函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式

一、選擇題

1.(考點(diǎn):集合與不等式，★舊知集合A={xf2.x>x^,B^\x|x+l<|},則48=().

A.(0,§B.",2)C.(0,*8)D.(|,2)

【解析】因?yàn)榱?0,2),8=(-8,|),所以4困/2).故選B.

【答案】B

2.(考點(diǎn):函數(shù)的零點(diǎn),★)下列函數(shù)中是奇函數(shù)且有零點(diǎn)的是().

A.=x+lx/B,1用=W+x

C.4mW+tanxD.{才=sin(x+])

【解析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除A、D,依據(jù)函數(shù)是否有零點(diǎn)可排除B,故選C.

【答案】C

3.(考點(diǎn):定積分，★汜知汽車運(yùn)動(dòng)的速度乂單位:m/s)與時(shí)間《單位:s)之間的關(guān)系式為%3"2,則汽車在

第1s至第2s之間的1s內(nèi)經(jīng)過的路程是().

A.5mB與mC.6mD.fm

2

【解析】所求路程S=.(3"2)d上伴+2t)=6M*|-2考(m),故選D.

1

【答案】D

(x<l,

4.(考點(diǎn):線性規(guī)劃,★★)已知實(shí)數(shù)滿足(y<x+1,則目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值之和為

(y>1-x,

().

A.5B.yC.6D.7

【解析】

畫出實(shí)數(shù)X/滿足的可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z=*個(gè)的幾何意義為坐標(biāo)原點(diǎn)。與可行域內(nèi)點(diǎn)的

距離的平方.

由圖可知，坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線X+J/-1R的距離為點(diǎn)。與可行域內(nèi)點(diǎn)的距離的最小值，最小值為日，可

行域內(nèi)的點(diǎn)仇1,2)與坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離最大，最大值為，22+12=^.

【答案】B

5.（考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性,★★）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),人方=log2X,則（x-1）<0的解集是（）.

A.（-8,0）U（1,2）B.（-1,0）U（0,1）

C.（1.2）D.（-^,-1）u（0,1）

【解析】由題意知，當(dāng)x>0時(shí)，令偽<0,即崛2萬(wàn)<0,解得.又因?yàn)楹瘮?shù)片心）是奇函數(shù),所以函

數(shù)大M的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)x<oB寸，令[MR，可得因?yàn)樗詏wl<1或解

得1<x<2或x<0,即不等式心-1）<0的解集為（-%0）u（1,2）.故選A.

【答案】A

6.（考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì),★★）

已知函數(shù)｛M=（x-a）（x-。）（其中a>6）的圖象如圖所示,則函數(shù)4x）=oga（x-。）的圖象大致是（）.

【解析】結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知所以函數(shù)a?Toga（x6）在定義域上單調(diào)遞增，排除

C,D;把函數(shù)尸logaX的圖象向左平移/勿個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，排除A.故選B.

【答案】B

7.（考點(diǎn):比較大小,★★灌a=og23,A=og47,c=0.74,則實(shí)數(shù)a,8c的大小關(guān)系為（）.

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>b>c

【解析】石Mog23>log22W/二og47Tog44N,0<0.74<1,故c是最小的.因?yàn)?/p>

log47glog27=og2V7<log23,所以故選D.

【答案】D

8.（考點(diǎn):二次函數(shù)的應(yīng)用,★★★）已知函數(shù)4A）=*+2x*+e,VxeR,《/（A））N0恒成立，則實(shí)數(shù)，的取值范圍

為（）.

D.[0,也）

【解析】設(shè)/=心0=（戶1）2+石，顯然尼3,所以?廬0對(duì)任意2a恒成立,

即（"1）2+在0對(duì)任意國(guó)a,―）都成立.

當(dāng)3^-\時(shí)）二石廁在0,與小-1矛盾；

當(dāng)a>-\B寸，A/）minFa）=#+3a+1〃J建七王玲。,解得衣孚.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為［學(xué)，+8).故選B.

【答案】B

9.(考點(diǎn):函數(shù)的零點(diǎn),★★★)若關(guān)于x的方程2019/*i/+asin(x-1)+a-0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的值為

().

A.-1B.OC.1D.2

【解析】令則關(guān)于x的方程2019g/+asin(x-1)+a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于關(guān)于/的方程

2019/^asint+a=Q只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

若在0,則由sin/>-1及%2019,為增函數(shù)，得2019〃/+asin"在2019。-百+石=1>0,方程無解，故石<0.

令*/)=2019"http://a,p(/)=-asin4則《/)在口)處取得最小值，最小值為1七，函數(shù)片吹。的圖象關(guān)于點(diǎn)

(0,0)對(duì)稱.

