2025年加拿大數(shù)學(xué)競賽（CMO）模擬試卷（組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階）——競賽題型剖析一、組合數(shù)學(xué)要求：考察學(xué)生對(duì)組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，包括排列組合、組合恒等式、二項(xiàng)式定理等。1.計(jì)算以下排列數(shù)：（1）從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球的排列數(shù)。（2）從7個(gè)不同的球中取出4個(gè)球的排列數(shù)。2.計(jì)算以下組合數(shù)：（1）從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球的組合數(shù)。（2）從7個(gè)不同的球中取出4個(gè)球的組合數(shù)。3.應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開以下表達(dá)式：（1）(x+y)^4（2）(x+y)^54.求證以下組合恒等式：（1）C(n,k)=C(n,n-k)（2）C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)二、數(shù)論要求：考察學(xué)生對(duì)數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，包括質(zhì)數(shù)、合數(shù)、同余、模運(yùn)算等。1.判斷以下數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)：（1）17（2）21（3）29（4）352.求以下數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：（1）12和18（2）15和203.判斷以下同余式是否成立：（1）3^2≡1(mod8)（2）2^3≡5(mod7)4.求解以下模運(yùn)算：（1）若a≡5(mod7)，求a^2≡?(mod7)（2）若a≡3(mod5)，求a^3≡?(mod5)5.求證以下定理：（1）若a和b互質(zhì)，則a^2+b^2也互質(zhì)。（2）若a和b互質(zhì)，則a和b+1也互質(zhì)。三、綜合題要求：考察學(xué)生對(duì)組合數(shù)學(xué)與數(shù)論的綜合應(yīng)用能力。1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，求集合A與B的笛卡爾積的元素個(gè)數(shù)。2.已知正整數(shù)n，求證：若n是質(zhì)數(shù)，則n^2-1是合數(shù)。3.已知兩個(gè)正整數(shù)a和b，求證：若a和b互質(zhì)，則a^2+b^2也是合數(shù)。4.已知兩個(gè)正整數(shù)a和b，求證：若a和b互質(zhì)，則a^2-b^2也是合數(shù)。5.已知一個(gè)正整數(shù)n，求證：若n是質(zhì)數(shù)，則n^2-1可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。6.已知兩個(gè)正整數(shù)a和b，求證：若a和b互質(zhì)，則a^2-b^2可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。四、數(shù)論應(yīng)用題要求：考察學(xué)生對(duì)數(shù)論知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用能力。1.證明：若p是質(zhì)數(shù)，且p>2，則p^2-1是4的倍數(shù)。2.已知正整數(shù)n，求最小的正整數(shù)m，使得n^2-1能被m整除。3.設(shè)p是奇質(zhì)數(shù)，證明：p^2-1可以被(p-1)^2整除。五、組合計(jì)數(shù)問題要求：考察學(xué)生對(duì)組合計(jì)數(shù)方法的運(yùn)用，包括遞推關(guān)系、容斥原理等。1.某班有30名學(xué)生，其中有10名男生和20名女生?，F(xiàn)在要從這個(gè)班級(jí)中選出4名學(xué)生參加比賽，要求至少有1名女生。求選出的4名學(xué)生中女生人數(shù)的分布情況。2.有5個(gè)不同的球，需要將它們放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球。求不同的放法有多少種。3.已知集合A有10個(gè)元素，集合B有8個(gè)元素，且A與B的交集有3個(gè)元素。求集合A與B的并集有多少個(gè)元素。六、數(shù)論中的最大公約數(shù)問題要求：考察學(xué)生對(duì)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的計(jì)算方法，以及其在數(shù)論中的應(yīng)用。1.求以下數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：（1）180和270（2）56和982.設(shè)a和b是兩個(gè)正整數(shù)，且a是b的倍數(shù)。證明：a和b的最大公約數(shù)是b。3.已知a和b是兩個(gè)正整數(shù)，且a和b的最大公約數(shù)是c。證明：a和b的最小公倍數(shù)是ab/c。本次試卷答案如下：一、組合數(shù)學(xué)1.計(jì)算以下排列數(shù)：（1）從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球的排列數(shù)：P(5,3)=5×4×3=60（2）從7個(gè)不同的球中取出4個(gè)球的排列數(shù)：P(7,4)=7×6×5×4=8402.計(jì)算以下組合數(shù)：（1）從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球的組合數(shù)：C(5,3)=5!/(3!×(5-3)!)=10（2）從7個(gè)不同的球中取出4個(gè)球的組合數(shù)：C(7,4)=7!/(4!×(7-4)!)=353.應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開以下表達(dá)式：（1）(x+y)^4=1x^4y^0+4x^3y^1+6x^2y^2+4x^1y^3+1x^0y^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4（2）(x+y)^5=1x^5y^0+5x^4y^1+10x^3y^2+10x^2y^3+5x^1y^4+1x^0y^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^54.求證以下組合恒等式：（1）C(n,k)=C(n,n-k)：根據(jù)組合數(shù)的定義，C(n,k)=n!/(k!×(n-k)!),C(n,n-k)=n!/((n-k)!×(n-n+k)!)=n!/(k!×(n-k)!)，因此C(n,k)=C(n,n-k)。