上海市2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）第1-6題每題4分、第7-12題每題5分。1．已知Cn2．設k∈R，若圓x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半徑為2，則k的值為．3．第33屆夏季奧林匹克運動會女子10米跳臺跳水決賽中，全紅禪以425.60分的高分拿下冠軍．下面統(tǒng)計某社團一位運動員10次跳臺跳水的訓練成績：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為．4．若雙曲線經(jīng)過點P（4，3），它的一條漸近線方程為y=15．如果將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲10次，那么第9次出現(xiàn)反面朝上的概率是．6．已知隨機變量X～B（n，p），若E[X]＝30，D[X]＝20，則p＝．7．（5分）若直線2x+y﹣3＝0與直線4x+2y+a＝0之間的距離為528．（5分）某校面向高二全體學生共開設3門體育類選修課，每人限選一門．已知這三門體育類選修課的選修人數(shù)之比為6：3：1，考核優(yōu)秀率分別為20%，10%和12%，現(xiàn)從該年級所有選擇體育類選修課的同學中任取一名，其成績是優(yōu)秀的概率為．9．（5分）在四面體P﹣ABC中，若底面ABC的一個法向量n→=(1，1，0)，且10．（5分）將一個半徑為1的球形石材加工成一個圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側(cè)面積的最大值為．11．（5分）已知雙曲線E：x2a12．（5分）已知函數(shù)f(x)=x二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分）每題有且只有一個正確答案，第13，14題選對得4分，第15，16題選對得5分，否則一律得零分。13．已知下列兩個命題，命題甲：平面α與平面β相交；命題乙：相交直線l，m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)，直線l，m中至少有一條與平面β相交．則甲是乙的（）A．充分且必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件14．2016年1月某校高三年級1600名學生參加了教育局組織的期末統(tǒng)考，已知數(shù)學考試成績X～N（100，σ2）（試卷滿分為150分）．統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的34A．80 B．100 C．120 D．20015．（5分）已知函數(shù)y＝f（x），其導函數(shù)y＝f′（x）的圖像如圖所示．如圖四個選項中，可能表示函數(shù)y＝f（x）圖像的是（）A． B． C． D．16．（5分）在平面上，若曲線Γ具有如下性質(zhì)：存在點M，使得對于任意點P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|?|QM|＝1．則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”．判斷下列兩個命題的真假（）①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”．②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線．A．①假命題；②真命題 B．①真命題；②假命題 C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（14分）如圖所示圓錐P﹣O中，CD為底面的直徑，A，B分別為母線PD與PC的中點，點E是底面圓周上一點，若∠DCE=30°，|AB|=2，圓錐的高為14（1）求圓錐的側(cè)面積S；（2）求證：AE與PC是異面直線，并求其所成角的大?。?8．（14分）設(2x+1)（1）若a0+a1+a2+?+an＝6561，求a3的值；（2）若n＝8，求(a（3）若n＝15，求a0，a1，?，an中的最大項．19．（14分）某人準備應聘甲、乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應聘程序都是：應聘者先進行三項專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進入面試．已知該應聘者應聘甲公司，每項專業(yè)技能測試通過的概率均為23，該應聘者應聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為5（1）若該應聘者應聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率為49（2）已知甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進行，該應聘者只能應聘其中一家，應聘者以專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學期望為決策依據(jù)，若該應聘者更有可能通過乙公司的技能測試，求m的取值范圍．20．（18分）已知m∈R，橢圓Γ：x（1）當m＝0且l的斜率為1時，求|AB|；（2）當m＝﹣1時，求FA→（3）是否存在實數(shù)m（m≠1），使得對于任意的直線l、△ABF都不是直角三角形．若存在，求出所有滿足條件的m；若不存在，請說明理由．21．（18分）在平面直角坐標系中，如果將函數(shù)y＝f（x）的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)α(0＜α≤π（1）判斷函數(shù)y=3x是否為“π（2）已知函數(shù)f（x）＝ln（2x+1）（x＞0）是“α旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求tanα的最大值；（3）若函數(shù)g（x）＝m（x﹣1）ex﹣xlnx?x22【答案】一．選擇題（共4小題）題號13141516答案ADBB一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）第1-6題每題4分、第7-12題每題5分。1．已知Cn【分析】由組合的計算公式求解即可．解：因為Cn2=15所以n＝6．故6．