安徽省懷寧縣2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意可得，則.故選：B.2.已知，若向量，則向量與向量夾角為銳角的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)古典概型列出向量的所有可能，由與的夾角為銳角找出所有符合題意的向量，即可求得其概率.【詳解】向量與向量夾角為銳角等價(jià)于且與不同向，即，且；易知共有16個(gè)，分別是，，滿(mǎn)足條件的為共4個(gè)，故所求的概率為，故選：B．3.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值.【詳解】根據(jù)題意，，而.故選：D4.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，平面，，，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】一條棱垂直底面的三棱錐和與其同底等高的三棱柱的外接球是同一個(gè)，再結(jié)合正弦定理求出底面三角形外接圓半徑，最后即可求出外接球半徑（其中為三棱柱垂直底面的棱長(zhǎng)），再結(jié)合球的表面積公式,即可求解．【詳解】解：如圖所示，三棱錐的外接球就是三棱柱的外接球，∵三棱錐的體積為，∴由正弦定理得：外接圓的直徑∴三棱錐的外接球的半徑∴球O的表面積為，故選B.本題考查三棱錐的外接球表面積，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在上沒(méi)有最小值，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，再結(jié)合最小值點(diǎn)即可求解.【詳解】，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，故，即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，因?yàn)樵谏蠜](méi)有最小值，所以，即，由解得，故，得.故選：B6.設(shè)，，，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，且，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又由，故，即.選選：C.7.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由題知有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以的極小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以，得，故選：B8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，過(guò)M作橢圓的切線(xiàn)，若切線(xiàn)與直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，則C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意可得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得切線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率，列式求解即可.【詳解】由題意可知：，令代入橢圓方程可得，不妨設(shè)，則切線(xiàn)，即，可知直線(xiàn)的斜率，切線(xiàn)的斜率，由題意可知：，即.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由根據(jù)題意可得切線(xiàn)，即可得切線(xiàn)斜率.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.將一枚質(zhì)地均勻的骰子隨機(jī)拋擲兩次，甲表示事件“第一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，乙表示事件“第二次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，丙表示“兩次點(diǎn)數(shù)相同”，丁表示“兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件相互獨(dú)立的有（）A.甲與丙 B.乙與丙 C.乙與丁 D.丙與丁【正確答案】ABC【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義來(lái)判斷各選項(xiàng)中的兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立.分別求出各事件發(fā)生的概率以及它們同時(shí)發(fā)生的概率，然后進(jìn)行比較.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，每次都有種不同的結(jié)果.

事件甲：第一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，即第一次擲出、、，共種情況，所以.事件乙：第二次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，即第二次擲出、、，共種情況，所以.

事件丙：兩次點(diǎn)數(shù)相同，即、、、、、，共種情況，所以.事件?。簝纱吸c(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，可分為“兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”和“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”.“兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”有種情況，“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”也有種情況，所以.甲與丙：甲與丙同時(shí)發(fā)生，即第一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)相同，有、、，共種情況，所以.而，即，所以甲與丙相互獨(dú)立.

乙與丙：乙與丙同時(shí)發(fā)生，即第二次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)相同，有、、，共種情況，所以.而，即，所以乙與丙相互獨(dú)立.

乙與丁：乙與丁同時(shí)發(fā)生，即第二次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，也就第一次點(diǎn)數(shù)也為偶數(shù)，有種情況，所以.而，即，所以乙與丁相互獨(dú)立.

丙與?。罕c丁同時(shí)發(fā)生，即兩次點(diǎn)數(shù)相同且兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，也就是兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)或均為奇數(shù)，有、、、、、，共種情況，所以而，即，所以丙與丁不相互獨(dú)立.

