Page專(zhuān)題14圓的概念及性質(zhì)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤(pán)·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：圓的相關(guān)概念知識(shí)模塊二：圓的相關(guān)性質(zhì)03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（8大基礎(chǔ)考點(diǎn)）考點(diǎn)一：利用垂徑定理求解考點(diǎn)二：利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解考點(diǎn)三：在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)考點(diǎn)四：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)五：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解考點(diǎn)六：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明考點(diǎn)七：利用圓周角定理求解考點(diǎn)八：利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角度04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（3大重難點(diǎn)）重難點(diǎn)一：弧中點(diǎn)模型重難點(diǎn)二：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距重難點(diǎn)三：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)同弦所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)考慮不全面而漏解HYPERLINK\l"_易錯(cuò)點(diǎn)2："易錯(cuò)點(diǎn)2：對(duì)弦的位置考慮不全面而漏解知識(shí)模塊一：圓的相關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)一：圓的定義圓的定義[動(dòng)態(tài)]:如圖，在一個(gè)平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓，其中，點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.圓的定義[靜態(tài)]:圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，其中，定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.圓的表示方法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”.確定圓的兩個(gè)條件：①圓心（確定圓的位置）；②半徑（確定圓的大?。?，兩者缺一不可.知識(shí)點(diǎn)二：弦與直徑弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.知識(shí)點(diǎn)三：弧，半圓，優(yōu)弧，劣弧，等弧弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.弧用符號(hào)“”表示，以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，如右圖中的.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.知識(shí)點(diǎn)四：同圓、等圓、同心圓同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓知識(shí)點(diǎn)五：圓心角與圓周角圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.知識(shí)點(diǎn)六：弓形和扇形弓形:由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形，如圖，弦AB和組成兩個(gè)不同的弓形.扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖所示，和半徑OA，OB組成的圖形是一個(gè)扇形，讀作“扇形AOB”.知識(shí)模塊二：圓的相關(guān)性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：圓的對(duì)稱(chēng)性?xún)?nèi)容圓的軸對(duì)稱(chēng)性經(jīng)過(guò)圓心任意畫(huà)一條直線，并沿此直線將圓對(duì)折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸.圓的中心對(duì)稱(chēng)性將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是圓心.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.知識(shí)點(diǎn)二：垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.知識(shí)點(diǎn)三：弧，弦，圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.知識(shí)點(diǎn)四：圓周角定理圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.知識(shí)點(diǎn)五：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).如圖，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.如圖，∠1=∠2考點(diǎn)一：利用垂徑定理求解1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（

）A．4 B．42 C．5 D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到AE，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE=4，∴OE⊥AB，AE=1在Rt△AOE中，OA=故選：B．2．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為43，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP=5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得AD=23，由圓周角定理可得∠AOC=60°，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出⊙O【詳解】解：如圖，令OC與AB的交點(diǎn)為D，∵OC為半徑，AB為弦，且OC⊥AB，∴AD=1∵∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°，在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23∵sin∴OA=ADsin60°∵OP=5>4，∴點(diǎn)P在⊙O外，故選：C．3．（2024·新疆·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若CD=8，OD=5，則BE的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理求得DE=12DC=4，再對(duì)Rt△OED運(yùn)用勾股定理即可求【詳解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，∴DE=12DC=4∴在Rt△OED中，由勾股定理得OE=∴BE=OB?OE=5?3=2，故選：B．考點(diǎn)二：利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥【答案】(1)3(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出∠OBC=∠OCB=12180°?∠BOC，結(jié)合∠BOC=2∠BCE，可得出∠OBC+∠BCE=90°（2）法一：過(guò)O作OF⊥BD于F，利用垂徑定理等可得出BF=12BD=OE，然后利用HL定理證明Rt法二：連接AD，證明△CEO∽△ADB，得出∠COE=∠ABD，然后利用平行線的判定即可得證【詳解】（1）解∶∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=1∵∠BOC=2∠BCE，∴∠OBC=12180°?2∠BCE∴∠OEC=90°，∴OC∴OC解得OC=3，即⊙O的半徑為3；（2）證明：法一：過(guò)O作OF⊥BD于F，∴BF=1∵BD=2OE∴OE=BF，又OC=OB，∠OEC=∠BFO=90°，∴Rt△CEO≌∴∠COE=∠OBF，∴BD∥法二：連接AD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD=A∴OCAB∴△CEO∽△ADB，∴∠COE=∠ABD，∴BD∥【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東·中考真題）已知：射線OP平分∠MON,A為OP上一點(diǎn)，⊙A交射線OM于點(diǎn)B,C，交射線ON于點(diǎn)D,E，連接AB,AC,AD．

