二、分類(lèi)討論思想第1頁(yè)思想解讀思想解讀應(yīng)用類(lèi)型分類(lèi)討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題,經(jīng)過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題解答來(lái)實(shí)現(xiàn)處理原問(wèn)題思想策略,對(duì)問(wèn)題實(shí)施分類(lèi)與整合,分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件,實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè),將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題),優(yōu)化解題思緒,降低問(wèn)題難度.由概念、法則、公式引發(fā)分類(lèi)討論;由運(yùn)算、性質(zhì)引發(fā)分類(lèi)討論;由參數(shù)改變引發(fā)分類(lèi)討論;由圖形位置或形狀引發(fā)分類(lèi)討論.第2頁(yè)總綱目錄應(yīng)用一

由概念、法則、公式引發(fā)分類(lèi)討論應(yīng)用二由運(yùn)算、性質(zhì)引發(fā)分類(lèi)討論應(yīng)用三由參數(shù)改變引發(fā)分類(lèi)討論應(yīng)用四由圖形位置或形狀引發(fā)分類(lèi)討論第3頁(yè)應(yīng)用一

由概念、法則、公式引發(fā)分類(lèi)討論

例1

(江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已

知S3=

,S6=

,則a8=

.答案32解析設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q.當(dāng)q=1時(shí),S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合題意,∴q≠1,由題設(shè)可得

解得

∴a8=a1q7=

×27=32.第4頁(yè)【技法點(diǎn)評(píng)】

由性質(zhì)、定理、公式限制引發(fā)分類(lèi)討論往往是因

為有數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類(lèi)給出,在不一樣條件下結(jié)論不一致.如等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、函數(shù)單調(diào)性等.第5頁(yè)跟蹤集訓(xùn)1.已知函數(shù)f(x)=

且f(a)=-3,則f(6-a)=

()A.-

B.-

C.-

D.-

答案

A因?yàn)閒(a)=-3,①若a≤1,則2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1,無(wú)解;②若a>1,則-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-

.總而言之,f(6-a)=-

.第6頁(yè)2.一條直線過(guò)點(diǎn)(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這條直線方程為

.答案

x+y-7=0或2x-5y=0解析設(shè)該直線在x軸,y軸上截距均為a,當(dāng)a=0時(shí),直線過(guò)原點(diǎn),此時(shí)直線方程為y=

x,即2x-5y=0;當(dāng)a≠0時(shí),設(shè)直線方程為

+

=1,∵直線過(guò)點(diǎn)(5,2),∴

+

=1,解得a=7,∴直線方程為x+y-7=0.第7頁(yè)應(yīng)用二

由運(yùn)算、性質(zhì)引發(fā)分類(lèi)討論例2

(太原模擬試題)已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C所正確

邊,a=2bcosB,b≠c.(1)求證:A=2B;(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.解析(1)證實(shí):∵a=2bcosB,且

=

,∴sinA=2sinBcosB=sin2B,∵0<A<π,0<B<π,∴sinA=sin2B>0,∴0<2B<π,∴A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,則B=C,b=c,這與“b≠c”矛盾,∴A+2B≠π,∴A=2B.第8頁(yè)(2)∵a2+c2=b2+2acsinC,∴

=sinC,由余弦定理得cosB=sinC,∵0<B<π,0<C<π,∴C=

-B或C=

+B.①當(dāng)C=

-B時(shí),由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=C=

,這與“b≠c”矛盾,∴A≠

;②當(dāng)C=

+B時(shí),由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=

,C=

,∴A=

.【技法點(diǎn)評(píng)】由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引發(fā)分類(lèi)討論,常見(jiàn)類(lèi)型有除法運(yùn)

算中除數(shù)不為零,偶次方根為非負(fù),對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)要求,指數(shù)

運(yùn)算中底數(shù)要求,不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)問(wèn)題,含有絕對(duì)值

