第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年天津市小站一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=2i1+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,m)，b=(?2,3)，且a⊥b，則A.2 B.23 C.?323.如圖，已知等腰三角形O′A′B′是一個(gè)平面圖形的直觀圖，O′A′=A′B′，斜邊O′B′=2，則這個(gè)平面圖形的面積是(

)A.22B.1

C.24.已知α、β表示兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是(

)A.α⊥β，m?α，n?β?m⊥n B.α⊥β，m?α?m⊥β

C.α//β，m?α，n?β?m//n D.α⊥β，m⊥β，m?α?m//α5.已知棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該球的表面積為(

)A.π B.2π C.4π D.12π6.一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4的半圓，則該圓錐表面積為(

)A.12π B.4π C.82π7.一個(gè)人騎自行車由A地出發(fā)向正東方向騎行了2km到達(dá)B地，然后由B地向南偏東30°方向騎行了2km到達(dá)C地，再從C地向北偏東30°方向騎行了8km到達(dá)D地，則A，D兩地的距離為(

)A.219km B.53km8.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為B1CA.32 B.1010 C.9.如圖所示，在△ABC中，BD=12DC，AE=3ED，若AB=A.13a+13b

B.?110.廡殿頂是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”，如圖(1)所示.現(xiàn)有如圖(2)所示的廡殿頂式幾何體ABCDMN，其中正方形ABCD邊長為3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距離為2，則幾何體ABCDMN的體積為(

)

A.274 B.94 C.52二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1+3i2?i3=12.已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=1，且a與b的夾角為π13.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為20π，則該四棱柱的高為______．14.如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=CD=4且AB與CD所成的角為60°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則EF______．15.已知向量a，b的夾角為30°，|a|=2，|b|=3三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

設(shè)復(fù)數(shù)z=a2+a?2+(a2?7a+6)i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R．

(1)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

17.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．

(1)18.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=3acosB．

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若b=3，sinC=2sinA，求a19.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a=5，b=11，cosC=35．

(1)求c的值；

(2)求△ABC的面積；

(3)求sin20.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA1，D是BC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：A1B//平面AC1D；

(Ⅱ

參考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.A

8.B

9.B

10.D

11.1+i

12.713.314.2或215.2

16.解：(1)若z是純虛數(shù)，則a2+a?2=0a2?7a+6≠0，

解得a=?2．

(2)由題意知a2+a?2>0a2?7a+6<017.證明：(1)連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴O為BD中點(diǎn)，又E為DD1中點(diǎn)，

∴OE//BD1，又OE?平面ACE，BD1?平面ACE，

∴BD1平面ACE；

(2)在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

∵DD1平面ABCD，又AC?平面ABCD，

∴D18.解：(1)∵bsinA=3acosB，

由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcosB，

即得tanB=3，

由于：0<B<π，

∴B=π3．

(2)∵sinC=2sinA，

由正弦定理得c=2a，

由余弦定理b2=19.解：(1)在△ABC中，因?yàn)閍=5，b=11，cosC=35，

所以由余弦定理c2=a2+b2?2abcosC，

得c=52+112?2×5×11×35=45；

(2)在△ABC中，因?yàn)閍=5，b=11，cosC=35，

則C∈(0,π2)，sinC=1?cos2C=420.(Ⅰ)證明：連接A1C交AC1于點(diǎn)O，連接OD

在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=AA1，∴側(cè)面AA1C1C是正方形，

則點(diǎn)O是AC1的中點(diǎn)，

又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，故OD是△A1CB的中位線，∴OD//A1B，

又A1B?平面AC1D，OD?平面AC1D，∴A1B