14.2三角形全等的判定第十四章全等三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2基本事實(shí)“邊角邊”或“SAS”基本事實(shí)“角邊角”或“ASA”“角角邊”或“AAS”基本事實(shí)“邊邊邊”或“SSS”用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角“斜邊、直角邊”或“HL”1.基本事實(shí)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”).知識(shí)點(diǎn)基本事實(shí)“邊角邊”或“SAS”1知1－講2.書(shū)寫(xiě)格式：如圖14.2-1，在△ABC

和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，知1－講把三個(gè)條件按順序排列，并用大括號(hào)將其括起來(lái)特別解讀在書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形全等的條件“邊角邊”時(shí)，要按照“邊→角→邊”的順序來(lái)寫(xiě)，即把夾角相等寫(xiě)在中間，以突出兩邊及其夾角分別相等.知1－講注意兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.即“邊邊角”(SSA)不能作為判定兩個(gè)三角形全等的條件.如圖14.2-2，在△ABC和△ABD中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，顯然△ABC和△ABD不全等.知1－講特別提醒證明三角形全等要善于挖掘圖中隱藏的相等的邊和角，其中出現(xiàn)相等的邊的情況有：①公共邊，②線段的中點(diǎn)，③等邊加減等邊；出現(xiàn)相等的角的情況有：①公共角，②對(duì)頂角，③角平分線，④等角加減等角，⑤平行線的性質(zhì)，⑥垂直，⑦余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，⑧全等三角形的性質(zhì).知1－講[中考·云南]如圖14.2-3，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD.求證：△ABC≌△AED．例1解題秘方：根據(jù)條件找出兩個(gè)三角形中的兩條邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)“SAS”判定兩個(gè)三角形全等.知1－練

知1－練1-1.[期末·北京懷柔區(qū)]如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AC與DE相交于點(diǎn)O，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求證：△ABC≌△DEF.知1－練知1－練1.基本事實(shí)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”).知識(shí)點(diǎn)基本事實(shí)“角邊角”或“ASA”2知2－講2.書(shū)寫(xiě)格式：如圖14.2-4，在△ABC

和△A′B′C′中，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′(

ASA).知2－講特別解讀在書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形全等的條件“角邊角”時(shí),要按照“角→邊→角”的順序來(lái)寫(xiě)，即把夾邊相等寫(xiě)在中間，以突出兩角及其夾邊分別相等.知2－講[中考·樂(lè)山]如圖14.2-5，B是線段AC的中點(diǎn)，AD∥BE，BD∥CE.求證：△ABD≌△BCE．例2解題秘方：解題的關(guān)鍵是由兩組平行線得出兩組角對(duì)應(yīng)相等，構(gòu)造兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等.知2－練證明：∵B

為線段AC

的中點(diǎn)，∴

AB=BC.∵AD∥BE，BD∥CE，∴∠A=∠EBC，∠C=∠DBA.在△ABD

和△BCE

中，∴△ABD≌△BCE(ASA).∠A=∠EBC，AB=BC，∠DBA=∠C，知2－練2-1.[期中·濰坊昌邑市]如圖，AB∥FC，E是AC的中點(diǎn).知2－練(1)求證：△ADE≌△CFE；知2－練(2)若AB＝15，CF＝8，求BD的長(zhǎng).解：∵△ADE≌△CFE，∴CF＝AD.∵AB＝15，CF＝8，∴BD＝AB－AD＝AB－CF＝15－8＝7.知2－練1.定理：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”).知識(shí)點(diǎn)“角角邊”或“AAS”3知3－講2.書(shū)寫(xiě)格式：如圖14.2-6，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).知3－講3.“ASA”和“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系“S”的意義書(shū)寫(xiě)格式聯(lián)系A(chǔ)SA“S”是兩角的夾邊把夾邊相等寫(xiě)在兩角相等的中間由三角形內(nèi)角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推導(dǎo)得出AAS“S”是其中一角的對(duì)邊把兩角相等寫(xiě)在一起，邊相等放在最后知3－講特別解讀1.判定兩個(gè)三角形全等的三個(gè)條件中，“邊”是必不可少的.2.三角分別相等的兩個(gè)三角形形狀相同、大小不一定相同，因此不一定全等.知3－講如圖14.2-7，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求證：△ABC≌△AED．例3知3－練解題秘方：判定兩個(gè)三角形全等，可采用執(zhí)果索因的方法，即根據(jù)結(jié)論反推需要的條件.如本題還缺少∠BAC＝∠EAD，需利用已知條件∠1＝∠2進(jìn)行推導(dǎo).知3－練證明：∵∠1=∠2，∴∠1＋∠EAC=∠2＋∠EAC，即∠BAC=∠EAD.在△ABC和△

AED中，∠C=∠D，∠BAC=∠EAD，AB=AE，∴△ABC≌△AED(AAS).知3－練3-1.[中考·淮安]已知：如圖，點(diǎn)D

為線段BC

上一點(diǎn)，BD=AC，∠

E=∠ABC，DE∥AC．求證：DE=BC.知3－練知3－練1.已知三邊作三角形知識(shí)點(diǎn)基本事實(shí)“邊邊邊”或“SSS”4知4－講要求作法圖示用直尺和圓規(guī)作△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a①作線段BC＝a，②分別以點(diǎn)B，C為圓心，c，b的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A；③連接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形2.基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”).這個(gè)基本事實(shí)告訴我們：當(dāng)三角形的三邊確定后，其形狀、大小也隨之確定.這是說(shuō)明三角形具有穩(wěn)定性的依據(jù).知4－講3.書(shū)寫(xiě)格式：如圖14.2-8，在△ABC