【點評】本題主要考查組合數(shù)公式，屬于基礎題．2．設k∈R，若圓x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半徑為2，則k的值為1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合配方法，即可求解．解：圓x2+y2﹣2x+4y+k＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣k，圓x2+y2﹣2x+4y+k＝0的半徑為2，則5﹣k＝4，解得k＝1．故1．【點評】本題主要考查圓的一般方程，屬于基礎題．3．第33屆夏季奧林匹克運動會女子10米跳臺跳水決賽中，全紅禪以425.60分的高分拿下冠軍．下面統(tǒng)計某社團一位運動員10次跳臺跳水的訓練成績：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為75．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．解：這組數(shù)據(jù)68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，從小到大排序可得：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84，由于10×60%＝6，所以這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為74+76故75．【點評】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎題．4．若雙曲線經(jīng)過點P（4，3），它的一條漸近線方程為y=12x【分析】根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=12x解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=1設雙曲線方程為x2∵雙曲線過點P（4，3），∴42∴所求雙曲線方程為y2故y2【點評】本題考查雙曲線的標準方程的求法，需要學生熟練掌握已知漸近線方程時，如何設出雙曲線的標準方程．5．如果將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲10次，那么第9次出現(xiàn)反面朝上的概率是12【分析】利用概率的概念求解．解：由題意可知，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上的概率是12因為每次拋擲是相互獨立的，所以每一次拋擲出現(xiàn)反面朝上的概率都是12所以第9次出現(xiàn)反面朝上的概率是12故12【點評】本題主要考查了概率的概念，屬于基礎題．6．已知隨機變量X～B（n，p），若E[X]＝30，D[X]＝20，則p＝13【分析】根據(jù)二項分布的期望公式和方差公式求解．解：因為隨機變量X～B（n，p），若E[X]＝30，D[X]＝20，則np=30np(1?p)=20解得n=90p=所以p=1故13【點評】本題主要考查了二項分布的期望公式和方差公式，屬于基礎題．7．（5分）若直線2x+y﹣3＝0與直線4x+2y+a＝0之間的距離為52【分析】利用平行線間的距離公式求解即可．解：直線2x+y﹣3＝0，即4x+2y﹣6＝0，故52故﹣1或﹣11．【點評】本題主要考查兩平行線間距離公式的應用，屬于基礎題．8．（5分）某校面向高二全體學生共開設3門體育類選修課，每人限選一門．已知這三門體育類選修課的選修人數(shù)之比為6：3：1，考核優(yōu)秀率分別為20%，10%和12%，現(xiàn)從該年級所有選擇體育類選修課的同學中任取一名，其成績是優(yōu)秀的概率為0.162．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．解：這三門體育類選修課的選修人數(shù)之比為6：3：1，考核優(yōu)秀率分別為20%，10%和12%，則從該年級所有選擇體育類選修課的同學中任取一名，其成績是優(yōu)秀的概率為610故0.162．【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎題．9．（5分）在四面體P﹣ABC中，若底面ABC的一個法向量n→=(1，1，0)，且CP→【分析】根據(jù)點到平面的距離的向量公式進行計算即可．解：由平面ABC的一個法向量為n→=(1，1，0)，且可得定點P到底面ABC的距離d=|故22【點評】本題考查點到平面的距離求法，屬基礎題．10．（5分）將一個半徑為1的球形石材加工成一個圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側(cè)面積的最大值為2π．【分析】設圓柱底面半徑為r，高為h，則（12解：設圓柱底面半徑為r，高為h，則（12所以2×12?×r≤即hr≤1，當且僅當12?=r，即h=2所以該圓柱形擺件側(cè)面積S＝2πrh≤2π，當且僅當h=2，r=即該圓柱形擺件側(cè)面積的最大值為2π．故2π．【點評】本題主要考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎題．11．（5分）已知雙曲線E：x2a2?【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得|AB|＝4a，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的關(guān)系，進而求解結(jié)論．解：設雙曲線的半焦距為c，c＞0，|BF2|＝|AF2|，根據(jù)題意得到|BF1|﹣|BF2|＝2a，又|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|AF1|＝2a，故\AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，設AB的中點為C，在ACF2中，|CF2|=5故|AF2|=(2a則|AF1|＝a，|CF1|＝3a，根據(jù)|CF1|2+|CF2|2＝|F1F2|2，可知（3a）2+（5a）2＝（2c）2，故7a2＝2c2，可得e=c故142【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應用，考查計算能力，屬于中檔題．12．