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/2024年6月浙江省學(xué)業(yè)水平適應(yīng)性考試高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知:1.本試題卷共4頁,滿分100分,考試時間80分鐘.2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號.3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后,只需上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1.已知,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知,,則在上的投影向量為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)的定義域為集合,值域為集合,則()A. B. C. D.4.已知為鈍角,且,,則()A. B. C. D.5.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行一場比賽,采用7局4勝制(先勝4局者勝,比賽結(jié)束).已知每局比賽甲獲勝的概率均為,則甲以4比2獲勝的概率為()A. B. C. D.6.已知向量,,且,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.7.用平面截一個球,所得的截面面積為,若到該球球心的距離為,則球的體積()A. B. C. D.8.若滿足,則的值為()A. B. C. D.9.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況,這個時間被稱做半衰期,記為(單位:天).鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì),其半衰期分別為.開始記錄時,這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的,則滿足的關(guān)系式為()A B.C. D.10.設(shè)為實數(shù),則“”是“”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.設(shè)的內(nèi)心為,而且滿足,則的值是()A. B. C. D.12.一個頂點為,底面中心為的圓錐體積為1,若正四棱錐內(nèi)接于該圓錐,平面與該圓錐底面平行,這4個點都在圓錐的側(cè)面上,則正四棱錐的體積的最大值是()A. B. C. D.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的,全部選對得4分,部分選對且沒有錯選得2分,不選、錯選得0分)13.已知冪函數(shù),其中,則下列說法正確的是()A. B.若時,C.若時,關(guān)于軸對稱 D.恒過定點14.飲料瓶的主要成分是聚對苯二甲酸乙二醇酯,簡稱“PET”.隨著垃圾分類和可持續(xù)理念的普及,飲料瓶作為可回收材料的“主力軍”之一,得以高效回收,獲得循環(huán)再生,對于可持續(xù)發(fā)展具有重要意義,上海某高中隨機(jī)調(diào)查了該校某兩個班(A班,B班)5月份每天產(chǎn)生飲料瓶的數(shù)目(單位:個),并按分組,分別得到頻率分布直方圖如下:下列說法正確的是()A.班該月平均每天產(chǎn)生的飲料瓶個數(shù)估計為41B.班5月產(chǎn)生飲料瓶數(shù)第75百分位數(shù)C.已知該校共有學(xué)生1000人,則約有150人5月份產(chǎn)生飲料瓶數(shù)在之間D.15.已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.的圖像是中心對稱圖形 B.的圖像是軸對稱圖形C.是周期函數(shù) D.存在最大值與最小值16.已知函數(shù),則關(guān)于的方程根的個數(shù)可能是()A0個 B.1個 C.2個 D.3個非選擇題部分三、填空題(本大題共4小題,每空分3分,共15分)17.已知函數(shù),則______.18.已知函數(shù)最大值為,則常數(shù)的值為______,的單調(diào)遞增區(qū)間為______.19.給定正實數(shù),對任意正實數(shù),記,則的最大值為______.20.為平面內(nèi)一定點,,,與夾角為,,,,則所圍成的面積為______.四、解答題(本大題共3小題,共33分)21.已知內(nèi)角的對邊分別為,,(1)求的取值范圍(2)求內(nèi)切圓的半徑的最大值22.如圖,四棱錐中,平面平面,,,,,,,.設(shè)中點為,過點的平面同時垂直于平面與平面.(1)求平面與平面夾角的正弦值;(2)求平面截四棱錐所得多邊形的周長.23.已知函數(shù)(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求的值;(2)當(dāng)時,(?。┖瘮?shù),(ⅱ)若關(guān)于x的方程有兩個不同的實根且.求證:.2024年6月浙江省學(xué)業(yè)水平適應(yīng)性考試高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知:1.本試題卷共4頁,滿分100分,考試時間80分鐘.2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號.3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后,只需上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1.已知,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先化簡計算,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,位于第三象限.故選:.2.已知,,則在上的投影向量為()A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將左右同時平方可求得的值,結(jié)合投影向量公式計算即可.