(1)如圖1，若AD∥OM，試判斷四邊形OBAD的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OM，交OP于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)D作DG⊥ON，交OP于點(diǎn)G．求證：AG=AF．【答案】(1)四邊形OBAD是菱形，理由見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥ON于F，AG⊥OM于G，先由角平分線性質(zhì)得AF=AG，再證明Rt△AFD≌Rt△AGBHL，得FD=GB，證明Rt△AFO≌Rt△AGOHL，得OF=OG，從而得出（2）連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥ON于H，作AG⊥OM于G，證明Rt△AHD≌Rt△AGBHL，得DH=BG，證明Rt△AFO≌Rt△AGOHL，得【詳解】（1）解：四邊形OBAD是菱形，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥ON于F，AG⊥OM于G，如圖1，

∵OP平分∠MON，AF⊥ON，AG⊥OM，∴AF=AG，∵AD=AB，∴Rt△AFD≌∴FD=GB，∵OA=OA，AF=AG∴Rt△AFO≌∴OF=OG，∴OF?FD=OG?GB，即OD=OB，∵OP平分∠MON，∴∠AOD=∠AOB∵AD∥OM∴∠AOB=∠OAD∴∠AOD=∠OAD∴OD=AD∴OD=AD=AB=OB，∴四邊形OBAD是菱形．（2）證明：連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥ON于H，作AG⊥OM于G，如圖2，

∵OP平分∠MON，AH⊥ON，AG⊥OM，∴AH=AG，∵AD=AB，∴Rt△AHD≌∴DH=BG，∵AH⊥ON，AG⊥OM，∴EH=DH，BG=CG，∵OA=OA，AH=AG，∴Rt△AHO≌∴OH=OG，

∴EH=CG，∴OH+EH=OG+CG，即OC=OE，∵∠EOF=∠COF，OF=OF，∴△OEF≌△OCFSAS∴∠OEF=∠OCF=90°，∴EF⊥ON，

∵DG⊥ON，AH⊥ON，∴DG∥∵DH=EH，∴AG=AF．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，菱形的判定，全等三解形的判定與性質(zhì)，垂直定理，平行線等分線段定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023·貴州·中考真題）如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EA，EB．