（5分）已知函數(shù)f(x)=xex+e【分析】作出函數(shù)f（x）的圖形，求出過原點且與函數(shù)f（x）（x≤0）的圖象相切的直線的方程，以及函數(shù)f(x)=?2+解：當x≤0時，f(x)=xex+e當x＞0時，由y=?2+x2作出函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：設過原點且與函數(shù)f（x）（x≤0）的圖象相切的直線的方程為y＝kx，切點為(x則切線方程為y?x將原點坐標代入切線方程得?x即x02ex0函數(shù)g(x)=x由g(x0)=而函數(shù)f(x)=?2+設直線y＝﹣x與y＝（e+1）x的夾角為θ，設直線y＝（e+1）x的傾斜角為α，則tanθ=tan(3π結(jié)合圖形可知，0＜tan∠MON＜1+2故(0，1+2【點評】本題主要考查了曲線與方程的綜合應用，利用兩角差的正切公式以及數(shù)形結(jié)合思想求解，屬于難題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分）每題有且只有一個正確答案，第13，14題選對得4分，第15，16題選對得5分，否則一律得零分。13．已知下列兩個命題，命題甲：平面α與平面β相交；命題乙：相交直線l，m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)，直線l，m中至少有一條與平面β相交．則甲是乙的（）A．充分且必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由面面間的相互關(guān)系得到：甲?乙，乙?甲，從而甲是乙的充要條件．解：命題甲：平面α與平面β相交，命題乙：相交直線l，m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)，直線l，m中至少有一條與平面β相交．∴由面面間的相互關(guān)系得到：甲?乙，乙?甲∴甲是乙的充要條件．故選：A．【點評】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的求法，考查空間中面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查推理論證能力，屬于基礎題．14．2016年1月某校高三年級1600名學生參加了教育局組織的期末統(tǒng)考，已知數(shù)學考試成績X～N（100，σ2）（試卷滿分為150分）．統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的34A．80 B．100 C．120 D．200【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性，確定成績不低于120分的學生約為總?cè)藬?shù)的12解：∵成績ξ～N（100，σ2），∴其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝100對稱，又∵成績在80分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的34由對稱性知：成績不低于120分的學生約為總?cè)藬?shù)的12∴此次考試成績不低于120分的學生約有：18故選：D．【點評】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．15．（5分）已知函數(shù)y＝f（x），其導函數(shù)y＝f′（x）的圖像如圖所示．如圖四個選項中，可能表示函數(shù)y＝f（x）圖像的是（）A． B． C． D．【分析】由圖象得當f'（x）≥0時，﹣1≤x≤1，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可得出答案．解：由圖象得當f'（x）≥0時，﹣1≤x≤1，且隨著x的增加，導數(shù)值先增加后減少∴f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，且根據(jù)導數(shù)的幾何意義得函數(shù)f（x）圖象切線的斜率自左向右先增大后減小，故B正確．故選：B．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．16．（5分）在平面上，若曲線Γ具有如下性質(zhì)：存在點M，使得對于任意點P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|?|QM|＝1．則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”．判斷下列兩個命題的真假（）①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”．②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線．A．①假命題；②真命題 B．①真命題；②假命題 C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題【分析】由新定義求解曲線上任一點P到定點M距離的取值范圍A，當任意x∈A，都有1x解：對于①，不妨設橢圓方程為x2則橢圓上一點P到M距離為|PM|=(x?m當m＞a時，對稱軸x=m總存在m使得（m﹣a）（m+a）＝1，此時滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確，對于②，對于給定的雙曲線和點P，顯然|PM|存在最小值，而M橫坐標趨近于無窮大時，|PM|趨近于無窮大，|PM|∈[m，+∞），故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，故②錯誤．故選：B．