【詳解】因為,所以,又因,所以,所以在上的投影向量為.故選:B.3.已知函數(shù)的定義域為集合,值域為集合,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先令,解出一元二次不等式,即可求出函數(shù)的定義域,從而求出函數(shù)的值域,最后求出補(bǔ)集.【詳解】由,即,解得或,所以函數(shù)的定義域為集合,則值域為集合,所以.故選:D4.已知為鈍角,且,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出,再由兩角和的余弦公式,結(jié)合角的范圍,即可求解.【詳解】由于為鈍角,且,所以,且,所以,所以,故選:D.5.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行一場比賽,采用7局4勝制(先勝4局者勝,比賽結(jié)束).已知每局比賽甲獲勝的概率均為,則甲以4比2獲勝的概率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意只需前5場甲贏3場,再利用獨立事件的乘法公式求解.【詳解】根據(jù)題意,甲運(yùn)動員前5場內(nèi)需要贏3場,第6場甲勝,則甲以4比2獲勝的概率為.故選:D.6.已知向量,,且,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量平行的條件,得,求出即可.【詳解】,則,得.故選:C.7.用平面截一個球,所得的截面面積為,若到該球球心的距離為,則球的體積()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目條件求出球半徑,再利用球的體積公式即可解答.【詳解】設(shè)截面圓半徑為,球半徑為,球心到截面的距離為.根據(jù)題意可得:,,則.所以球的半徑為,所以球的體積為.故選:C.8.若滿足,則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將兩邊底數(shù)化為同樣,得到,對應(yīng)相等,得出方程,解方程即可.【詳解】,得,得,得,求出.故選:C.9.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況,這個時間被稱做半衰期,記為(單位:天).鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì),其半衰期分別為.開始記錄時,這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的,則滿足的關(guān)系式為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)開始記錄時,甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,可得512天后甲,乙的質(zhì)量,根據(jù)題意列出等式即可得答案.【詳解】設(shè)開始記錄時,甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,則512天后甲的質(zhì)量為:,乙的質(zhì)量為:,由題意可知,,所以.故選:A.10.設(shè)為實數(shù),則“”是“”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】若,而,則,取,,此時,但,故“”是“”的充分不必要條件.故選:B.11.設(shè)的內(nèi)心為,而且滿足,則的值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】法一:將分別延長至,使,結(jié)合重心定義與面積公式可得,即可得,結(jié)合余弦定理的推論計算即可得.法二:由內(nèi)心的向量表示可得,結(jié)合余弦定理的推論計算即可得.【詳解】法一:將分別延長至,使,則有,故是的重心,則有,亦有,,,即,設(shè)的內(nèi)接圓半徑為,有、、,則有,故.故選:D.法二:由內(nèi)心的向量表示知:,則,故.故選:D.12.一個頂點為,底面中心為的圓錐體積為1,若正四棱錐內(nèi)接于該圓錐,平面與該圓錐底面平行,這4個點都在圓錐的側(cè)面上,則正四棱錐的體積的最大值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出輔助線,由三角形相似和圓錐體積得到各邊關(guān)系,進(jìn)而表達(dá)出正四棱錐的體積,令,則,,求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到極值和最值.【詳解】如圖所示,交平面于點,設(shè),,,由∽得,即,故,則,故,正方形的面積為,則正四棱錐的體積為,其中令,則,,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故在處取得極大值,也是最大值,最大值為.故選:D二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的,全部選對得4分,部分選對且沒有錯選得2分,不選、錯選得0分)13.已知冪函數(shù),其中,則下列說法正確是()A. B.若時,C.若時,關(guān)于軸對稱 D.恒過定點【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì),即可得到各選項的判斷.【詳解】對于A,因為是冪函數(shù),所以,故A是錯誤的;對于B,當(dāng)時,,根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知,此時是增函數(shù),即,故B是正確的;對于C,當(dāng)時,,滿足,所以是偶函數(shù),故C是正確的;對于D,根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知恒過定點,故D是錯誤的;故選:BC.14.飲料瓶的主要成分是聚對苯二甲酸乙二醇酯,簡稱“PET”.隨著垃圾分類和可持續(xù)理念的普及,飲料瓶作為可回收材料的“主力軍”之一,得以高效回收,獲得循環(huán)再生,對于可持續(xù)發(fā)展具有重要意義,上海某高中隨機(jī)調(diào)查了該校某兩個班(A班,B班)5月份每天產(chǎn)生飲料瓶的數(shù)目(單位:個),并按分組,分別得到頻率分布直方圖如下:下列說法正確的是()A.