(1)寫(xiě)出圖中一個(gè)度數(shù)為30°的角：_______，圖中與△ACD全等的三角形是_______；(2)求證：△AED∽△CEB；(3)連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)∠1、∠2、∠3、∠4；△BCD；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)四邊形OAEB是菱形；【分析】（1）根據(jù)外接圓得到CO是∠ACB的角平分線，即可得到30°的角，根據(jù)垂徑定理得到∠ADC=∠BDC=90°，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）得到∠3=∠2，根據(jù)垂徑定理得到（3）連接OA，OB，結(jié)合∠5=∠6=60°得到△OAE，△OBE是等邊三角形，從而得到OA=OB=AE=EB=r，即可得到證明；【詳解】（1）解：∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，∴CO是∠ACB的角平分線，∠ACB=∠ABC=∠CAB=60°，∴∠1=∠2=30°，∵CE是⊙O的直徑，∴∠CAE=∠CBE=90°，∴∠3=∠4=30°，∴30°的角有：∠1、∠2、∠3、∠4，∵CO是∠ACB的角平分線，∴∠ADC=∠BDC=90°，∠5=∠6=90°?30°=60°，在△ACD與△BCD中，∵∠1=∠2CD=CD∴△ACD≌△BCD，故答案為：∠1、∠2、∠3、∠4，△BCD；（2）證明：∵∠5=∠6，∠3=∴△AED∽△CEB；（3）解：連接OA，OB，∵OA=OE=OB=r，∠5=∠6=60°，∴△OAE，△OBE是等邊三角形，∴OA=OB=AE=EB=r，∴四邊形OAEB是菱形．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，菱形判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，從而得到相應(yīng)角的等量關(guān)系．考點(diǎn)三：在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)1．（2024·廣東廣州·二模）如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=33x+233與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)【答案】2【分析】過(guò)O作OE⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=12AB，可求OA=2，OD=233，由勾股定理【詳解】解：過(guò)O作OE⊥AB于C，如圖，∵AB為弦，∴AC=BC=1∵直線y=33x+233與∴當(dāng)y=0時(shí)，33x+2∴OA=2，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2∴OD=2在Rt△AOD中，由勾股定理AD=∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，∴△OAC∽△DAO，∴ACAO=AO∴AB=2AC=23故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，直線與兩軸交點(diǎn)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)、正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．2．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M2，3為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是【答案】(4,3?【分析】如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD交BC與點(diǎn)E，結(jié)合已知條件，則可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，進(jìn)而即可求得B的坐標(biāo)．【詳解】如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD交BC與點(diǎn)E，則MD⊥x軸，∵AB為直徑，則∠ACB=90°，∴BC⊥MD，∴BC//∵M(jìn)2，3∴MB=MD=3，CE=EB=2，∴ME=MB2?EB∴DE=MD?ME=3?5∵BC//∴B(4,3?5故答案為：(4,3?5【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，Q為弦AP上一點(diǎn)，2AQ=3PQ．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,?5)，則CQ的最小值為．【答案】29【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是作出輔助圓，當(dāng)Q與Q'重合時(shí)，CQ最?。B接PO，過(guò)Q作QM∥OP，交AO于M，以M為圓心，MA為半徑作圓，連接MC交⊙M于Q'，得到AM:AO=AQ:AP，求出AM的長(zhǎng)，推出【詳解】解：連接PO，過(guò)Q作QM∥OP，交AO于M，以M為圓心，MA為半徑作圓，連接MC交⊙M于∴AM:AO=AQ:AP，∵2AQ=3PQ，∴AQ:AP=3:5，∵D的坐標(biāo)是0,?5，∴OA=OD=5，∴AM=3∵OA=OP，∴∠MAQ=∠P，∵QM∥∴∠MQA=∠P，∴∠MAQ=∠MQA，∴MQ=MA=3，∴Q在⊙M上，∴當(dāng)Q與Q'重合時(shí)，CQ∵OM=AO?AM=5?3=2，OC=5，∴MC=O∴CQ∴CQ的最小值是29?3故答案為：29?3考點(diǎn)四：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用1．