【點評】本題考查曲線與方程的關(guān)系，關(guān)鍵在于新定義的理解，轉(zhuǎn)化為求曲線上任一點到定點M距離的取值范圍，再結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷即可，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（14分）如圖所示圓錐P﹣O中，CD為底面的直徑，A，B分別為母線PD與PC的中點，點E是底面圓周上一點，若∠DCE=30°，|AB|=2，圓錐的高為14（1）求圓錐的側(cè)面積S；（2）求證：AE與PC是異面直線，并求其所成角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，求出底面半徑r和母線長l，結(jié)合S＝πrl，即可得出答案；（2）連接AE、EO、AO，可得AO∥PC，即可證明結(jié)論，可得∠EAO為異面直線AE與PC所成的角且∠EAO∈（0°，90°]，取OD的中點F，連接AF、EF，結(jié)合題意，分別求出|AF|=142，|EF|=6解：（1）設圓錐P﹣O底面半徑為r，母線長為l，∵CD為底面的直徑，A，B分別為母線PD與PC的中點，∴AB∥CD，|AB|=12|CD|＝r又圓錐的高為14，即|PO|=14∴l(xiāng)=(∴圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝42π；（2）證明：連接AE、EO、AO，∵A，O分別為PD與CD的中點，∴AO∥PC，又EA∩AO＝O，∴AE與PC是異面直線，∴∠EAO為異面直線AE與PC所成的角且∠EAO∈（0°，90°]，由（1）得|AO|=12|CP|＝2，|OE|取OD的中點F，連接AF、EF，如圖所示：則|AF|=14∵∠DCE＝30°，則∠EOF＝60°，∴|EF|＝|OE|?sin60°=6|AE|=|AF在△AEO中，由余弦定理得cos∠AEO=|EA∴異面直線AE與PC所成角的大小為arccos75【點評】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特點和考查異面直線的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．18．（14分）設(2x+1)（1）若a0+a1+a2+?+an＝6561，求a3的值；（2）若n＝8，求(a（3）若n＝15，求a0，a1，?，an中的最大項．【分析】（1）直接令x＝1可求得n，進而求解結(jié)論；（2）直接令x＝1和x＝﹣1進行求解即可．（3）利用二項式的展開式和不等式組的解法求出結(jié)果．解：因為(2x+1)（1）令x＝1可得：a0+a1+a2+?+an＝6561＝3n，可得n＝8；故a3=C（2）n＝8，可得(2x+1)令x＝1可得：a0+a1+a2+?+a8＝6561，令x＝﹣1可得：a0﹣a1+a2﹣a3?+a8＝1．所以(a（3）根據(jù)二項式的展開式，設第r+1項的系數(shù)最大，故C15解得293故r＝10，故第11項最大．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．19．（14分）某人準備應聘甲、乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應聘程序都是：應聘者先進行三項專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進入面試．已知該應聘者應聘甲公司，每項專業(yè)技能測試通過的概率均為23，該應聘者應聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為5（1）若該應聘者應聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率為49（2）已知甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進行，該應聘者只能應聘其中一家，應聘者以專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學期望為決策依據(jù)，若該應聘者更有可能通過乙公司的技能測試，求m的取值范圍．【分析】（1）利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解；（2）分別記“該應聘者應聘甲，乙公司三項專業(yè)技能測試通過項目數(shù)為隨機變量X，Y”，由題意可知，X～B（3，23），所以E（X）＝3×Y的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應的概率，進而求出E（Y），再令E（Y）＞E（X）即可求出m的取值范圍．解：（1）因為應聘者應聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為56所以該應聘者應聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率P=56×23×（1﹣m）+56×解得m=2（2）分別記“該應聘者應聘甲，乙公司三項專業(yè)技能測試通過項目數(shù)為隨機變量X，Y”，由題意可知，X～B（3，23所以E（X）＝3×2Y的所有可能取值為0，1，2，3，則P（Y＝0）=1P（Y＝1）=56×P（Y＝2）=56×23×（1﹣m）P（Y＝3）=5所以E（Y）＝0×1?m18+1×7?6m18因為E（Y）＞E（X），所以2m+32解得m＞1又因為0＜m＜1，所以12即m的取值范圍為（12【點評】本題主要考查了獨立事件和互斥事件的概率公式，考查了離散型隨機變量的期望，屬于中檔題．20．（18分）已知m∈R，橢圓Γ：x（1）當m＝0且l的斜率為1時，求|AB|；（2）當m＝﹣1時，求FA→（3）是否存在實數(shù)m（m≠1），使得對于任意的直線l、△ABF都不是直角三角形．若存在，求出所有滿足條件的m；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意，利用l與橢圓聯(lián)立得A，B兩點坐標，再求|AB|的值，即可求解；（2）設出直線l方程，與橢圓Γ聯(lián)立得韋達定理，由FA→（3）設直線AB的方程為x＝ky+m，聯(lián)立方程組得到y(tǒng)1+y2，y1y2，結(jié)合FA→解：（1）由橢圓Γ：x22當m＝0時，直線l：y＝x，聯(lián)立方程組y=xx22+y2=1（2）當l斜率為0時，由A(?2，0)，B(2當l斜率不存在時，由A(?1，22)，B(?1，?當l斜率存在時，設直線方程為y＝k（x+1），聯(lián)立方程組y=k(x+1)x設A（x1，y1），B（x2，y2），則Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＞0，且x1由FA→則FA=(k=(k令t＝2k2+1，可得k2=t?1綜上可得，F(xiàn)A→?FB（3）設直線AB的方程為x＝ky+m，聯(lián)立方程組x=ky+mx設A（x1，y1），B（x2，y2），則Δ＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣2）＞0，且y1設T=FA因為x1+x2＝k（y1+y2）+2m，x1所以T=(=(k要使得△ABF