班該月平均每天產(chǎn)生的飲料瓶個數(shù)估計為41B.班5月產(chǎn)生飲料瓶數(shù)的第75百分位數(shù)C.已知該校共有學(xué)生1000人,則約有150人5月份產(chǎn)生飲料瓶數(shù)在之間D.【答案】AB【解析】【分析】由頻率分布直方圖的平均值、百分位數(shù)的計算公式即可得到選項.【詳解】A.平均值,故A正確.B.,解得.前4個矩形面積之和為0.7,前5個矩形面積之和為0.85,故位于中,所以,解得,故B正確.C.因為A班、B班產(chǎn)生飲料瓶數(shù)在之間的概率都是0.02,所以該校有學(xué)生1000人,則5月份產(chǎn)生飲料瓶數(shù)在之間的飲料瓶數(shù)為,故C錯誤.D.由B知,故D錯誤.故選:AB.15.已知函數(shù),則下列說法正確的是()A.的圖像是中心對稱圖形 B.的圖像是軸對稱圖形C.是周期函數(shù) D.存在最大值與最小值【答案】BCD【解析】【分析】A,B,C選項可以根據(jù)函數(shù)對稱性與周期性的定義進(jìn)行驗證.D選項需要換元,求導(dǎo)得出答案.【詳解】,對于A選項,不為常數(shù),故A錯誤.對于B選項,,則函數(shù)關(guān)于對稱.故B正確.對于C選項,,則函數(shù)周期為.故C正確.對于D選項,令由于為偶函數(shù),則只需要考慮部分即可.則.故D正確.故選:BCD.16.已知函數(shù),則關(guān)于的方程根的個數(shù)可能是()A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】ABD【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點的個數(shù),作出的圖象,分、、三種情況,結(jié)合圖象求解即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象,如圖所示:將原問題轉(zhuǎn)化為直線(過定點)與函數(shù)的圖象交點的個數(shù),由圖可知,當(dāng)時,直線與函數(shù)的圖象只有一個交點;當(dāng)時,直線與函數(shù)圖象沒有交點;當(dāng)時,直線與函數(shù)的圖象有三個交點;所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個交點.故選:ABD.非選擇題部分三、填空題(本大題共4小題,每空分3分,共15分)17.已知函數(shù),則______.【答案】【解析】【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)代入計算即可得.【詳解】由,故,則.故答案為:.18.已知函數(shù)的最大值為,則常數(shù)的值為______,的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】①.②.【解析】【分析】先化簡得,由函數(shù)最大值為,可計算,由可求得單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】,當(dāng),即時,函數(shù)有最大值為,所以,由,得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為:;19.給定正實數(shù),對任意正實數(shù),記,則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得,結(jié)合基本不等式計算即可得.【詳解】由題意可得,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,則.故答案為:.20.為平面內(nèi)一定點,,,與夾角為,,,,則所圍成的面積為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得所圍成的面積為以、為鄰邊的平行四邊形的面積,結(jié)合面積公式計算即可得.【詳解】由,,,則所圍成的面積為以、為鄰邊的平行四邊形的面積,則.故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵點在于得出所圍成的面積為以、為鄰邊的平行四邊形的面積.四、解答題(本大題共3小題,共33分)21.已知內(nèi)角的對邊分別為,,(1)求的取值范圍(2)求內(nèi)切圓的半徑的最大值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換的化簡計算可得,求得,結(jié)合正弦定理、三角恒等變換的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(2)由(1),利用余弦定理和基本不等式的應(yīng)用可得,的面積為,進(jìn)而,即可求解.【小問1詳解】因為,所以,即,得,所以或,解得或(舍去),又,所以,又,由正弦定理得,則,所以(),由知,當(dāng)時,取到最大值,又,所以;【小問2詳解】由(1),由余弦定理得,即,得,即,得,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以.的面積為,設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,則的面積為,所以,又,所以,則,即的最大值為.22.如圖,四棱錐中,平面平面,,,,,,,.設(shè)中點為,過點的平面同時垂直于平面與平面.(1)求平面與平面夾角的正弦值;(2)求平面截四棱錐所得多邊形的周長.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)利用兩個平面的法向量的夾角來求兩個平面的夾角正弦值;(2)利用作垂線,作出截面,并找到它截四棱錐的截面四邊形,再計算周長即可.【小問1詳解】延長相交于點,連接,所以平面平面.由于平面同時垂直于平面與平面,則,由,中點為,可得,又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,由,,,可知四邊形是等腰梯
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