當(dāng)a=A時(shí),兩函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)a<-\時(shí),兩函數(shù)片式。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)-1<a<0時(shí),兩函數(shù)帶(。的圖象沒有交點(diǎn)，不合題意.

所以a=?1.故選A.

【答案】A

10.(考點(diǎn):比較大小,★★★)已知函數(shù)/(A)=log3x*x,=sinx+x的零點(diǎn)依次為小,松心則

().

f\.X^<X2<X3B.Xy<X3<X2

C.X3<X2<X\O.X2<X3<Xy

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出片3*,%log3X,片sinx與片-x的圖象，如圖所示.

7/y=3*

OK

y=sinx\

可知必<0,出>0,用4滿足故選B.

【答案】B

11.(考點(diǎn):構(gòu)造函數(shù),★★★)已知定義在R上的函數(shù)網(wǎng))的導(dǎo)函數(shù)為/W，對(duì)任意法(0,TT),有(Rsin

x>4Hcos尤且設(shè)3=20力=\^(：),。=?(5),則().

A.a〈b〈cB.b<c<aC.a<c<bD.c〈b〈a

【解析】構(gòu)造函數(shù)噌,對(duì)任意xe(0,TT),有g(shù)(M必鬻也建,所以函數(shù)在(0刀)上單調(diào)

遞增.因?yàn)椤禡M/刃,即《切二文/,成必嗯,所以a國(guó)啜嘿，所以函數(shù)［X)是偶函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)Jx)

在(0,TT)上單調(diào)遞增，所以親)<能)<制)=4/),代入解析式得到2/0)。泛6)<-6)故a〈"c.故選

A.

【答案】A

12.（考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,★★★汜知函數(shù)<*）派6",以刈=2*，2*-3X他,若對(duì)丫為《0,*8）閆*211,3］,使

4用）=以X2）成立,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）.

A盤〈端B.^<csiC.￡D.c*

【解析】由題意知，函數(shù)在法［1,3］上的值域包含函數(shù)4才在加（0,+8）上的值域.

因?yàn)樗酝庳着c尹,所以當(dāng)xe（0,2）時(shí)，?。﹣V）,函數(shù)外）在（0,2）上單調(diào)遞墻當(dāng)衣（2,也）

時(shí),/U）<0,函數(shù)4M在（2,*可上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)0）取得極大值，極大值為?2）苦.

因?yàn)椤?）-0,當(dāng)戶乜時(shí),心）-0,所以函數(shù)人才在（0,%）上的值域?yàn)椋?2］.

因?yàn)?吊=-1/+2*-3*坨,所以gpr）=-**4x-3,所以當(dāng)xe［1,3］時(shí),g{M20,函數(shù)虱x）在［1,3］上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)［切在［1,3］上的值域?yàn)樯蟘］.

要使函數(shù)在脛［1,3］上的值域包含函數(shù)在xqo,f”）上的值域，

f±<c

需滿足卜.；解得旱星.故選B.

旌T+c,e23

【答案】B

二、填空題

13.（考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)與切線，★潛函數(shù)回小x與4M=*+ax的圖象有一條與直線片x平行的公共切線，則實(shí)

數(shù)”.

【解析】設(shè)在函數(shù)4M-Inx的圖象上的切點(diǎn)為（用力,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到很故切

點(diǎn)為（1,0）,可求出切線方程為y=x1又因?yàn)橹本€y=x-1與函數(shù)4M=*+ax的圖象也相切，所以方程

*+ax=x-1只有一個(gè)解，化簡(jiǎn)得到所以〃式加尸/4,解得a=A或a=3.

【答案】3或-1

14.（考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性.★★）已知函數(shù)外）仁廠1卅1",則滿足不等式的x的取值范圍

是.

【解析】函數(shù)［M=exT坨1",令aM=e*"*ei"<egT）,則g（M=exTei",

令貝H-0,解得x=1.可得函數(shù)?月在（。,1）上單調(diào)遞減，在（1,*8）上單調(diào)遞增，

故a%in切）=2?珀-1）<0.

又"0）=p（2）=0,所以滿足《刈?至"，即滿足GHO的X的取值范圍為0Vx<2.

【答案】（0,2）

15.（考點(diǎn):周期函數(shù),★★★舊知函數(shù)?x）是定義在R上的偶函數(shù)，且外+1）=0-1）,當(dāng)問0,1]時(shí)，仆）力a,則

關(guān)于X的方程g=/COSTTX/在區(qū)間層,|]上的所有實(shí)數(shù)解的和為.