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB=1寸，CD=10寸，則直徑AB長(zhǎng)為寸．【答案】26【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，設(shè)OC=OB=r寸，則OE=r?1寸，由垂徑定理得到EC=ED=5寸，再由勾股定理可得方程r【詳解】解：設(shè)OC=OB=r寸，則OE=r?1∵AB⊥CD，AB是直徑，∴EC=ED=5寸，在Rt△OCE中，由勾股定理得O∴r∴r=13，∴AB=2×13=26寸，故答案為：26．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，他設(shè)計(jì)的槳輪船在船的舷側(cè)或尾部裝有帶有槳葉的槳輪，通過(guò)人力踩動(dòng)槳輪軸來(lái)推動(dòng)船體前進(jìn)．這種船的槳輪下半部浸入水中上半部露出水面，因其推進(jìn)方式類(lèi)似車(chē)輪，故又被稱(chēng)為“槳輪船”或“輪船”．如圖，該槳輪船的輪子的橫截面為⊙O，輪子被水面截得線段AB長(zhǎng)為12m，輪子的吃水深度CD長(zhǎng)為2m，則該槳輪船輪子半徑為（A．8m B．6m C．10m【答案】C【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理可得BD=12AB=6m，設(shè)該槳輪船輪子⊙O的半徑為r，則OB=OD=r，【詳解】解：如圖所示，連接OB，題意可得CD=2m∵OC過(guò)圓心O，且OD⊥AB，∴BC=1設(shè)該槳輪船輪子⊙O的半徑為r，則OB=OD=r，OC=OD?CD=r?2，∵在Rt△OBC中，O即r?22解得r=10，∴該槳輪船輪子半徑為10m故選：C．3．（2024·河北廊坊·二模）如圖是放于水平桌面上的帶底座的魚(yú)缸，其主體部分的縱截面是弓形AMB，開(kāi)口部分AB與桌面平行，將一玻璃棒斜放進(jìn)魚(yú)缸(魚(yú)缸內(nèi)無(wú)水)，使玻璃棒底端恰在AMB的中點(diǎn)M處，發(fā)現(xiàn)AM=AB，將玻璃棒豎立起來(lái)MN⊥AB時(shí)，測(cè)得MN=37.5cm(1)求∠BAM的度數(shù)，并求的AB長(zhǎng)；(2)求AMB的長(zhǎng)；(3)若向魚(yú)缸內(nèi)加水，使水面的寬度為48cm【答案】(1)60°；25(2)100π(3)18cm或32cm【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)．充分利用已知條件是解題的關(guān)鍵．（1）連接BM，證明△ABM為等邊三角形，再用三角函數(shù)求解即可．（2）根據(jù)已知條件求出AMB所對(duì)應(yīng)的角度與所在圓的半徑，再代入弧長(zhǎng)公式即可．（3）求水深時(shí)，要考慮到圓心O與水面位置的不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論．【詳解】（1）連接BM，∵點(diǎn)M為AMB的中點(diǎn)，∴AM=∴AM=BM，又∵AM=AB，∴△ABM為等邊三角形，∴∠BAM=60°．∵M(jìn)N⊥AB，∴AM=MN∴AB=AM=253（2）如圖(1)，設(shè)點(diǎn)O為AMB所在圓的圓心，則點(diǎn)O在MN上，連接OA，則∠AON=2∠AMN=290°?∠MAN∴∠AOM=120°．∵M(jìn)N⊥AB，∴AN=NB=25∴OA=AN∴AMB的長(zhǎng)為25×240π180（3）解：設(shè)水面為DE，交MN與點(diǎn)F，則MN垂直平分DE，∴DF=1連接OD，則OD=OM=25cmOF=25如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)O在DE上方時(shí)，水深為25?7=18cm如圖(3)，當(dāng)點(diǎn)O在DE下方時(shí)，水深為25+7=32cm∴當(dāng)魚(yú)缸內(nèi)水面的寬度為48cm時(shí)，水的深度18cm或32考點(diǎn)五：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解1．（2023·湖南常德·中考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是弦AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出AB長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：s=AB+CD2OA，當(dāng)OA=2，∠AOB=90°時(shí)，【答案】0.1【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s=AB+C【詳解】∵OA=OB=2，∴AB=22∵C是弦AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB，∴延長(zhǎng)DC可得O在DC上，OC=∴CD=OD?OC=2?2∴s=AB+Cl=90×2×2π∴l(xiāng)?s=故答案為：0.1．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)，掌握垂徑定理?；￠L(zhǎng)公式是關(guān)鍵．2．（2023·河北·中考真題）如圖，點(diǎn)P1~P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P

