2023-2024學(xué)年江蘇省南京市南師附中高二下學(xué)期5月數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，則的模為（） 0 1 【答案】【解析】解：，則的模為1.故選：2．下列命題的否定是假命題的為（）；所有可以被5整除的整數(shù)，個(gè)位數(shù)字都是0；，且；存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直．【答案】【解析】解：的否定為，恒成立，不符合題意；所有可以被5整除的整數(shù)，個(gè)位數(shù)字都是0，其否定為存在可以被5整除的整數(shù)，個(gè)位數(shù)字不都是0，還可以為5，不符合題意；，且，其否定為，且，或，不符合題意；存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直，其否定為所有四邊形，它的對(duì)角線不互相垂直，菱形的對(duì)角線互相垂直，符合題意;故選：3．已知函數(shù)在處取得極值則（）． 2 或2【答案】【解析】解：，所以，，解得或2；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故選：4．如圖，半徑為1的圓與直線相切于點(diǎn)，圓沿著直線滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓時(shí)，圓與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度為，則點(diǎn)到直線的距離為（）1 【答案】【解析】解：根據(jù)條件可知圓周長(zhǎng)為，點(diǎn)在圓上順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了，可得，所以,點(diǎn)到直線的距離為故選：5．已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前22項(xiàng)和為698889 96【答案】【解析】解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以故選：6．已知鈍角，則的值為（） 【答案】【解析】解：因?yàn)闉殁g角，所以，所以，因?yàn)椋怨蔬x：7．在正四棱錐中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)直線與直線所成的角為，二面角為，直線與平面所成的角為，這三個(gè)角的關(guān)系正確的是（） 【答案】【解答】解：如圖，取中心中點(diǎn)連接，使得,由題可知，，，，,因?yàn)?所以，因?yàn)?所以，所以故選：8．過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓于兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使得，已知線段的最小值為，則的值為（）2 4【答案】【解析】解：：圓的圓心，半徑為2，所以圓與軸相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，故，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，如圖所示：設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以，由于，故，由于，所以，故，解得．故選：二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），且，則下列結(jié)論正確的是（）的面積為定值 使得的取值范圍是的取值范圍是【答案】【解答】解：由可得，即，所以在正六邊形的對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于，因?yàn)?，即點(diǎn)到的距離為定值，所以的面積為定值，正確；對(duì)于，因?yàn)檎呅侮P(guān)于直線對(duì)稱，所以不論在何處，總有，錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大值，故的取值范圍是，正確；對(duì)于，因?yàn)檎呅芜呴L(zhǎng)為2，有最小值，錯(cuò)誤；故選：10.下列說(shuō)法中正確的是（）兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0 若隨機(jī)變量滿足，則隨機(jī)變量，且，若，則的最小值為已知一組樣本數(shù)據(jù)中關(guān)于的非線性回歸方程為，則【答案】【解析】解：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，錯(cuò)誤；若，則，正確；由題意可知，，正確；代入，解得，正確．故選：11．已知一組函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）恒成立在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【答案】【解析】解：故項(xiàng)正確；對(duì)于項(xiàng)，因?yàn)椋薯?xiàng)正確；對(duì)于項(xiàng)，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞減，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；對(duì)于項(xiàng)，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞減，當(dāng)，因此在上單調(diào)遞增，故正確．故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知?jiǎng)訄A與圓，圓均相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.【答案】；.【解析】解：由題意可知，共有兩種情況，設(shè)動(dòng)圓半徑為，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓內(nèi)切，所以所以，此時(shí)動(dòng)圓圓心的軌跡方程是動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，所以所以，此時(shí)動(dòng)圓圓心的軌跡方程是故答案為：；.13．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是____________．【答案】.【解析】解：可得，所以（舍），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入，，所以的通項(xiàng)公式是故答案為：．14．已知且，若，且，則正整數(shù)的值為______.【答案】109.【解析】解：：由，可得，結(jié)合，可得，由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知是上的增函數(shù)，所以方程在上有唯一解，考慮到與2024最接近的2的正整數(shù)次冪為，求得，由二項(xiàng)式定理得由，對(duì)任意的成立，可知隨著的增大而減小，所以由此可得，所以，即，又因?yàn)?，所以滿足的，結(jié)合，可知，所以正整數(shù)的值為109．故答案為：109．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，,分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析;（2）【解析】解：（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以平面所以，同理，所以平面所以，如圖建系，,設(shè)平面的法向量，則，取，得，由圖可知，平面的法向量為，，所以平面與平面所成二面角的正弦值16．（15分）某學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，號(hào)召全校學(xué)生參加體育鍛煉，結(jié)合每日統(tǒng)計(jì)的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)每日平均運(yùn)動(dòng)10000步或以上的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)，低于10000步稱為“參與者”，統(tǒng)計(jì)了200名學(xué)生在某月的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)達(dá)人參與者合計(jì)男生70女生80合計(jì)80200（1）完善列聯(lián)表并說(shuō)明：是否有的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)？（2）從全?！斑\(yùn)動(dòng)達(dá)人”中按性別分層抽取8人，再?gòu)?人中選取3人參加特訓(xùn)，將特訓(xùn)的人中男生人數(shù)記為，求的分布列與均值．參考公式：10.828【答案】（1）沒有的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)；（2）分布列見解析，.【解析】證明：（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；運(yùn)動(dòng)達(dá)人參與者合計(jì)男生5070120女生305080合計(jì)80120200零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”乘號(hào)與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷成立，即沒有的把握認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)；（2）選取的8人運(yùn)動(dòng)參與者中男生5人，女生3人，則服從超幾何分布，的所有可能情況為：0、1、2、3故所求分布列為：0123可得17．（15分）已知數(shù)列滿足，其中且，為常數(shù).（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下記，且數(shù)列前項(xiàng)和為，若存在，使得對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）將代入，，解得，所以，即，為等比數(shù)列，所以；（2），可得所以存在，使得，即所以的取值范圍為18．（17分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1），解得因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2），令恒成立，單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中，以（為非零的正實(shí)數(shù)）代替得到曲線的方程，則稱曲線、關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比．（1）已知曲線的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線的方程；（2）射線的方程，如果橢圓經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓、分別交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程；（3）對(duì)拋物線，作變換，得拋物線；對(duì)作變換，得拋物線；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