【摘要】結(jié)構(gòu)化單元視角下的備課，既需要梳理單元知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，也需要研究學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。文章以“有余數(shù)除法”教學(xué)為例，對知識(shí)點(diǎn)就一個(gè)數(shù)學(xué)教材版本展開縱向研究、結(jié)合多個(gè)數(shù)學(xué)教材版本展開橫向研究，并進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的課時(shí)教學(xué)探索?！娟P(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化教學(xué)單元視角教材研究教學(xué)設(shè)計(jì)新課標(biāo)要求設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，指出：“課程內(nèi)容組織，重點(diǎn)是對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑?！北疚囊浴坝杏鄶?shù)除法”數(shù)學(xué)為例，展開結(jié)構(gòu)化單元式教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施研究?？v向研究中打通知識(shí)脈絡(luò)，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，前后關(guān)聯(lián)中增強(qiáng)整體性；橫向研究中整體把握學(xué)生的認(rèn)知過程，融合不同版本的數(shù)學(xué)教材特點(diǎn)，促進(jìn)高效教學(xué)。一、基于單元的結(jié)構(gòu)化，整體分析解讀有余數(shù)除法屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，除法知識(shí)群中，有余數(shù)除法知識(shí)塊是表內(nèi)除法知識(shí)塊的延伸和擴(kuò)展。新課標(biāo)與之有關(guān)的學(xué)業(yè)內(nèi)容描述是：探索乘法和除法的算理與算法，會(huì)簡單的整數(shù)乘除法。多個(gè)版本教材關(guān)于有余數(shù)除法內(nèi)容包括：認(rèn)識(shí)余數(shù)，探索余數(shù)、除數(shù)關(guān)系，會(huì)列橫式和豎式，能解決實(shí)際問題，等等，均為學(xué)習(xí)多位數(shù)除法打下基礎(chǔ)，分散學(xué)習(xí)難點(diǎn)。其學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容框架大致相同。二、基于課時(shí)的結(jié)構(gòu)化，對比分析解讀余數(shù)小于除數(shù)是數(shù)學(xué)的規(guī)定，指向核心素養(yǎng)中的運(yùn)算能力，需明晰有余數(shù)除法運(yùn)算的對象和意義。（一）情境對比認(rèn)識(shí)余數(shù)意義、探索余數(shù)除數(shù)關(guān)系課時(shí)，教學(xué)內(nèi)容涉及的除法類型，除了冀教版是等分除，其余皆為包含除。各版本教材創(chuàng)設(shè)的情境，有分物、分計(jì)數(shù)模型和用小棒搭正方形。分物：分草莓、餅干、橙子、坐船，延續(xù)除法平均分內(nèi)涵；分計(jì)數(shù)模型：分小棒、分圓片，延續(xù)除法計(jì)算的工具；搭正方形二者合一，特有的4根計(jì)數(shù)模型整體組合，更易自然建立除數(shù)與余數(shù)的聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合，借形促理解余數(shù)、除數(shù)之間數(shù)的大小關(guān)系。（二）學(xué)生學(xué)習(xí)路徑和策略對比各版本學(xué)習(xí)路徑和策略對比見表1，各版本學(xué)習(xí)路徑和除法算式數(shù)量對比見表2。