和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).知4－講特別提醒在兩個(gè)三角形的六個(gè)元素(三條邊和三個(gè)角)中，由已知的三個(gè)元素可判定兩個(gè)三角形全等的組合有4個(gè)：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，不能判定兩個(gè)三角形全等的組合是“AAA”和“SSA”(“ASS”).知4－講如圖14.2-9，已知點(diǎn)A，D，B，F(xiàn)在一條直線上，AC=FE，BC＝DE，AD＝FB.求證：△ABC≌△FDE.解題秘方：緊扣“SSS”找出兩個(gè)三角形中三邊對(duì)應(yīng)相等的條件來(lái)判定兩個(gè)三角形全等.知4－練例4證明：∵AD=FB，∴AD＋DB=FB＋DB，即AB=FD.在△ABC

和△

FDE中，∴△ABC≌△FDE(SSS).AC=FE，AB=FD，BC=DE，知4－練4-1.[中考·內(nèi)江]如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.知4－練(1)求證：△ABC≌△DEF；知4－練(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度數(shù)．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝55°，∴∠FDE＝∠A＝55°.∵∠E＝45°，∴∠F＝180°－∠FDE－∠E＝180°－55°－45°＝80°.知4－練用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角已知∠AOB(如圖14.2-10①)，求作∠A′O′B

′，使∠A′O′B′＝∠AOB

，并證明.知識(shí)點(diǎn)用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角5知5－講作法：(1)以點(diǎn)O

為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB

于點(diǎn)C，D；(2)作一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC為半徑作弧，交O′A′于點(diǎn)C′；(3)以點(diǎn)C′為圓心，CD為半徑畫(huà)弧，與上一步作的弧相交于點(diǎn)D′；知5－講(4)過(guò)點(diǎn)D′作射線O′B′，則∠A′O′B′即為所求作的角(如圖14.2-10②).證明：連接CD，C′D′.由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′；由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′，∴OD=O′D′.∴△OCD≌△O′C′D′(SSS).∴∠AOB=∠A′O′B′.知5－講特別解讀作一個(gè)角等于已知角，是利用尺規(guī)作一個(gè)三角形與已知三角形全等，利用的判定方法是“SSS”，然后利用全等三角形的性質(zhì)——對(duì)應(yīng)角相等，證明作出的角等于已知角.知5－講如圖14.2-11①，過(guò)點(diǎn)C作直線DE，使DE∥AB.解題秘方：通過(guò)作一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)作已知直線的平行線.知5－練例5也可以作一對(duì)同位角相等解：作法如下：(1)過(guò)點(diǎn)C

作直線MN與AB相交，交點(diǎn)為F；(2)在直線MN

的右側(cè)作∠FCE，使∠FCE=∠AFC；(3)反向延長(zhǎng)CE，得到直線DE，直線DE即為所求(14.2-11②).知5－練5-1.[月考·西安雁塔區(qū)]如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為邊AD上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊BC上求作一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P，Q到AB的距離相等.知5－練解：如圖所示，點(diǎn)Q即為所求．知5－練如圖14.2-12，已知線段a和∠α.求作△ABC，使AB＝a，AC＝2a，∠A＝∠α.解題秘方：緊扣已知兩邊及夾角作三角形的方法，按步驟作圖即可.知5－練例6解：如圖14.2-13.(1)作∠MAN＝∠α；(2)在射線AM，AN上分別截取AB＝a，AC＝2a；(3)連接BC，則△ABC就是所求作的三角形.知5－練6-1.如圖，已知∠α和線段a，用尺規(guī)作△ABC，使∠ABC＝∠α，∠ACB＝2∠α，BC＝a.(保留作圖痕跡)知5－練解：如圖所示．1.定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”).知識(shí)點(diǎn)“斜邊、直角邊”或“HL”6知6－講2.書(shū)寫(xiě)格式：如圖14.2-14，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).知6－講3.判定兩個(gè)三角形全等常用的思路方法已知對(duì)應(yīng)相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形兩邊(SS)SSS或SAS可證第三邊對(duì)應(yīng)相等或證兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等一邊及其鄰角(SA)SAS或ASA或AAS可證已知角的另一邊對(duì)應(yīng)相等或證已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等或證已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等知6－講已知對(duì)應(yīng)相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形一邊及其對(duì)角(SA)AAS可證另一角對(duì)應(yīng)相等兩角(AA)ASA或AAS可證兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等或證一相等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等知6－講已知對(duì)應(yīng)相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件直角三角形一銳角(A)ASA或AAS可證直角與已知銳角的夾邊對(duì)應(yīng)相等或證已知銳角(或直角)的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等斜邊(H)HL或AAS可證一條直角邊對(duì)應(yīng)相等或證一銳角對(duì)應(yīng)相等一直角邊(L)HL或ASA或AAS或SAS可證斜邊對(duì)應(yīng)相等或證與已知邊相鄰的銳角對(duì)應(yīng)相等或證已知邊所對(duì)的銳角對(duì)應(yīng)相等或證另一直角邊對(duì)應(yīng)相等知6－講特別提醒1.應(yīng)用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等，在書(shū)寫(xiě)時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前一定要加上“Rt”.2.判定兩個(gè)直角三角形全等的特殊方法“HL”，只適用于直