（2）C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)：根據(jù)組合數(shù)的定義，C(n,k)=n!/(k!×(n-k)!),C(n,k-1)=n!/((k-1)!×(n-k+1)!),C(n+1,k)=(n+1)!/(k!×(n+1-k)!),將C(n,k)和C(n,k-1)相加，得到C(n,k)+C(n,k-1)=n!/(k!×(n-k)!)+n!/((k-1)!×(n-k+1)!)=(n+1)!/(k!×(n+1-k)!),因此C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)。二、數(shù)論1.判斷以下數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)：（1）17：質(zhì)數(shù)（2）21：合數(shù)，因?yàn)?1=3×7（3）29：質(zhì)數(shù)（4）35：合數(shù)，因?yàn)?5=5×72.求以下數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：（1）12和18：最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是36（2）15和20：最大公約數(shù)是5，最小公倍數(shù)是603.判斷以下同余式是否成立：（1）3^2≡1(mod8)：成立，因?yàn)?^2=9，9除以8余1（2）2^3≡5(mod7)：成立，因?yàn)?^3=8，8除以7余14.求解以下模運(yùn)算：（1）若a≡5(mod7)，求a^2≡?(mod7)：由于5^2=25，25除以7余4，所以a^2≡4(mod7)（2）若a≡3(mod5)，求a^3≡?(mod5)：由于3^3=27，27除以5余2，所以a^3≡2(mod5)5.求證以下定理：（1）若a和b互質(zhì)，則a^2+b^2也互質(zhì)：假設(shè)a和b互質(zhì)，即gcd(a,b)=1，那么gcd(a^2,b^2)=gcd(a,b)^2=1，因此a^2+b^2也互質(zhì)。（2）若a和b互質(zhì)，則a和b+1也互質(zhì)：假設(shè)a和b互質(zhì)，即gcd(a,b)=1，那么gcd(a,b+1)=gcd(a,1)=1，因此a和b+1也互質(zhì)。三、綜合題1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，求集合A與B的笛卡爾積的元素個(gè)數(shù)：A與B的笛卡爾積有5×5=25個(gè)元素。2.已知正整數(shù)n，求證：若n是質(zhì)數(shù)，則n^2-1是合數(shù)：假設(shè)n是質(zhì)數(shù)，那么n^2-1=(n+1)(n-1)，由于n是質(zhì)數(shù)，n+1和n-1不等于1，因此n^2-1是合數(shù)。3.已知兩個(gè)正整數(shù)a和b，求證：若a和b互質(zhì)，則a^2+b^2也是合數(shù)：假設(shè)a和b互質(zhì)，即gcd(a,b)=1，那么a^2+b^2不等于a和b的平方和，因此a^2+b^2也是合數(shù)。4.已知兩個(gè)正整數(shù)a和b，求證：若a和b互質(zhì)，則a^2-b^2也是合數(shù)：假設(shè)a和b互質(zhì)，即gcd(a,b)=1，那么a^2-b^2不等于a和b的平方差，因此a^2-b^2也是合數(shù)。5.已知一個(gè)正整數(shù)n，求證：若n是質(zhì)數(shù)，則n^2-1可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積：假設(shè)n是質(zhì)數(shù)，那么n^2-1=(n+1)(n-1)，由于n是質(zhì)數(shù)，n+1和n-1不等于1，因此n^2-1可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。6.已知兩個(gè)正整數(shù)a和b，求證：若a和b互質(zhì)，則a^2-b^2可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積：假設(shè)a和b互質(zhì)，即gcd(a,b)=1，那么a^2-b^2不等于a和b的平方差，因此a^2-b^2可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。四、數(shù)論應(yīng)用題1.證明：若p是質(zhì)數(shù)，且p>2，則p^2-1是4的倍數(shù)：由于p是質(zhì)數(shù)，p>2，那么p可以表示為4k+1或4k+3的形式，其中k是正整數(shù)。當(dāng)p=4k+1時(shí)，p^2-1=(4k+1)^2-1=16k^2+8k=4(4k^2+2k)，是4的倍數(shù)；當(dāng)p=4k+3時(shí)，p^2-1=(4k+3)^2-1=16k^2+24k+8=4(4k^2+6k+2)，也是4的倍數(shù)。因此，p^2-1是4的倍數(shù)。2.已知正整數(shù)n，求最小的正整數(shù)m，使得n^2-1能被m整除：由于n^2-1=(n+1)(n-1)，所以n^2-1能被n+1和n-1整除。最小的正整數(shù)m是n+1和n-1的最小公倍數(shù)。3.設(shè)p是奇質(zhì)數(shù)，證明：p^2-1可以被(p-1)^2整除：由于p是奇質(zhì)數(shù)，p-1是偶數(shù)，所以(p-1)^2是4的倍數(shù)。又因?yàn)閜^2-1=(p+1)(p-1)，所以p^2-1可以被(p-1)^2整除。五、組合計(jì)數(shù)問題1.某班有30名學(xué)生，其中有10名男生和20名女生?，F(xiàn)在要從這個(gè)班級(jí)中選出4名學(xué)生參加比賽，要求至少有1名女生。求選出的4名學(xué)生中女生人數(shù)的分布情況：女生人數(shù)可以是1、2、3或4，分別計(jì)算每種情況的組合數(shù)，然后相加得到總情況數(shù)。2.有5個(gè)不同的球，需要將它們放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球。求不同的放法有多少種：先考慮每個(gè)盒子至少放一個(gè)球的情況，即5個(gè)球分成3組，然后計(jì)算分組的不同情況數(shù)。3.已知集合A有10個(gè)元素，集合B有8個(gè)元素，且A與B的交集有3個(gè)元素。求集合A與B的并集有多少個(gè)元素：A與B的并集元素個(gè)數(shù)為A的元素個(gè)數(shù)加上B的元素個(gè)數(shù)減去A與B的交集元素個(gè)數(shù)。六、數(shù)論中的最大公約數(shù)問題1.求以下數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：（1）180和270：最大公約數(shù)是90，最小公倍數(shù)是540（2）56和98：最大公約數(shù)是14，最小公倍數(shù)是2722.設(shè)a和b是兩個(gè)正整數(shù)，且a是b的倍數(shù)。證明：a和b的最大公約數(shù)是b：由于a是b的倍數(shù)，所以gcd(