湖北省部分省級(jí)示范高中學(xué)年下學(xué)期期中測(cè)試高二數(shù)學(xué)試卷命題人：武漢市第十二中學(xué)段玉慧審題人：武漢市第二十三中學(xué)何同?？荚嚂r(shí)間：年4月日試卷滿分：分★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可知，則.故選：D2.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.B.C.D.【答案】B第1頁(yè)/共16頁(yè)【解析】.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，因此，.故選：B.3.系統(tǒng)的登錄密碼由個(gè)字符組成，其中前位是大寫(xiě)字母、、、位是不相同的數(shù)字，則可能的密碼總數(shù)是多少（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用倍縮法可得出前個(gè)位置的排法種數(shù)，利用排列計(jì)數(shù)原理可得出后兩位的排法種數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，前個(gè)位置中有兩個(gè)位置安排字母，有種，然后從中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字排最后兩個(gè)位置，有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可能的密碼種數(shù)為.故選：C.4.函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值，即可得到結(jié)果.第2頁(yè)/共16頁(yè)【詳解】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，有極大值，即最大值，，所以.故選：A5.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則數(shù)列的前100項(xiàng)和是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可得，再利用裂項(xiàng)求和可求得結(jié)果.【詳解】由可得其導(dǎo)函數(shù)為，又，可得，所以，所以，因此數(shù)列的前100項(xiàng)和為.故選：C第3頁(yè)/共16頁(yè)6.已知，則曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合賦值法求解原函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，求出切線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，最后得到三角形面積即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得到，解得，代回原函?shù)得到，而，故切點(diǎn)為，而，，設(shè)曲線在處的切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，故切線方程為，化簡(jiǎn)得，令，得到，所以與軸交點(diǎn)為，令，得到，所以與軸交點(diǎn)為，且設(shè)三角形面積為，故，故B正確.故選：B7.已知是定義在區(qū)間結(jié)論正確的是（）第4頁(yè)/共16頁(yè)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式可構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞減即可得出結(jié)論.【詳解】由可得，令函數(shù)，可得即在上單調(diào)遞減，因此可得，即，所以.故選：B8.初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】這道題考查的是排列的應(yīng)用，首先找出小于等于的自然數(shù)的平方有哪些，再列出可由哪些平方數(shù)（不超過(guò)四個(gè)）相加而成，最后算出這些數(shù)的排列數(shù)即可.【詳解】小于等于的自然數(shù)的平方有：，而，由構(gòu)成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為：個(gè)；由構(gòu)成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為：個(gè)；第5頁(yè)/共16頁(yè)由構(gòu)成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為：個(gè)；所以一共有：個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，局部元素相同法求排列數(shù)：在對(duì)元素進(jìn)行排列時(shí)，出現(xiàn)部分元素相同時(shí)，則要除以相同元素?cái)?shù)量的全排列，以消除順序，有多少就除多少；思路點(diǎn)睛：解題時(shí)先求出可由哪些平方數(shù)（不超過(guò)四個(gè)）相加而成，再應(yīng)用排列的相關(guān)知識(shí)求排列數(shù)，最后相加即為最后的答案；關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題考查排列及排列數(shù)問(wèn)題，列出三種情況后能否求出其排列數(shù)是關(guān)鍵，故應(yīng)對(duì)局部元素相同的排列數(shù)的求法加以鞏固.二、多選題：本題共3小題，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可.【詳解】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知，A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；令，則，則，，則，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.2025年某影院在春節(jié)檔引入了5部電影，包含3部喜劇電影、2部動(dòng)畫(huà)電影．其中《哪吒之魔童鬧?！菲狈砍?50億，成為全球動(dòng)畫(huà)票房冠軍．該影院某天預(yù)留了一個(gè)影廳用于放映這5部電影，這5部電影當(dāng)?shù)?頁(yè)/共16頁(yè)天全部放映，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.《哪吒之魔童鬧?！凡慌旁诘?場(chǎng)，共有96種排法B.60種排法C.兩部動(dòng)畫(huà)片相鄰放映，共有48種排法D.3部喜劇電影不相鄰，共有24種排法【答案】ABC【解析】【分析】由特殊元素優(yōu)先法即可判斷A，由倍縮法即可判斷B，由捆綁法即可判斷C，由插空法即可判斷D.【詳解】對(duì)于A4部電影全排列，則有種排法，故A正確；對(duì)于B，5部電影全排列有種排法，因?yàn)閮刹縿?dòng)畫(huà)片放映的先后順序固定，則有種排法，故B正確；對(duì)于C，先將兩部動(dòng)畫(huà)片捆綁，再與另外三部電影全排列，則有種排法，故C正確；對(duì)于D，先排兩部動(dòng)畫(huà)片，剛好形成3個(gè)空，將三部喜劇電影插入這3個(gè)空，則有種排法；故選：ABC煙花三月，鶯飛草長(zhǎng)，美麗的櫻花開(kāi)滿園.將櫻花抽象并按照一定的規(guī)律循環(huán)出下圖：類(lèi)推.假設(shè)第n個(gè)圖的櫻花數(shù)是，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.第7頁(yè)/共16頁(yè)C.數(shù)列是遞增數(shù)列D.數(shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】BCD【解析】3項(xiàng)可判斷AB，利用作差法判斷數(shù)列單調(diào)性可判斷C；利用裂項(xiàng)相消求和可判斷D.