/臺(tái)州市2023學(xué)年高二第二學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估試題數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合間的交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧?，集合，所?故選：B.2.復(fù)數(shù)及其共軛復(fù)數(shù)滿足（其中i是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等求出即可.【詳解】設(shè)，由，得，即，因此，所以.故選：D3.已知向量，，．若，則（）A.2 B.2或 C. D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示式列出方程，求解即得.【詳解】因，，則，由可得，，解得，或.故選：B.4.已知a，b為正實(shí)數(shù)，，則（）A.ab的最小值為4 B.ab的最大值為4C.ab的最小值為2 D.ab的最大值為2【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)條件等式，運(yùn)用基本不等式計(jì)算即得.【詳解】因a，b為正實(shí)數(shù)，由可得，即得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，ab的最小值為4.故選：A.5.設(shè)定義在上的函數(shù)．記，對(duì)任意的，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得對(duì)于，若能被4整除，則，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意可得，，，，，，通過以上可以看出滿足以下規(guī)律：①對(duì)于，若能被4整除，則；②對(duì)于，若除4余1，則，③對(duì)于，若除4余2，則，④對(duì)于，若除4余3，則，則故選：C6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙兩人在同一排相鄰的排法共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】C【解析】【分析】分兩種情況，甲、乙兩人站前排和甲、乙兩人站后排，先排甲、乙再排其他人，利用分類加法原理可求解.【詳解】分兩種情況，當(dāng)甲、乙兩人站前排時(shí)，有種排法，當(dāng)甲、乙兩人站后排時(shí)，先排甲、乙再排其他人，有種排法，綜上，共有種排法.故選：C7.現(xiàn)有2道單選題，假定學(xué)生張君對(duì)每道題有思路與無思路的概率均為0.5．他對(duì)題目若有思路，做對(duì)的概率為0.75；若沒有思路，做對(duì)的概率為0.25．在已知張君恰做對(duì)1題的條件下，則其恰有1題有思路的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用全概率公式求做1題且作對(duì)的概率，再結(jié)合二項(xiàng)分布概率公式，以及條件概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件為張君對(duì)1題有思路，表示張君對(duì)1題沒有思路，事件表示做對(duì)，則，所以2題恰有1題作對(duì)的概率為，則2題中作對(duì)1題，且只有1題有思路的概率，所以張君恰做對(duì)1題的條件下，則其恰有1題有思路的概率為.故選：D8.設(shè)（且），方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的三個(gè)根為，可以將上述方程變形為，展開得到，比較該方程與方程，可以得到．已知（i是虛數(shù)單位），且是的三個(gè)實(shí)根，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合復(fù)數(shù)相等得，再借助復(fù)數(shù)根的定義，結(jié)合和角的正切公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，即，而且，則，，，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知結(jié)合復(fù)數(shù)相等求得是解題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則B.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則C.當(dāng)事件A，B，C兩兩獨(dú)立時(shí)，D.當(dāng)事件A，B，C兩兩互斥時(shí)，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布得方差公式即可判斷A；根據(jù)正態(tài)分布得對(duì)稱性，從而可判斷B；根據(jù)獨(dú)立事件乘積公式結(jié)合具體事件說明即可判斷C；根據(jù)互斥事件和概率公式計(jì)算，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則對(duì)稱軸為，，所以，故B正確；對(duì)于C，三個(gè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立能推出，且，且，但是推不出，比如：從1，2，3，4中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)字，事件A：取出的數(shù)字為1或2．事件B：取出的數(shù)字為1或3，事件C：取出的數(shù)字為1或4，則為取出數(shù)字1，所以，滿足．且，且，但是推不出，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)事件A，B，C兩兩互斥時(shí)，則互斥則,D選項(xiàng)正確；故選：BD.10.關(guān)于函數(shù)的圖象的切線，下列說法正確的是（）A.在點(diǎn)處的切線方程為B.經(jīng)過點(diǎn)的切線方程為C.切線與的圖象必有兩個(gè)公共點(diǎn)D.在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷A、C、D，設(shè)切點(diǎn)為，表示出切線方程，求出，即可判斷B.