多樣的活動(dòng)方式有助于學(xué)生獲得不同認(rèn)知，任何一個(gè)結(jié)論都需要在觀察大量現(xiàn)象的基礎(chǔ)上獲得，小學(xué)階段基本運(yùn)用不完全歸納推理，如能通過盡可能多的例子觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納規(guī)律，思維更嚴(yán)謹(jǐn)。（三）教材引導(dǎo)思考對比觀察算式對比、發(fā)現(xiàn)、概括階段，各版教材關(guān)于余數(shù)和除數(shù)關(guān)系的提問引導(dǎo)層次有：直接告知關(guān)系（余數(shù)都比除數(shù)?。⒅敝复笮￡P(guān)系（余數(shù)、除數(shù)哪個(gè)大）、聚焦余數(shù)、除數(shù)關(guān)系（觀察除法算式中的余數(shù)和除數(shù)，說說有什么發(fā)現(xiàn)）、關(guān)注余數(shù)（余數(shù)一會(huì)兒大，一會(huì)兒小，是怎么回事）、追問原因（為什么余數(shù)都比除數(shù)?。?。提問影響學(xué)生思考的層次和深度，直接告知、直指大小關(guān)系剝奪了學(xué)生獨(dú)立思考的權(quán)利；明確指向比較余數(shù)和除數(shù)的大小，限制了學(xué)生思考方向。比較是基本思維方式，是從外圈紛繁復(fù)雜的多個(gè)元素逐步剔除非本質(zhì)因素，向內(nèi)核深入尋找相通點(diǎn)，總結(jié)本質(zhì)因素的過程。除法算式中有4個(gè)數(shù)，排除比較余數(shù)和被除數(shù)、余數(shù)和商的維度，需要結(jié)構(gòu)化教學(xué)而非散點(diǎn)化教學(xué)。三、問題引領(lǐng)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)下的結(jié)構(gòu)化課時(shí)教學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)通過知識(shí)之間的聯(lián)系將知識(shí)構(gòu)建成框架，前期教學(xué)預(yù)知后續(xù)學(xué)習(xí)問題，提前鋪墊；后續(xù)教學(xué)遷移前期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生形成較完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)中提供問題支架，以任務(wù)帶動(dòng)思考，變碎片化學(xué)習(xí)為結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。任務(wù)一：初次搭建，感受唯一情境：4根小棒搭一個(gè)正方形，13根小棒可以搭幾個(gè)正方形，還剩幾根？提問：你有幾種不同搭法？學(xué)生在展示3種可能的過程中，意識(shí)到這樣麻煩且易遺漏。數(shù)學(xué)問題描述為最多可以搭幾個(gè)正方形，還剩幾根。只有“搭3個(gè)，剩1根小棒”一種搭法。教師提醒學(xué)生如果剩下的小棒夠擺一個(gè)正方形，就繼續(xù)擺下去，直到不夠擺為止。學(xué)生在初次搭建中感受搭法的唯一性，對標(biāo)除法算式結(jié)果的唯一性，這是體會(huì)余數(shù)比除數(shù)小的第一個(gè)契機(jī)。人教版教師用書引用了姜榮富老師的文章《關(guān)注規(guī)定背后的數(shù)學(xué)意義》：在有余數(shù)除法的定義中，規(guī)定了余數(shù)要比除數(shù)小，這是保證計(jì)算結(jié)果的唯一性。蘇教版教師用書明確：本質(zhì)上余數(shù)小于除數(shù)的規(guī)律由余數(shù)除法的含義決定，是自然存在的。數(shù)學(xué)問題如改為：最多可以搭幾個(gè)正方形，即為去尾法類型。至少和最多是商和余數(shù)唯一結(jié)果的表述保障，也是研究余數(shù)、除數(shù)大小關(guān)系的前提。余數(shù)小于除數(shù)和商、余數(shù)結(jié)果唯一互相成全，彼此依存。