A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)>b D．a(chǎn)，b大小無(wú)法比較【答案】A【分析】連接P1P2,P2P3，依題意得P1P2=P2P【詳解】連接P1

∵點(diǎn)P1~P8∴P1P∴P又∵△P1P四邊形P3P4∴b?a=P3=在△P1∴b?a=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對(duì)的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，利用作差比較法比較周長(zhǎng)大小是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，已知點(diǎn)A、B、C在⊙O上，C為AB的中點(diǎn)．若

A．140° B．120° C．110° D．70°【答案】A【分析】連接OC，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個(gè)角之間的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：連接OC，如圖所示：

∵點(diǎn)A、B、C在⊙O上，C∴BC∴∠BOC=∠AOC=1∵∠BAC=35°，根據(jù)圓周角定理可知∠BOC=2∠BAC=70°，∴∠AOB=2∠BOC=140°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度問(wèn)題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，AD是⊙O的直徑，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，則⊙O的直徑AD=．

【答案】4【分析】連接CD，OC，根據(jù)在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是90°可得∠ACD=90°，根據(jù)圓周角定理可得∠COD=∠COA，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得AC=CD，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接CD，OC，如圖：

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∴∠COD=∠COA，∴AC=CD，又∵AC=4，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD=故答案為：42【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是90°，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=CD．(1)求證：AC=BD；(2)連接BC，作直線EO，求證：EO⊥BC．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出AB+AD=（2）因?yàn)锳B=CD，所以AB=CD，即∠ACB=∠DBC．結(jié)合OB=OC，得出E、O都在【詳解】（1）證明：∵AB=CD，∴AB=∴AB+即BD=∴AC=BD；（2）證明：連接OB、OC，∵AB=CD，∴AB=∴∠ACB=∠DBC，∴EB=EC，∵OB=OC，∴E、O都在BC的垂直平分線上，∴EO⊥BC3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合運(yùn)用如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)B平分CAD，CA平分∠BCD．(1)求證：∠CDE=2∠ECD．(2)若cos∠CBA=12(3)求證：BC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由點(diǎn)B平分CAD，可知∠BCD=∠CDE，由CA平分∠BCD，可知∠ECD=∠BCE=1（2）結(jié)合題意可知∠CBA=60°，∠BDC=∠BCD，∠BDC=∠BCD=2∠BCA，設(shè)∠CBD=x，∠BCA=y，則∠ABD=∠ACD=y，∠BAC=∠BDC=2y，結(jié)合∠BCA+∠BAC=3y=180°?∠CBA=120°，求得y=40°，再求得∠CBD=∠CBA?∠DBA=20°，即可證明結(jié)論；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，在HC上取點(diǎn)F，使FH=AH，連接BF，則BF=BA，可知∠BCD=∠BDC=∠BAF=∠BFA，得∠FBA=∠CBD，可證△CBF≌△DBASAS，得CF=AD，可知BH2【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)B平分CAD，∴BC=BD，則∴∠BCD=∠CDE，∵CA平分∠BCD，∴∠ECD=∠BCE=1∴∠CDE=∠BCD=2∠ECD；（2）證明：∵cos∠CBA=∴∠CBA=60°，∵點(diǎn)B平分CAD，∴BC=BD，則∴∠BDC=∠BCD．∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD=12∠BCD設(shè)∠CBD=x，∠BCA=y，則∠ABD=∠ACD=y，∠BAC=∠BDC=2y，∴∠CBA=60°∴∠BCA+∠BAC=3y=180°?∠CBA=120°，則y=40°，∴∠CBD=∠CBA?∠DBA=20°．∵∠BCD=∠BDC=2y=80°，∴∠BDC=4∠CBD．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，在HC上取點(diǎn)F，使FH=AH，連接BF，則BF=BA．∴∠BAF=∠BFA．∵點(diǎn)B平分CAD，∴BC=BD，則∴∠BCD=∠BDC=∠BAF=∠BFA．∴∠FBA=∠CBD，在△CBF和△DBA中，BC=BD∴△CBF≌△DBASAS∴CF=AD．∴BH∴BC【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，銳角三角函數(shù)，弦與弧之間的關(guān)系，等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七：利用圓周角定理及推論求解1．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)．連接OB，OC，證明△AOB和△BOC都是等邊三角形，求得∠BPC=30°，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠PBC=20°，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接OB，OC，∵AD是半圓O的直徑，AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∴△AOB和△BOC都是等邊三角形，∴∠OBC=∠OBA=60°，∵BC=∴∠BPC=1∵∠PCB=130°，∴∠PBC=180°?130°?30°=20°，∴∠PBO=60°?20°=40°，∴∠PBA=40°+60°=100°，故選：B．2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于⊙O，AD和EF相交于點(diǎn)M，則∠AMF的度數(shù)為（

）A．26° B．27° C．28° D．30°【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接OC、OE、OD，設(shè)CD與EF相交于點(diǎn)N，由圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得∠COD=90°，∠COE=72°，即得∠DOE=∠COD?∠COE=18°，即可由圓周角定理得∠DCE=12∠DOE=9°，進(jìn)而由三角形內(nèi)角和定理得∠DNM=∠CNE=63°【詳解】解：連接OC、OE、OD，設(shè)CD與EF相交于點(diǎn)N，∵正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于⊙O，∴∠COD=360°÷4=90°，∠COE=360°÷5=72°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?72°=18°，∴∠DCE=1∵∠CEF=5?2∴∠CNE=180°?108°?9°=63°，∴∠DNM=∠CNE=63°，∵∠ADC=90°，∴∠DMN=90°?63°=27°，∴∠AMF=∠DMN=27°，故選：B．3．（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長(zhǎng)為（

）A．2 B．22 C．23【答案】C【分析】本題考查圓周角定理及勾股定理，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等及直徑所對(duì)圓周角是直角得到∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=90°，根據(jù)CD=2得到AC=2CD=4，最后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案【詳解】解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵AD=AD，∴∠ACD=∠ABD=60°，∴∠DAC=90°?60°=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=4故選：C．考點(diǎn)八：利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角度1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC=20°，則∠ADC的度數(shù)為（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【分析】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接AC，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB=∠BEC=20°，得到∠ABC=90°?∠BAC=70°，再由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到答案.【詳解】解：如圖，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BEC=20°，∴∠CAB=∠BEC=20°∴∠ABC=90°?∠BAC=70°∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC=180°?∠ABC=110°，故選：B2．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠AOC=128°，則∠CDE等于（