【詳解】由得，對(duì)于A：由，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故A正確；對(duì)于B：設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，解得或，所以過點(diǎn)的切線方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：，則在點(diǎn)的切線方程為，則，即，因?yàn)椋瑒t，即，即，所以，又，當(dāng)時(shí)，又點(diǎn)在函數(shù)上，且與點(diǎn)相異，即過曲線上任意點(diǎn)（除原點(diǎn)外）的切線必經(jīng)過曲線上另一點(diǎn)（不是切點(diǎn)），對(duì)于切線，則切點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，所以切線與的圖象必有兩個(gè)公共點(diǎn)，故C、D正確.故選：ACD11.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a為定值．若的面積，則（）A.的最大值為B.的最小值為C.周長的最小值為D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到，，設(shè)邊上的高為，利用利用余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式和基本不等式計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng)；【詳解】，，∴，設(shè)邊上的高為，對(duì)于A，根據(jù)余弦定理，，，，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以兩邊平方可得,所以的最大值為，故A正確.對(duì)于B，,當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由A可知，所以，則的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，周長為，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，所以周長的最小值為，故C正確；對(duì)于D，兩邊同時(shí)除以，，計(jì)算可得的取值范圍是，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】解三角形中求最值方法1.邊的范圍或最值方法：根據(jù)邊角的各自特點(diǎn)，利用正（余）弦定理進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，在利用三角函數(shù)的范圍或基本不等式進(jìn)行求解；2.周長范圍或最值方法：周長問題可看作邊長問題，解決周長問題可類同求邊的范圍或最值；3.角的范圍或最值方法：可借助三角函數(shù)的有界性，或利用正（余）弦定理把三角轉(zhuǎn)化成邊，在結(jié)合不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；4.面積的范圍或最值方法：通常利用面積公式，將其轉(zhuǎn)化為同一類元素，然后三角函數(shù)的有界性或者實(shí)數(shù)的不等式求解三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）·【答案】40【解析】【分析】二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題，只需按照二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理，含有的項(xiàng)為.故答案為：40.13.已知，，，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用題設(shè)等式先求出，再由求出，繼而求得和，最后分別代入和角公式與差角公式計(jì)算即得.【詳解】由可得，兩邊分別除以的左式和右式，.因，則，故，展開得，，因，代入得，，兩式相除得，，于，，.故答案為：；.14.在正方體中，為正方形的中心，直線底面，則二面角的平面角的正弦值的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】利用空間向量方法計(jì)算該二面角的余弦值的平方，然后相應(yīng)證明，即可得到，最后給出取到等號(hào)的例子即可.【詳解】不妨設(shè)正方體的邊長為，以為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則平面即為由軸和軸確定平面，，.設(shè)與同向的一個(gè)非零向量是，是原點(diǎn)在上的投影，則由于向量與垂直且可落入平面內(nèi)，故存在實(shí)數(shù)使得，即.設(shè)和分別是與確定的平面和與確定的平面的一個(gè)法向量.則，故.解得的一個(gè)可能的取值是，.由于，故，.記二面角的值為，則.一方面，由于，故，從而.故，從而.另一方面，當(dāng)為直線時(shí)，由于垂直于平面，在平面內(nèi)，故，.所以二面角的大小等于，即.綜上，二面角的正弦值的最大值是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用空間向量方法計(jì)算二面角的余弦值，再用代數(shù)變形求正弦值的最大值.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟.15.已知函數(shù)，．給出如下三組條件：①函數(shù)的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，取到最大值；②函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；③，是方程的兩個(gè)根，的最小值為，且．從這三組條件中任選一組作為條件，完成以下問題：（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的值．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答給分．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】(1)利用周期計(jì)算，利用代點(diǎn)法計(jì)算即可;(2)代入找到角的關(guān)系即可.【小問1詳解】若選擇①：由題知，故．當(dāng)時(shí)，，，故，又，故．所以．