棱長都為2則,所以故答案為:4本題考查了空間向量的線性運算和數(shù)量積的應用,屬于基礎題.15、【解析】

求得的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線方程．【詳解】解：的導數(shù)為，所以，即曲線在處的切線的斜率為1，即切點為，則切線方程為，即故答案為：．本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，以及方程思想和運算能力，屬于基礎題．16、20【解析】

根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)可知，，從而可確定競賽分數(shù)在到分之間的概率為，進而求得參賽學生總數(shù)；利用競賽成績在分以上所對應的概率可求得獲獎學生數(shù).【詳解】由題意可得：，若參賽學生的競賽分數(shù)記為，則參賽的學生總數(shù)為：人獲獎的學生有：人本題正確結果：本題考查正態(tài)分布的實際應用問題，關鍵是能夠利用原則確定區(qū)間所對應的概率，從而求得總數(shù)，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】

（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導函數(shù)的符號，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為：，令，，利用導數(shù)求得和，可證得，從而證得結論.【詳解】（1），①當時，時，；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當時，和時，；時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減③當時，在上恒成立在上單調(diào)遞增④當時，和時，；時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）對，恒成立即為：，等價于：令，則時，；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增令，則時，；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上可得：，即在上恒成立對，恒成立本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的求解.解決本題中的恒成立問題的關鍵是能夠?qū)⑺C不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)之間最值的比較，通過最小值與最大值的大小關系得到結論.18、(1)0.(2)0<a<1.(3)b≥ln2＋.【解析】分析：（1）求導，利用l1//l2時k值相等，即可求出答案；（2）參變分離，利用導數(shù)的應用以及數(shù)形結合即可得到答案；（3）由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求導，因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再參變分離，分析討論即可.詳解：(1)f′(x)＝ex,g′(x)＝由題意知：＝故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.(2)方程af2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝令φ(x)＝,則φ′(x)＝－當x<0時，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)單調(diào)增；當x>0時，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)單調(diào)減.從而φ(x)max＝φ(0)＝1又，當x>0時，φ(x)＝>0原方程有兩個實根等價于直線y＝a與φ(x)的圖像有兩個交點，故0<a<1.(3)由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)因為h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立即b≥lnx＋在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立令t(x)＝lnx＋,t′(x)＝－＝當ln2≤x<1時，t′(x)<0，故t(x)單調(diào)減；當1≤x≤ln3時，t′(x)>0，故t(x)單調(diào)增.下面只要比較t(ln2)與t(ln3)的大小.思路：[詳細過程略]先證明：x1+x2>2又，ln2+ln3=ln6<2故當x1=ln2時，ln3<x2即t(ln3)<t(ln2)所以t(x)max＝t(ln2)＝ln2＋所以b≥ln2＋.點睛：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；(2)可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．19、（1）命題同題干，證明見解析；（2）；（3）【解析】

（1）由條件可得，利用向量的線性運算證明即可；（2）由（1）的結論可得，兩邊同時平方計算可得結果；（3）由（1）的結論可得，兩邊同時平方計算可得結果.【詳解】（1）在空間四邊形中，、分、所成的比為，即，則有：.證明：；（2）由（1）的結論可得，，；（3）如圖：與所成的角為，又由（1）的結論可得，，.本題考查空間向量的線性運算，數(shù)量積的運算及模的運算，考查學生計算能力，是中檔題.20、（1），；（2）.【解析】分析：（1）消去參數(shù)可以求出直線的普通方程，由，，能求出曲線的直角坐標方程；（2）設動點坐標，利用點到直線距離公式和三角函數(shù)的輔助角公式，確定距離的取值范圍.詳解：解：（1）消去參數(shù)整理得，直線的普通方程為：；將，，代入曲線的極坐標方程.曲線的直角坐標方程為（2）設點，則所以的取值范圍是.分析：