）A．64° B．60° C．54° D．52°【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍可求得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可推出∠CDE=∠ABC，即可得到答案．【詳解】解：∵∠ABC是圓周角，與圓心角∠AOC對(duì)相同的弧，且∠AOC=128°，∴∠ABC=1又∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠CDE=∠ABC=64°，故選：A．3．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)(1)求證：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)45°【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等弧所對(duì)的圓周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等邊對(duì)等角得出∠DAB=∠E，等量代換可得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．（2）連接BD，由直徑所對(duì)的圓周角等于90°得出∠ADB=90°，設(shè)∠CAD=∠DAB=α，即∠CAE=2α，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出2α+2α+90°=180°，即可得出α的值，進(jìn)一步即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵CD∴∠CAD=∠DAB，∵DE=AD，∴∠DAB=∠E，∴∠CAD=∠E，又∵∠C=∠C∴△CAD∽△CEA，（2）連接BD，如下圖：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，設(shè)∠CAD=∠DAB=α，∴∠CAE=2α，由（1）知：△CAD∽△CEA∴∠ADC=∠CAE=2α，∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠CAB+∠CDB=180°，即2α+2α+90°=180°，解得：α=22.5°∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°重難點(diǎn)一：弧中點(diǎn)模型1．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）A．33 B．32 C．3 【答案】C【分析】連接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根據(jù)垂徑定理求出AE=3，然后證明三角形OAC是等邊三角形，從而可以得到∠OAE=30°，再利用三線合一定理求解即可.【詳解】解：如圖所示，連接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中點(diǎn)，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，∵OC⊥AB,∴OC=OE=12OC=∴O∴OE=∴圓心O到弦AB的距離為3，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.2．（2020·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O經(jīng)過(guò)Rt△ACD的直角邊DC上的點(diǎn)F，交AC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是弧EB的中點(diǎn)，∠C=90°，連接AF．（1）求證：直線CD是⊙O切線．（2）若BD=2，OB=4，求tan∠AFC【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5.【分析】（1）連接OF，因?yàn)辄c(diǎn)F是弧EB的中點(diǎn)，所以可得∠CAF=∠FAB，因?yàn)镺A=OF，所以∠OFA=∠FAB，所以∠CAF=∠OFA，所以CA//OF，所以∠OFD=∠C=90°，即可得出直線（2）由（1）得CA//OF，所以ΔOFD～ΔACD，所以O(shè)DAD=OFAC，可求出AC=203，在RtΔACD，根據(jù)勾股定理可得出CD=AD2【詳解】解：如圖，連接OF，∵F是弧EB的中點(diǎn)，∴∠CAF=∠FAB，∵OA=OF，∴∠OFA=∠FAB，∴∠CAF=∠OFA，∴CA//∴∠OFD=∠C=90°，∴直線CD是⊙O切線.（2）∵AO=OB=OF=4，BD=2∴AD=10；由（1）得CA//∴ΔOFD～ΔACD，∴∴∴AC=20∵在RtΔACD中，AD=10，AC=∴CD=A∵ΔOFD～ΔACD，∴可得：610=10在RtΔACF中，可得：tan即：tan∠AFC=【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的證明，熟練掌握與圓有關(guān)的定理是做題關(guān)鍵，比如本題中看到弧相等，就要轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圓周角或者圓心角相等；當(dāng)題目中出現(xiàn)平行線，并且求線段長(zhǎng)度，可考慮利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解，結(jié)合勾股定理，注意計(jì)算不要出錯(cuò).3．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，若AB=2AC，D是弧BC的中點(diǎn)，則∠CAD的度數(shù)為（

）A．15° B．30° C．35° D．45°【答案】B【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，如圖所示，連接OC，OD，證明AC=OA=OC，得到△AOC是等邊三角形，進(jìn)而推出∠BOC=120°，再由垂徑定理得到∠COD=1【詳解】解；如圖所示，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OC=1∵AB=2AC，∴AC=OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，∵D是弧BC的中點(diǎn)，∴∠COD=1∴∠CAD=1故選：B．重難點(diǎn)二：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距1．（2024·四川遂寧·中考真題）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬AB為1米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截面的面積（