【解析】因?yàn)樾?1）=心"I）,所以心）=4*-2）,所以函數(shù)AM的最小正周期為2.

又仆+1）=。-1）=個(gè)*,所以函數(shù)4X）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

令手。sTTX/,函數(shù)外）與4M的圖象如圖所示，

由圖象可得，函數(shù)y=4M與手。sTTX/的圖象在區(qū)間[弓弓]上有7個(gè)交點(diǎn)，且各交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為

2均+1=7,故所有實(shí)數(shù)解的和為7.

【答案】7

16.（考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,★★★）對(duì)于三次函數(shù)網(wǎng)）=次3功*上2&余0）,給出定義設(shè)（X）是函數(shù)片網(wǎng)）的導(dǎo)

函數(shù)，力必是的導(dǎo)函數(shù),若方程＜W=o有實(shí)數(shù)解抽，則稱點(diǎn)（成,《加））為函數(shù)片外）的“拐點(diǎn)”?經(jīng)過探究發(fā)

現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)'和對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)則專欄東⑶卷，則

4嬴）啦嬴）第二--------

【解析】函數(shù)力切斗得扉母吟,則g[M=A2-x+3,g'（M=2x-1.

由/但言得2*-1旬,解得x§,而‘3=1,故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)出1）對(duì)稱.

所以4M+ai/=2.

設(shè)4募）加島）+…城翳）二m.

則曙9碉新…4薪）不，

兩式相加得2或019=2/77,解得6=2019.

【答案】2019

專題訓(xùn)練：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式（B）

一、選擇題

1.（考點(diǎn):集合與不等式,為已知集合418=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）?

A.（R3]B.（-8,4]C.（3,4）D.[3,4]

【解析】由題意知，集合A^x/xi-8x*15>0｝=｛x/x<3或x>5｝,8TMa<xva+1｝.若4i8w則3va且

a，1V5,解得3V於4,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,4].故選D.

【答案】D

2.（考點(diǎn):定積分，★汜知6-x）6展開式的常數(shù)項(xiàng)為15,則用?（x+JD）dx=（）.

A.TTB.JC.2+TTD.2號(hào)

3r-6

【解析】俱-X）6的展開式的通項(xiàng)公式為7；+14（-1/興*「，

令竽解得々，故常數(shù)項(xiàng)為髭目=15,可得a=±\.

.:燔（x小5）dx可;Adx乜;J7^dx=f；Jl^dx.由定積分的幾何意義可知，

f；JT^dx為曲線*y=在x軸上方的部分與x軸圍成的面積，即單位圓面積的一半，

?談"戶乒川法.故選B.

【答案】B

3.（考點(diǎn):命題與不等式關(guān)系,★★）有下列四個(gè)命題：

份：若3助,則求V厚;

■:若x>0,則sinx<x,

自:“編:1"是，=仆）為奇函數(shù)”的充要條件；

.：”等比數(shù)列｛a〃｝中,各>生>e”是“等比數(shù)列｛&>｝是遞減數(shù)列”的充要條件.

其中為真命題的是（）.

ARRB.p2,p3C.p2,p4D.e，p4

【解析】對(duì)于°,當(dāng)a=-1,6h時(shí)，滿足日幼,而#e2不成立，故命題份是假命題.

對(duì)于2，設(shè)W=sinx-x,則/（A）=COSx-100,所以函數(shù)心0是減函數(shù)，

若x>0,貝ij《mqo）=sinOQO,即sinx-x<0,則sinx。成立,故命題.是真命題.

對(duì)于0,當(dāng)外）卻時(shí)，滿足函數(shù)外）是奇函數(shù)，但窗=1不成立，故“窗;1”是“*不必為奇函數(shù)”的充分

不必要條件,故命題而是假命題.

對(duì)于04,若等比數(shù)列｛a?｝中,則ai>aiq>ai*若曰>0則得0<g<1,此時(shí)2-=g<1,即

仇<a.i,所以數(shù)列｛a〃｝為遞減數(shù)列;

若當(dāng)<0則1"守相g>1,此時(shí)a〃va〃4數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列,故命題"是真命題.

因此，真命題是.,04.故選C.

【答案】C

4.（考點(diǎn):構(gòu)造函數(shù)與比較大小,★★汜知函數(shù)尸G-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，當(dāng)法（0,*8）時(shí),《?+網(wǎng)切<0,

2),c=logi4^Iogi4j,

若a之02“202),b=|n2<ln則a,b,c的大小關(guān)系是（).

K.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=《x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù).