任務(wù)二：理解意義，建立關(guān)聯(lián)順應(yīng)搭建過程，寫出算式13÷4=3（個(gè)）……1（根），理解余數(shù)及算式意義。提問：你能在搭好的圖形中找到被除數(shù)、商和余數(shù)嗎？學(xué)生在情境、圖形和算式表征中兩次尋求對應(yīng)聯(lián)系，第一次按算式各部分名稱找，第二次按分的過程找。滬教版二年級教材將被除數(shù)拆分成除數(shù)與商的積和余數(shù)兩部分，前一課“分草莓”將草莓總數(shù)拆分成已分的草莓和剩下的草莓，后一課計(jì)算用乘法口訣找商，用減法得余數(shù)。豎式作為保證計(jì)算正確的工具，是分物或分?jǐn)?shù)過程的另一種記錄形式。按分的過程找用掉的小棒數(shù)和剩下的小棒數(shù)，向后勾連教材不同課時(shí)中隱藏的關(guān)聯(lián)，為理解豎式中商、乘、減三個(gè)步驟奠定基礎(chǔ)，使學(xué)生對整個(gè)單元內(nèi)容的理解更透徹。任務(wù)三：多元表征，探索發(fā)現(xiàn)布魯納認(rèn)為，在人類的智慧生長期，有3種表征系統(tǒng)在起作用，即動(dòng)作表征、表象表征和符號表征。萊什又在其中增加了兩種表征：口頭語言表征和現(xiàn)實(shí)情境表征。有學(xué)者認(rèn)為，要想獲得真正意義上的理解，就要靈活地實(shí)現(xiàn)這5種表征方式之間的轉(zhuǎn)化。此環(huán)節(jié)要求用14～20根小棒搭正方形，填表，觀察對比。學(xué)生在畫、填表及填表后的說的過程中，將多種表征建立聯(lián)系，在相互轉(zhuǎn)換中促進(jìn)理解。北師大版教材中相關(guān)表格填寫有難度，思維能力稍弱的學(xué)生易顧此失彼，如多畫或少畫小棒根數(shù)、不確定商和余數(shù)填幾、不知道寫什么單位等。教師可將表格調(diào)整得更合理，增加13根的搭建情況，保證整節(jié)課的完整性，增加搭建結(jié)果，幫助學(xué)生確定商和余數(shù)，減少填寫數(shù)量，降低難度，縮短填寫時(shí)間，將重心放在觀察、對比和歸納總結(jié)上。具體見表3。教師在學(xué)生填表后提問：你發(fā)現(xiàn)了什么？表格可以從左往右轉(zhuǎn)換敘述，從上往下8個(gè)算式，學(xué)生察覺到余數(shù)的特點(diǎn)，余數(shù)分別是1，2，3，0，1，2，3，0。余數(shù)若是4或大于4，可以繼續(xù)搭，余數(shù)又重新變成小于4的數(shù)，余數(shù)大小和除數(shù)4存在關(guān)聯(lián)。追問：余數(shù)和商的大小有關(guān)系嗎？再追問：余數(shù)和被除數(shù)的大小有什么關(guān)系？如此，引導(dǎo)學(xué)生展開余數(shù)與商、被除數(shù)兩個(gè)維度的對比，避免后期產(chǎn)生錯(cuò)誤做法。比較余數(shù)和被除數(shù)，可以幫助學(xué)生厘清如何確定余數(shù)單位。二年級下冊要求學(xué)生填寫算式單位和答句，有關(guān)余數(shù)除法問題涉及兩個(gè)單位，兩個(gè)單位有時(shí)不一樣，這是單元教學(xué)難點(diǎn)。學(xué)生單位填寫正確率并不高，單位正確填寫歸根于對意義的理解，教師可以借助竅門幫助學(xué)生解決問題。如13根小棒可以搭幾個(gè)正方形？還剩幾根？第一問提取商的單位，第二問提取余數(shù)的單位。如問題“至少要租幾條船（進(jìn)一法），租1條船最多可以劃幾小時(shí)（去尾法）”，只能提取商的單位，無法提取余數(shù)的單位。在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中利用表格可以幫助學(xué)生理解有余數(shù)除法衍生出來的內(nèi)涵：余數(shù)是被除數(shù)的一部分。在所有小棒圖形中圈出被除數(shù)和余數(shù)，使余數(shù)是被除數(shù)一部分的關(guān)系可視化，從而讓學(xué)生順理成章明確余數(shù)和被除數(shù)單位相同，如圖2。任務(wù)四：再次驗(yàn)證，構(gòu)建模型