專題8.2立體圖形的直觀圖【五大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1斜二測畫法的辨析】 2【題型2畫平面圖形的直觀圖】 4【題型3畫空間幾何體的直觀圖】 8【題型4由直觀圖還原幾何圖形】 11【題型5平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】 13【知識點1立體圖形的直觀圖】1．空間幾何體的直觀圖(1)直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.畫立體圖形的直觀圖，實際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點的集合，用同一平面內(nèi)的點表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實形狀不完全相同.

在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

(2)斜二測畫法及其步驟

利用平行投影，人們獲得了畫直觀圖的斜二測畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點O'，且使∠x'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的規(guī)則

畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有以下規(guī)則.①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.

②已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

③連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積.(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系：=.即若記一個平面多邊形的面積為S原，由斜二測畫法得到的直觀圖的面積為S直，則有S直=S原.【題型1斜二測畫法的辨析】【例1】（2023下·高一課時練習(xí)）利用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖可能仍是正方形；④菱形的直觀圖是一定是菱形．以上結(jié)論，正確的是（

）A．①② B．① C．③④ D．①②③④【解題思路】根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的畫法規(guī)則，對各結(jié)論逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解答過程】由斜二測畫直觀圖的畫法知：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中平行于x′軸，保持長度不變；已知圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中平行于y對于①：三角形的直觀圖是三角形，①正確；對于②：平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，②正確；對于③：正方形的直觀圖是平行四邊形，③錯誤；對于④：菱形的直觀圖是平行四邊形，④錯誤；故選：A.【變式11】（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．相等的線段在直觀圖中仍然相等B．相等的角在直觀圖中不一定相等C．平行的線段在直觀圖中仍然平行D．互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的作圖規(guī)則結(jié)合反例，判斷各選項.【解答過程】如圖：四邊形OABC為正方形，由斜二測畫法可得其直觀圖如下：對于A，因為OA=OC，而O′故相等的線段在直觀圖中仍然相等這種說法錯誤，A錯誤；對于B，因為∠OAB=∠ABC，而∠故相等的角在直觀圖中不一定相等這種說法正確，B正確；對于C，由斜二測畫法性質(zhì)可得平行的線段在直觀圖中仍然平行，C正確；對于D，因為OA⊥AB，而O′所以互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直這種說法正確，D正確.故選：A.【變式12】（2023下·重慶江北·高一?？计谥校┤鐖D所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，其中A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的作圖原則即可得到答案.【解答過程】根據(jù)題意，AB⊥AC,AC=2AB，所以△ABC是直角三角形.故選：B.【變式13】（2023下·湖南·高一校聯(lián)考期中）下列關(guān)于平面圖形的直觀圖的敘述中，正確的是（

）A．等腰三角形的直觀圖仍是一個等腰三角形B．若某一平面圖形的直觀圖面積為a，則原圖形面積為2C．原圖形中相等的線段，其直觀圖也一定相等D．若三角形的周長為12，則其直觀圖的周長為6【解題思路】根據(jù)斜二測畫法相關(guān)知識可解.【解答過程】等腰三角形的直觀圖仍是一個三角形，但不一定有兩邊相等，故A，C說法錯誤；原圖形中，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，故D說法錯誤；直觀圖的面積是原面積的24故選：B.【題型2畫平面圖形的直觀圖】【例2】（2023下·高一課時練習(xí)）用斜二測畫法畫出圖中四邊形OBCD的直觀圖．【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則和步驟，將直角畫成45°，沿x′軸方向長度不變，y【解答過程】分以下三步進(jìn)行作圖：（1）過點C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示．（2）畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使在x′軸上取點B′，E′，使得O在y′軸上取一點D′，使得過E′作E′C′∥y′（3）擦去x′軸與y如圖③所示，四邊形O′【變式21】（2023·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形和正五邊形的直觀圖.【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則作圖．【解答過程】（1）用斜二測畫法畫出水平放置的等腰梯形，如下圖所示：畫出相應(yīng)的x′軸、y′軸，使過點D作DF⊥x軸，垂足為F，過點C作CE⊥x軸，垂足為E，在x′軸上取A′B過點E′作E′C′//y′軸，使E連結(jié)A′D′（2）用斜二測畫法畫出正五邊形的直觀圖，如下圖所示：連接AD交OE于F，畫出相應(yīng)的x′軸、y′軸，使在x′軸上取O′C′=OC，O′B過點F′作F′D′//x′軸，且F連結(jié)A′B′【變式22】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD是一個梯形，CD//AB，CD＝AO＝1，△AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點，試畫出梯形ABCD水平放置的直觀圖，并求直觀圖的面積．【解題思路】由斜二測畫法規(guī)則作直觀圖，在直觀圖中求得梯形的高可得面積．【解答過程】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長度都不變．如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝12OD，梯形的高D′E′＝12×22=24，于是，梯形A′B′C′D′的面積【變式23】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：(1)邊長為3cm(2)邊長為4cm(3)邊長為2cm【解題思路】（1）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點在直觀圖中對應(yīng)的頂點，連線可得直觀圖；（2）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點在直觀圖中對應(yīng)的頂點，連線可得直觀圖；（3）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確定多邊形各頂點在直觀圖中對應(yīng)的頂點，連線可得直觀圖.【解答過程】（1）解：如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊的高線AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的x′軸、y′軸，使在x′軸上截取O′B′=連接A′B′、A′C′、（2）解：如圖④所示，以AB、AD邊所在的直線分別為x軸、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的x′軸、y′軸，使在x′軸上截取A′B′=AB=4作D′C′//x則平行四邊形A′B′（3）解：如圖⑦所示，畫正八邊形OABCDEFG，以點O為坐標(biāo)原點，OA、OE所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點B、G在x軸上的射影點分別為M、N，畫對應(yīng)的x′軸、y′軸，使在x′軸上截取O′A′=OA=2在y′軸上截取O′E′=作M′B′//y′軸，且作B′C′//y′軸，且連接O′A′、A′B′、B′C′、C則八邊形O′A′【題型3畫空間幾何體的直觀圖】【例3】（2023下·高一課時練習(xí)）用斜二測畫法畫出底面為正方形的四棱臺的直觀圖，其中上、下底面邊長分別為2，3，高為2．【解題思路】先根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，畫出棱臺的上下底面，再在z軸上取一點O′，使O【解答過程】（1）畫軸．畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）畫下底面．如圖①，以O(shè)為中心，在x軸上取線段MN，使MN=3；在y軸上取線段PQ，使PQ=1.5．分別過點M和點N作y軸的平行線，分別過點P和點Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，則面ABCD即為四棱臺的下底面．（3）畫上底面．在z軸上取一點O′，使OO′=2，過點O′分別作O′x′∥（4）連線．被遮擋的線畫成虛線，擦去輔助線并整理，就得到四棱臺的直觀圖（如圖②）．【變式31】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C