甲與丙、乙與丙、乙與丁相互獨(dú)立.故選：ABC.10.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)相交于點(diǎn)E，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.面積的最大值為2C.點(diǎn)E在一條定直線(xiàn)上D.設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，為定值【正確答案】CD【分析】由焦點(diǎn)為可得拋物線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，可得關(guān)于的一元二次方程，即可得與有關(guān)韋達(dá)定理，對(duì)A：利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得；對(duì)B：利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式及面積公式計(jì)算即可得；對(duì)C：借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得與的方程，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；對(duì)D：由，故可得.【詳解】由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，故，即，由題意可知，直線(xiàn)斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立，有，，，，對(duì)A：，當(dāng)時(shí)，即有，故，即，即或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由，，即，有，故，又，故，同理可得，設(shè)點(diǎn)，則有，有，，由，，故，，故點(diǎn)E在一條定直線(xiàn)上且該直線(xiàn)為，故C正確；對(duì)D：由，，則，故有，即，故為定值且該定值為，故D正確.故選：CD.方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.11.已知，都是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且，則下列結(jié)論正確的是A. B.C.為奇函數(shù) D.【正確答案】ABC【分析】令即可判斷A；令即可判斷B；令可得，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可判斷C；由選項(xiàng)C，令可得，求出的周期即可求解.詳解】.A：令，得，則，故A正確；B：令，得，即，又且，所以，解得，故B正確；C：令，得，即，得，所以，得，所以，則為奇函數(shù)，故C正確；D：由選項(xiàng)C知，又，得①，令替換成，得②，①②相加，得，則，得，即的周期為3，所以，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC思路點(diǎn)睛：對(duì)于含有，的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點(diǎn)，以及利用證明了的條件或者選項(xiàng)；抽象函數(shù)一般通過(guò)賦值法來(lái)確定、判斷某些關(guān)系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個(gè)或多個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系.此過(guò)程中的難點(diǎn)是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項(xiàng)來(lái)決定.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，由求解.【詳解】解：由題意得，由，聯(lián)立解得，所以，故13.若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可分別用和表示出切線(xiàn)方程，根據(jù)切線(xiàn)方程相同可構(gòu)造方程組，化簡(jiǎn)得到，代入所求式子整理即可.【詳解】，∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，∴切線(xiàn)方程為，或，，即，，易知，，.故答案為.思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)中的公切線(xiàn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義分別表示出兩函數(shù)切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，由兩方程形式一致可構(gòu)造方程組來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題.14.如圖，一點(diǎn)從正方形的頂點(diǎn)處出發(fā)在各頂點(diǎn)間移動(dòng)，每次移動(dòng)要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移動(dòng)一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移動(dòng)一步．設(shè)移動(dòng)（）步后回到點(diǎn)的概率為，到達(dá)點(diǎn)的概率為，=__________．【正確答案】##【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求出，，再由、，即可得到是以為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，，又，，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在平面凸四邊形中，.（1）求；（2）若，，求.【正確答案】（1）（2）4【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及兩角和的正弦公式計(jì)算可得，再由三角形內(nèi)角的范圍可求出結(jié)果；（2）利用正弦定理以及三角形內(nèi)角的關(guān)系，結(jié)合余弦定理計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由得，故，所以．因?yàn)椋?，由三角形?nèi)角范圍所以；小問(wèn)2詳解】由，，故為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在中，，由正弦定理得，故，由于，所以，故，在中，由余弦定理得，即，得.16.已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元，前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬(wàn)元，第4次賠付0.6萬(wàn)元．賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）（i）毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤(rùn)為，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ii）若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降，已賠償過(guò)的增加．估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望．【正確答案】（1）（2）（i）0.122（萬(wàn)元）；（ii）0.1252（萬(wàn)元）【分析】（1）用頻率估計(jì)概率，根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，用頻率估計(jì)概率后可求得分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求；（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合的結(jié)果可求．【小問(wèn)1詳解】設(shè)A為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得賠償不少于2次的頻率為，用頻率估計(jì)概率，可知.【小問(wèn)2詳解】（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，由題可得，，，，，所以，因?yàn)槊麧?rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差，故（萬(wàn)元）；（ⅱ）由（?。┲促r償?shù)母怕蕿椋辽儋r償一次的概率為，故保費(fèi)的變化為，設(shè)為保單下一保險(xiǎn)期的毛利潤(rùn)，故（萬(wàn)元）．17.已知四棱錐的底面是正方形，底面，且分別為的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的大?。菊_答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由三角形中位線(xiàn)定理結(jié)合四邊形為正方形，可得∥，再由線(xiàn)面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以∥，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以?xún)蓛纱怪保砸詾樵c(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，所以，因?yàn)?，所以，所以直線(xiàn)與平面所成角的大小為．18.已知橢圓的焦距為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，依次連接的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于（不同于）兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）；（2）存在，使得.【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于的方程組，求解方程組作答.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式推理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，顯然直線(xiàn)不垂直于y軸，設(shè)其方程為，，由消去x并整理得，則，，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，而，因此，即直線(xiàn)和的斜率之比為定值