第頁，共頁嘉祥教育集團(tuán)2024－2025學(xué)年高二下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．在作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)涂寫在試卷和答題卡規(guī)定的地方．考試結(jié)束，監(jiān)考人員只將答題卡收回，試卷請(qǐng)考生自己妥善保存．2．選擇題部分必須用2B鉛筆填涂；非選擇題部分必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在答題卡上各題目對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題均無效．4．保持答題卡清潔，不得折疊、污染、破損等．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知函數(shù)，則=（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，得到，結(jié)合，計(jì)算出答案.【詳解】，，，故.故選：B2.等差數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，則公差為（）A.1 B.2 C.0或1 D.0或2【答案】B【解析】【分析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，列出方程，即可求出公差.【詳解】設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列的公差為，且，因?yàn)椋?，又，則，即，解得，或（舍去）.故選：B.3.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在處的切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所?所以.所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故選：D4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，BCD錯(cuò)誤，A正確.故選：A5.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件的關(guān)系.【詳解】若的公比為，則，若時(shí)，不單調(diào)，充分性不成立；若單調(diào)遞增，則恒成立，故，必要性成立，所以“”是“單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B6.函數(shù)在區(qū)間上的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而分析最值.【詳解】因?yàn)?，，則，令，則或；令，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上最小值、最大值分別為.故選：D.7.等比數(shù)列{an}滿足a5=2，，則（）A.22 B.20 C.12 D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】等比數(shù)列{an}滿足a5=2，所以，則，所以.故選：A8.對(duì)于函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把滿足的值叫做函數(shù)的“自足點(diǎn)”.若函數(shù)的“自足點(diǎn)”分別記為，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意建立方程，直接求解可得，分別求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性后由零點(diǎn)存在性定理得出范圍，即可得解.【詳解】由，即，即，解得；由，即，即.令，恒成立，所以在單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存唯一，使得，即.，即，即.令，.令，解得或.所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在性定理可知，存在唯一，使得，即.綜上，.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．有2個(gè)正確答案的，每選對(duì)1個(gè)，得3分；有3個(gè)正確答案的，每選對(duì)1個(gè)，得2分；凡選錯(cuò)1個(gè)答案的，得0分．）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確；故選：BCD10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A.為等比數(shù)列B.C.當(dāng)最小時(shí)，D.存在數(shù)列中的三項(xiàng)成等差數(shù)列，其中m，k，p為正整數(shù)，且【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可判斷；根據(jù)為等比數(shù)列可知偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷；利用導(dǎo)數(shù)即可判斷；由等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，然后根據(jù)已知判斷該式不成立，即可判斷.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故正確；對(duì)于，因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以，令，所以，?dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，又，所以當(dāng)最小時(shí)，，故正確；對(duì)于，若成等差數(shù)列，，，則，所以，所以，等式兩邊同時(shí)除以得，所以，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，又，所以不成立，所以不存在?shù)列中的三項(xiàng)成等差數(shù)列，其中m，k，p為正整數(shù)，且，故錯(cuò)誤.故選：.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，，且對(duì)任意，則下列正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)賦值法，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性，奇、偶函數(shù)的定義、函數(shù)周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】由，令，則，因?yàn)?，所以，故A正確；令，則有①，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，，所以②，由①—②整理有，即，所以，所以是周期為3的周期函數(shù)，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；①中，令，得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋煽傻茫?，即（舍去）?所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.故答案為：13.若曲線存在過原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵存在過原點(diǎn)的切線，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：14.若為關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根，且．若，其中表示不超過x的最大整數(shù)．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】由條件可得，然后分n為偶數(shù)與n為奇數(shù)討論，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞增，所以.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，即為，當(dāng)，或時(shí)，最小，所以.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，即為，當(dāng)時(shí)，最小，所以.綜上：的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若為的前n項(xiàng)積，求的最大值（可以用指數(shù)式表示），并求出最大時(shí)的值．【答案】（1）（2）或，的最大值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)求出公比，根據(jù)求出首項(xiàng)即可；（2）討論、、即可求出.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列公比為，則，解得或，因等比數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，則，則，解得，則.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，最大，最大值為.16.已知函數(shù)，．（1）討論單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）結(jié)合題意，判斷當(dāng)和當(dāng)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，再由函數(shù)的最小值為負(fù)數(shù)可確定的取值范圍.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?令，解得，或（舍）；由解得.∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，還需滿足即，解得.17.數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）變形得到，從而是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；（2）法一：由（1）可得，再利用裂項(xiàng)求和法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法與導(dǎo)數(shù)即可得證；法二：由（1）可得，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法與導(dǎo)數(shù)即可得證.【小問1詳解】因?yàn)椋?，故，，則，，為常數(shù)，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；【小問2詳解】法一：由（1）知，，故，，令，恒成立，所以在單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，即恒成立，所以，證畢.法二：由（1）知，，故，，令，恒成立，所以在單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以，即恒成立，所以，證畢.18.已知函數(shù)，．（1）設(shè)，求函數(shù)的極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）若直線l與曲線分別相切于點(diǎn)，且．求證：．【答案】（1）極小值，無極大值（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；（2）由（1）和已知，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求出其最大值，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）先求出直線l與曲線、相切的切線方程，兩方程聯(lián)立，法一，通過代入化簡(jiǎn)變形，利用基本不等式，證得；法二，通過代入化簡(jiǎn)變形，可證得，即可證得.【小問1詳解】因?yàn)?，則，則，令，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，為；無極大值.【小問2詳解】由題意，①當(dāng)時(shí)，，所以恒成立；②當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椋礊?，此時(shí)，由（1）知在單調(diào)遞增，所以的解為，即恒成立.令，，，令，解得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為所以.【小問3詳解】直線l與曲線分別相切于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，，則直線l與曲線相切的切線方程為，即為，①直線l與曲線相切的切線方程為，即為，②聯(lián)立①、②，有法一，由③得，即，⑤將③⑤代入④，得，即，又，所以，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.法二，由③式可得，代入④式可得，，即，又，則，所以.19.歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中具有重要應(yīng)用，尤其是在公玥密碼體制如算法中扮演核心角色．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：．（1）直接寫出的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）設(shè)p，q為兩個(gè)不相等的素?cái)?shù)，，證明：①；②．【答案】（1）（2），（3）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義，結(jié)合素?cái)?shù)的性質(zhì)可得到的值；（2）由已知，求出不超過，且與不互素的數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出，利用錯(cuò)位相減法求出；（3）①由題意，求出不超過，且與p不互素的數(shù)的個(gè)數(shù)；不超過，且與q不互素的數(shù)的個(gè)數(shù)；進(jìn)而得到中重復(fù)的數(shù)的個(gè)數(shù)，即可證得；②求出不超過，且與p不互素的數(shù)的個(gè)數(shù)；不超過，且與q不互素的數(shù)的個(gè)數(shù)；進(jìn)而得到中重復(fù)的數(shù)的個(gè)數(shù)，即可證得.【小問1詳解】由已知，所有不超過正整數(shù)12，且與12互素的正整數(shù)有，共4個(gè)，所以，所有不超過正整數(shù)27，且與27互素的正整數(shù)有，共18個(gè)，所