【詳解】A，由題意可知，顯然，A錯(cuò)誤；B，由題意可得，則，也適合，故，所以，B正確；C，，則，當(dāng)時(shí)，，即，故數(shù)列是遞增數(shù)列，C正確；D，，第8頁(yè)/共16頁(yè)故數(shù)列的前n項(xiàng)和為，D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.用數(shù)字、、、、組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)______【答案】【解析】個(gè)數(shù)字中選擇法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】首位不能排，有種選擇，然后在剩余個(gè)數(shù)字中選擇個(gè)排在剩余的三個(gè)數(shù)位上，因此，滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.13.已知與分別是等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則_______．【答案】4【解析】【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，由，所以，故答案為：414.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若第9頁(yè)/共16頁(yè)，則在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______．【答案】【解析】為偶函數(shù)可得，令可得，由為偶函數(shù)可得，再由直線的點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，令，有，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，由，令得，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)學(xué)中，常用符號(hào)“”表示一系列數(shù)的連乘，求集合中元素的個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】1）當(dāng)可求出的值，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第10頁(yè)/共16頁(yè)（2）化簡(jiǎn)的表達(dá)式，然后解不等式，即可得出所求集合元素的個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，可得，則，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，整理可得且，所以，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】由題可知：所以集合故集合中元素的個(gè)數(shù)為.16.2025武漢馬拉松于3月23日鳴槍開(kāi)跑，4萬(wàn)名跑者踏上一條串聯(lián)歷史與詩(shī)意、自然與繁華的賽道，感受這座“每天不一樣”的城市的蓬勃心跳．本次賽事設(shè)置全程馬拉松、半程馬拉松和13公里跑3個(gè)項(xiàng)目，社會(huì)各界踴躍參加志愿服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙等5名大學(xué)生志愿者擬安排在三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者活動(dòng)，求（1）若將這5人分配到三個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，有多少種不同的分配方案？（2）若全程馬拉松項(xiàng)目安排3人，其余兩項(xiàng)各安排1人，且甲乙不能安排在同一項(xiàng)目，則有多少種不同的分配方案？【答案】（1）150（2）14【解析】1）按照1，1，3或1，2，2兩種方式，先分組再分配即可；（25人中選3人安排到全程馬拉松項(xiàng)目的所有情況，再計(jì)算甲乙兩人在同一個(gè)項(xiàng)目的情況，利用間接法即可.【小問(wèn)1詳解】第11頁(yè)/共16頁(yè)將5個(gè)人分成3組，且每組至少1人，有兩種分法，若為1，1，3，則有種分組方式，再將分好的組進(jìn)行分配，則不同的分配方案有共有種；若為1，2，2，則有種分組方式，再將分好的組進(jìn)行分配，則不同的分配方案有共有種，所以由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的分配方案.【小問(wèn)2詳解】先從5人中選3人安排到全程馬拉松項(xiàng)目，有種方法，然后剩下2人安排到其余兩個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目安排1人，有種，則共有種分配方案，若甲乙兩人在同一個(gè)項(xiàng)目，則甲乙只能安排到全程馬拉松項(xiàng)目，則剩下的3人每個(gè)項(xiàng)目安排1人即可，有種分配方案，最后共有種分配方案.17已知．（1）求函數(shù)極值；（2）過(guò)點(diǎn)做曲線的切線l，求切線l的方程．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，得出函數(shù)單調(diào)性即可求得極值；（2）設(shè)切點(diǎn)為，求出切線方程代入點(diǎn)可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得切線方程.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值；第12頁(yè)/共16頁(yè)當(dāng)時(shí)，令，則，則在上單調(diào)遞增；令，則，則在上單調(diào)遞減；此時(shí)的極小值為，無(wú)極大值.綜合上述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）知，則在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線方程為，①將點(diǎn)代入得解得.代回①得切線方程為.18.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若從數(shù)列中依次剔除與數(shù)列的公共項(xiàng)，剩下的項(xiàng)組成新的數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．【答案】（1），（2）4231【解析】【分析1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用降標(biāo)作差求得，再代入檢驗(yàn)即可；（2）計(jì)算以及至，即可觀察得出數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算.第13頁(yè)/共16頁(yè)【小問(wèn)1詳解】因數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，又，所以，所以等差數(shù)列的公差，則，因，則當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，即，令，得，則，滿足上式，則，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，且，經(jīng)驗(yàn)證數(shù)列前50項(xiàng)中與數(shù)列的公共項(xiàng)共有4項(xiàng)，分別為，從而數(shù)列中去掉的是這4項(xiàng)，所以.19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】1）通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，借助于導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2是1分析證明即可.第14頁(yè)/共16頁(yè)【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在