構(gòu)造函數(shù)4用二網(wǎng)用,則當(dāng)肥（o,4@時(shí),9（用=心）以外切<0,故函數(shù)4M在（。，，勾上單調(diào)遞減.

a=20.2.《202）=a20.2）,b=ln2*n2）利n2）9."?噫4戶2仆2）=-2巾-《2）］卻2）力2）.

因?yàn)?>2。2加2乂）,函數(shù)在（0,%）上單調(diào)遞減，所以。2）包2。2）包In2）,即c<aS故選A.

【答案】A

5.（考點(diǎn):指數(shù)幕法則與性質(zhì),★★）已知3，-5。=15,則aQ不可能滿足的關(guān)系是（）.

A.a+b2

C.（a?1產(chǎn)%b?1）2>2D.#m2<8

【解析】由3a=5修I5,可得（33修|54（56戶？5可

.：3瑟日5。,5池口53.:3m5劭封5A15%即15瑟5a+b^.a+b=ab.

又：a力為不相等的正數(shù),.:a+b>2而，

..ab>2y[ob^abX.故A,B正確.

（a-1）2%0-1）2>2等價(jià)于今+回>2（a+b）,又興地2>2ab,且a+b=ab做C正確.

4+?：>2ab,ab2,;$+〃*以D錯(cuò)誤.

故選D.

【答案】D

6.（考點(diǎn):函數(shù)圖象的對(duì)稱性,★★）已知定義在R上的函數(shù)AM滿足：3‘xJ；;且

仆+2）=《；〃4必考春,則方程4吊=水切在區(qū)間卜5,1］上的所有實(shí)數(shù)根之和為（）.

A.-10B.-9C.-SD.-7

【解析】由題意知是以2為最小正周期的周期函數(shù),以切筌毛臉.

作出函數(shù)人用與P（力的圖象，

如圖所示，兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于點(diǎn)（-2,3）對(duì)稱，由圖象可得和片以刃的圖象在區(qū)間［-5,1］上有

3個(gè)交點(diǎn)，各交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為S*?2）或=7,即方程《X）帶（切在區(qū)間［-5,1］上的所有實(shí)數(shù)根之和為-7.故

選D.

【答案】D

（x<0,

7.（考點(diǎn):線性規(guī)劃狀”已知M40），M0,4）,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（尤力,且xj滿足卜之0，則加?樹

\3x-4y+12>0,

的最小值為（）.

A.攀B提C.10.45

【解析】

作出可行域，如圖所示.

:MP=（x+4,y）^NPTx,y~4）,

.：而.種="4什必4%（戶2）2*（%2）26,.:而?標(biāo)的最小值為點(diǎn)（-2,2）與可行域內(nèi)點(diǎn)的距離的平方的

最小值再減去8.

由圖象可知，點(diǎn)422）與可行域內(nèi)點(diǎn)的最短距離為其到直線3x＜y*2=0的距離4

且^J3x（-2）-4x2+12|_2

^32+425

?標(biāo)麗,竊吟等嘿

【答案】A

8.（考點(diǎn):切線與最值問題次*為已知＞0,曲線與p（A）=2a2|nx力有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處

的切線相同，則實(shí)數(shù)8的最小值為（）.

A.OB.C.-^D.-^,

【解析】由心）4解43比，得外?與＞48由興Inx-2得

設(shè)兩曲線的公共點(diǎn)為何局,加）,旗＞0,

f2Q2

6x-4a=牛,

0XQ

因?yàn)閮汕€在公共點(diǎn)處的切線相同，所以

“yQ=3詔Tax。,

2

<y0=2alnx0-b,

由6x（）4a*Q,解得xo=a或同=￡又a＞0,所以A&=a，消去加得￡＞=2a^lna+4.

“03

設(shè)b書4=2引n石+#，貝ij/?（a）=4alna抬a令/?（a）W）,解得石彳.當(dāng)a*時(shí),力（石）乂）,故函數(shù)/X0在

I，+8）上單調(diào)遞增;當(dāng)Ovag時(shí)力（a）＜0,故函數(shù)以團(tuán)在（0,J上單調(diào)遞減.所以當(dāng)a4時(shí),外為取得最小值,

即Anin=%)=?.故選B.

【答案】B

9.（考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,★★★）下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）.

@陵;②In2號(hào)鱷W；鱷呼.

A.1B.2C.3D.4

【解析】對(duì)于①，設(shè)外)壬如x-x,x>0,則小)*1個(gè).

當(dāng)Oorve時(shí)，外刈乂，函數(shù)4X)在(0,e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e時(shí),(M<0,函數(shù)在(e,王動(dòng)上單調(diào)遞減，

2

,/A)</(e)=elne-e=0,../(2)Aeln2-2</(e)=0,.:2>eln2,.:展>2,故①正確.