若選擇②：由單調(diào)區(qū)間可知周期為，故，故．由題意知當(dāng)時(shí)，取最小值，即，，故，又，故．所以．若選擇③：令，即，易知，，即，又的最小值為，故．由，可知是的對(duì)稱中心，則，，故，又，故．所以．【小問2詳解】由，得．故．16.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可求得的值；（2）根據(jù)函數(shù)定義域分段討論，化簡不等式，利用不等式恒成立即得參數(shù)范圍.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，由是偶函?shù)，知其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).所以．【小問2詳解】由（1）知，，則恒成立即（*）恒成立．①當(dāng)時(shí)，（*）式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，因，故；②當(dāng)時(shí)，（*）式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，因，故．綜上可得，b的取值范圍是．17.如圖，在直三棱柱中，，，．D，E分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上．（1）若，求證：平面；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）先證明得A，F(xiàn)，三點(diǎn)共線，再證即得；（2）過點(diǎn)B作,證平面，可得就是直線與平面所成的角，利用體積求出點(diǎn)F到平面的距離，證，繼而求出即得.【小問1詳解】連接,在直三棱柱中，，所以．又因，，所以，故，即A，F(xiàn)，三點(diǎn)共線．因點(diǎn)D，E分別是棱、的中點(diǎn)，故，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)H，連接FH，F(xiàn)B．在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，，所以平面．故是斜線在平面上的射影，所以就是直線與平面所成的角．記點(diǎn)F到平面的距離為，，得．因故得F為的中點(diǎn)，即．在中，因,則,于是，，，．求得，故．所以直線與平面所成角的正切值為．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，利用其單調(diào)性可證得結(jié)論；（3）設(shè)，令，則轉(zhuǎn)化為既有極大值又有極小值，則，令，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分，，，四種情況討論即可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得；令，解得或，故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋坏仁骄褪遣坏仁剑?），當(dāng)時(shí)，（*）式等價(jià)于；當(dāng)時(shí)，（*）式等價(jià)于．設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即．所以原式成立．【小問3詳解】設(shè)，令，既有極大值又有極小值等價(jià)于既有極大值又有極小值．，記．，①當(dāng)時(shí)，有，則在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故在上沒有零點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，不合題意；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且有，，，（這里用不等式：當(dāng)時(shí)，）．下面證明當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象分別在區(qū)間，上連續(xù)，所以函數(shù)在，內(nèi)各有1個(gè)零點(diǎn)，分別記為和，故、分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)．即既有極大值又有極小值．綜上，當(dāng)時(shí)，既有極大值又有極小值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問題，第（3）問解題的關(guān)鍵是換元后將問題轉(zhuǎn)化為既有極大值又有極小值，然后兩次求導(dǎo)后分情況討論，考查計(jì)算能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想及分類討論思想，屬于難題.19.在做拋擲質(zhì)地均勻硬幣的試驗(yàn)過程中，將正面朝上記作1，反面朝上記作0，記錄結(jié)果得到一串由0和1構(gòu)成的序列.在序列中規(guī)定：僅有數(shù)字0相連的排列稱為由0構(gòu)成的游程；僅有數(shù)字1相連的排列稱為由1構(gòu)成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13個(gè)游程，其中由0構(gòu)成的游程有7個(gè)，分別是000，0，0000，0，00，00，000；由1構(gòu)成的游程有6個(gè)，分別是11111，1，11，111，1，11.（1）由2個(gè)0和3個(gè)1隨機(jī)構(gòu)成的序列中，求游程個(gè)數(shù)的分布列與期望；（2）由m個(gè)0和n個(gè)1隨機(jī)構(gòu)成的序列，記作.記事件，，，3，…，.（i）求，；（ii）求游程個(gè)數(shù)的期望.【答案】（1）分布列見解析，（2）（i），；（ii）．【解析】【分析】（1）由已知，分別求出，，，，即可列出分布列，求出期望；（2）（i）由古典概型可得，；（ii）由（i）可知，，3，…，，設(shè)設(shè)1游程個(gè)數(shù)為Y，設(shè)0游程個(gè)數(shù)為Z，則由期望的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，類似可得，則得兩類游程數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為.【小問1詳解】設(shè)X表示游程的個(gè)數(shù)，則，由2個(gè)0和3個(gè)1在排列時(shí)，