不等式求解,三角函數(shù)定義域等,依據(jù)問(wèn)題中條件對(duì)對(duì)應(yīng)參

數(shù)、關(guān)系式等加以分類(lèi)討論,進(jìn)而分類(lèi)求解與綜合.第9頁(yè)跟蹤集訓(xùn)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,則

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0答案

D∵a,b>0且a≠1,b≠1,∴當(dāng)a>1,即a-1>0時(shí),不等式logab>1可化

為

>a1,即b>a>1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.當(dāng)0<a<1,即a-1<0時(shí),不等式logab>1可化為

<a1,即0<b<a<1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.綜上可知,選D.第10頁(yè)應(yīng)用三

由參數(shù)改變引發(fā)分類(lèi)討論例3

(浙江,17,5分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=

+a在區(qū)間[1,4]上最大值是5,則a取值范圍是

.答案

解析設(shè)g(x)=x+

-a,x∈[1,4],g'(x)=1-

=

,易知g(x)在[1,2]上為減函數(shù),在[2,4]上為增函數(shù),g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.(1)當(dāng)a≤4時(shí),|g(x)|max=5-a,∴f(x)max=|g(x)|max+a=5.∴a≤4符合題意.第11頁(yè)(2)當(dāng)4<a≤5時(shí),|g(x)|max=max{a-4,5-a}=

當(dāng)

<a≤5時(shí),f(x)max=a-4+a=5?a=

(舍去),當(dāng)4<a≤

時(shí),f(x)max=5-a+a=5,∴4<a≤

符合題意.(3)當(dāng)a>5時(shí),|g(x)|max=a-4,∴f(x)max=a-4+a=5?a=

(舍去).綜上,實(shí)數(shù)a取值范圍為

.第12頁(yè)【技法點(diǎn)評(píng)】若碰到題目中含有參數(shù)問(wèn)題,經(jīng)常結(jié)合參數(shù)意義及

對(duì)結(jié)果影響進(jìn)行分類(lèi)討論,此種題目為含參型,應(yīng)全方面分析參數(shù)改變

引發(fā)結(jié)論改變情況,參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合

思想,分類(lèi)要做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確,不重不漏.第13頁(yè)跟蹤集訓(xùn)(課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,21改編)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.討論f(x)單調(diào)性.解析函數(shù)f(x)定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.②若a>0,則由f‘(x)=0得x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f’(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.③若a<0,則由f'(x)=0得x=ln

.當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0.故f(x)在

單調(diào)遞減,在

單調(diào)遞增.第14頁(yè)應(yīng)用四

由圖形位置或形狀引發(fā)分類(lèi)討論例4設(shè)A,B是橢圓C:

+

=1長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則m取值范圍是

()A.(0,1]∪[9,+∞)

B.(0,

]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)

D.(0,

]∪[4,+∞)答案

A解析當(dāng)0<m<3時(shí),橢圓C長(zhǎng)軸在x軸上,如圖(1),A(-

,0),B(

,0),M(0,1).圖(1)第15頁(yè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到短軸端點(diǎn)時(shí),∠AMB取最大值,此時(shí)∠AMB≥120°,則|MO

|≤1,即0<m≤1;當(dāng)m>3時(shí),橢圓C長(zhǎng)軸在y軸上,如圖(2),A(0,

),B(0,-

),M(

,0).圖(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到短軸端點(diǎn)時(shí),∠AMB取最大值,此時(shí)∠AMB≥120°,則|OA|

≥3,即

≥3,即m≥9.綜上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故選A.【技法點(diǎn)評(píng)】求圓錐曲線方程時(shí),常按焦點(diǎn)位置不一樣來(lái)分類(lèi)討

論;相關(guān)計(jì)算中,包括圖形問(wèn)題時(shí),也常按圖形位置不一樣、大小差異等來(lái)分類(lèi)討論.第16頁(yè)跟蹤集訓(xùn)1.正三棱柱側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為6和4矩形,則它體積為

()A.

B.4

C.

D.4

或

答案

D當(dāng)正三棱柱高為4時(shí),體積V=2×

×

×4=4

;當(dāng)正三棱柱