）A．16π?34 B．16【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，由垂徑定理得AD=BD=12AB=12m，由勾股定理得OD=32m，又根據(jù)圓的直徑為2【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，則AD=BD=12AB=∵圓的直徑為2米，∴OA=OB=1m∴在Rt△AOD中，OD=∵OA=OB=AB，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴淤泥橫截面的面積=S故選：A．2．（2023·寧夏·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線DC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，AE⊥DC，垂足為E．連接AC．

(1)求證：AC平分∠BAE；(2)若AC=5，tan∠ACE=34【答案】(1)見(jiàn)解析(2)⊙O的半徑為25【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥DE，證明OC∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出（2）連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于F，證明∠ACE=∠COF，根據(jù)正切的定義列式求出OF，再根據(jù)勾股定理求出OC即可．【詳解】（1）證明：連接OC，

∵直線DC是⊙O的切線，∴OC⊥DE，∵AE⊥DC，∴OC∥∴∠OCA=∠CAE，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAO，∴∠CAO=∠CAE，即AC平分∠BAE；（2）解：連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于F，則CF=1

∵∠OCE=∠OCF+∠ACE=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠ACE=∠COF，∴tan∠COF=∴CFOF∴OF=10∴OC=C即⊙O的半徑為256【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形以及勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，OA,OB,OC都是⊙O的半徑，∠ACB=2∠BAC．

(1)求證：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4,BC=5，求⊙O【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）由圓周角定理得出，∠ACB=12∠AOB,∠BAC=（2）過(guò)點(diǎn)O作半徑OD⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理得出∠DOB=12∠AOB,AE=BE，證明∠DOB=∠BOC，得出BD=BC，在Rt△BDE中根據(jù)勾股定理得出DE=BD2【詳解】（1）證明：∵AB=∴∠ACB=1∵BC=∴∠BAC=1∵∠ACB=2∠BAC，∴∠AOB=2∠BOC．（2）解：過(guò)點(diǎn)O作半徑OD⊥AB于點(diǎn)E，則∠DOB=1∵∠AOB=2∠BOC，∴∠DOB=∠BOC，∴BD=BC，∵AB=4,BC=5∴BE=2,DB=5在Rt△BDE中，∴DE=B在Rt△BOE中，∵∠OEB=90°∴OB∴OB=52，即⊙O的半徑是

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握?qǐng)A周角定理．重難點(diǎn)三：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B=25°，則∠CAD°．【答案】65【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，連接CD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠ACD=90°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠D=∠B=25°，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接CD，∵△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，∴∠ACD=90°，∵AC=AC,∴∠D=∠B=25°∴∠CAD=90°?25°=65°，故答案為：65．2．（2023·江蘇·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC=2CD，則∠BAD的度數(shù)是°．【答案】120【分析】解：如圖，連接BD，由BC是⊙O的直徑，可得∠BDC=90°，由BC=2CD，可得∠CBD=30°，∠C=60°，根據(jù)∠BAD=180°?∠C，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接BD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∵BC=2CD，∴∠CBD=30°，∴∠C=60°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD=180°?∠C=120°，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，含30°的直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC，以BC為直徑作⊙O與AC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：DF為⊙O的切線；(2)若BE=3，cosC=45【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)BF=【分析】（1）連接DO，DB，根據(jù)圓周角定理證明BD⊥AC，再根據(jù)“三線合一”證明BD平分∠BAC，即有∠ABD=∠DBC=12∠BAC，進(jìn)而可得∠BDO=∠DBA，根據(jù)DE⊥AB（2）先證明∠A=∠ACB，∠EDB=∠ACB，即有cos∠EDB=cos∠A=cos∠ACB=45，在Rt△DBE中結(jié)合勾股定理，可求出BD=5，即同理在Rt△DBE中，可得AB=253，進(jìn)而有BC=AB=【詳解】（1）連接DO，DB，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴BD⊥AC，∵在△ABC中，AB=BC，∴BD平分∠BAC，∴∠ABD=∠DBC=1∵BO=OD，∴∠BDO=∠DBC，∴∠BDO=∠DBA，∵DE⊥AB，∴∠EDB+∠DBA=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°，∴半徑OD⊥DF，∴DF為⊙O的切線；（2）∵在△ABC中，AB=BC，∴∠A=∠ACB，在（1）中，∠EDB+∠DBA=90°=∠ACB+∠DBC，∠ABD=∠DBC，∴∠EDB=∠ACB，∵cosC=∴cos∠EDB=∵在Rt△DBE中，BE=3，cos∴DE=4∴BD2=即同理在Rt△DBE中，可得AB