【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的原則，可畫出直觀圖.【解答過程】如圖所示．

【變式32】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）畫出下列圖形的直觀圖：(1)棱長為4cm的正方體；(2)底面半徑為2cm，高為4cm的圓錐．【解題思路】根據(jù)要求用斜二測法畫出符合要求的直觀圖【解答過程】（1）如下圖所示，按如下步驟完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD的直觀圖，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四邊形ABCD的中心O，作x軸∥AB，y軸∥BD，第二步：過點O作∠xOz=90°，過點A、B、C、D分別作AA1,B第三步：去掉圖中的輔助線，就得到棱長為4的正方體的直觀圖.（2）如下圖所示，按如下步驟完成：第一步：作水平放置的圓的直觀圖⊙O′，使A′第二步：過O′作z′軸，使∠x′O′z′=90°，在z′上取點第三步：去掉圖中的輔助線，就得到所求圓錐的直觀圖.【變式33】（2023·全國·高一專題練習(xí)）畫出圖中簡單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．【解題思路】利用斜二測畫法求解.【解答過程】如圖所示：【題型4\o"由直觀圖還原幾何圖形"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj135423/_blank"由直觀圖還原幾何圖形】【例4】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）圖，某四邊形ABCD的直觀圖是正方形A′B′C′D′

A．2 B．22+23 C．4【解題思路】結(jié)合直觀圖還原出原圖，結(jié)合數(shù)據(jù)可得答案.【解答過程】因為A′1,0,結(jié)合直觀圖的特征，可得原圖如下，

因為直觀圖中B′C′=2，且B′C′與因為AC=2，所以AB=2由直觀圖的性質(zhì)可知，原圖中四邊形ABCD為平行四邊形，所以ABCD的周長等于42故選：D.【變式41】（2023下·甘肅白銀·高一?？计谥校┤鐖D，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形O′A′B′C′

A．22 B．2 C．42 【解題思路】根據(jù)給定條件，求出O′【解答過程】在直角梯形O′A′B′顯然∠A′O直角梯形O′A′

BC//OA,OC⊥OA,OA=2BC=4，OC=2O所以該平面圖形的高為42故選：C.【變式42】（2023上·高二課時練習(xí)）△ABC按斜二測畫法得到△A′B′C′，如圖所示，其中B′

A．等邊三角形 B．直角三角形C．腰和底邊不相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形【解題思路】根據(jù)直觀圖得原圖，計算可得答案.【解答過程】原△ABC如圖所示：

由斜二測畫法的規(guī)則可知，BO=CO=1，AO=3，AO⊥BC所以AB=BC=AC=2，故△ABC為等邊三角形，故選：A．【變式43】（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，A′D

A．2 B．3 C．5 D．5【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則確定原圖形，利用勾股定理求得長度．【解答過程】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，

由斜二測法則知AB=2A′B所以AC=A故選：C．【題型5平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】【例5】（2023上·四川內(nèi)江·高二校考期中）如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，O′A′

A．6 B．62 C．12 【解題思路】根據(jù)斜二測畫法畫出原圖，從而計算出原圖的面積.【解答過程】根據(jù)斜二測畫法的知識畫出原圖如下圖所示，

則原△AOB的面積為12故選：C.【變式51】（2023下·陜西商洛·高一?？计谥校┤鐖D所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A

A．12 B．122C．6 D．24【解題思路】求出直觀圖面積，根據(jù)直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系即可得答案.【解答過程】因為C′D′則∠C′O′D故矩形O′A′所以原圖形OABC的面積是S=S故選：D.【變式52】（2023下·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形A′B′C′

A．AB=2B．AC．四邊形ABCD的周長為4+2D．四邊形ABCD的面積為6【解題思路】先畫出原圖，然后根據(jù)斜二測畫法的知識確定正確答案.【解答過程】如圖過D′作DE⊥

由等腰梯形A′B′即A′還原平面圖為下圖，

即AB=4=2CD,AD=22過C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=23故四邊形A