對(duì)于②,：8品2,」n8Xne2,.:3ln2>2,即In2號(hào)故②正確.

對(duì)于③，設(shè)GM*，則要，

當(dāng)Ovxve時(shí),g(M>0,故函數(shù)在(0,e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e時(shí),g*)<0,故函數(shù)在(e,-)上單調(diào)遞減，

:e<TT,.?g(e)>P(TT)，即皿2故③正確.

ne

對(duì)于④,:2"<TT2,.：|n2"VniT2,.:等阻，故端誤.

21T

綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)為3,故選C.

【答案】C

10.(考點(diǎn):構(gòu)造函數(shù)與奇偶性,★★★)設(shè)函數(shù)4刈在R上存在導(dǎo)函數(shù)外吊,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有Q)=4**2x,

當(dāng)x<0時(shí),4M<2x+1,若。-a)s《-a)+2-2a,則實(shí)數(shù)a的最小值為().

A.-1B，4C.iD.1

22

【解析】設(shè)力-*-X,則gpr)寸x)?2x-1,

因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),AM<2x+1,即g(x)<0,所以函數(shù)4M在(。,0)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?M刁W-*-x所以或因二人因?容+x.

又因?yàn)椤?gt;0=4/+2%所以4；0?/=仆)-/(因-2>0,即4用為偶函數(shù).

由不等式個(gè)-何文冏或？^可得｛1?句《1刃)2_(1冏文7)《3)2個(gè)外即awaa,又因?yàn)閍m為偶

函數(shù)，且在(-0)上單調(diào)遞減，所以a用在(0,*8)上單調(diào)遞增，所以/I-明/a/,解得在去所以實(shí)數(shù)a的最小值

蛇

【答案】C

11.(考點(diǎn):構(gòu)造函數(shù)與含參不等式,★★★)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為《M,且滿足

4MWx3，a*%x+2,/(x+2)=a4-M，若心)？6/x+2恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為().

A.[6*4ln3,+?)B.[6*6ln6,+?>)

C.[53n5,+e)D.[4Hn2,由@

【解析】由函數(shù)《用力/+a*+bx+2,得f[x)=*Rax+b、

又由（戶2）=（4-?？傻玫膱D象關(guān)于直線X」對(duì)稱,所以今=3,即3=3所以外）力*-3*心42.

由x+2,可得;*S*+bx+ZNGAlnx+2,

可得ZXJa一"幻*柏乂門X,即拄卅Inx.

設(shè)4用=-*+3*6皿X,則g⑺型等丫與生!署口，故當(dāng)庶（0,6）時(shí),g（M>0；當(dāng)*（6,“）時(shí),g（H<0.

所以函數(shù)［x）在（0,6）上單調(diào)遞增，在（6,王句上單調(diào)遞減，所以aHmax=a6）近/In6.

所以實(shí)數(shù)6的取值范圍是［6%ln故選B.

【答案】B

12.（考點(diǎn):分段函數(shù)的零點(diǎn),★★★）已知函數(shù)G）=（：：；￡2+1x>0其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)

［《初2一10心）+3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.4B.5C.6D.3

【解析】

當(dāng)A&0時(shí),的導(dǎo)函數(shù)為外?=12#-12%

當(dāng)o<x<i時(shí),（M<O,所以函數(shù)（x）在（0,1）上單調(diào)遞減;當(dāng)x>i時(shí),八月>0,所以函數(shù)在（1,*可上單調(diào)

遞增.

可得外）在X』處取得極小值，也為最小值，最小值為-1,且40）=1,

故可作出函數(shù)4月的圖象，如圖所示.

伏功2-104M+3,可令ax）KQW,

則3代-10-3=0,解得/=3或片.

當(dāng)耳,即《切力時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)Q3,即仆）=3時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)共有4個(gè)零點(diǎn).故選A.

【答案】A

二、填空題

13.（考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義,★★）設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=lnx上，點(diǎn)/?在直線/次上，則/小的最小值

為.

【解析】由題意知，函數(shù)片捫x的導(dǎo)函數(shù)為J//設(shè)曲線川nx與直線y=x的平行線相切的切點(diǎn)為

（6,"）,則H，即可得切點(diǎn)為（1,0）,此時(shí)/戶■的最小值為甥考

【答案】y

14.（考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性與值域,★★）已知加乙若V/ne（O,e）Hxi,&w（O,e）且乂*起使得（力注）2+3=axZn

必=4忽如忠則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值個(gè)數(shù)為.

【解析】因?yàn)閙e（O,e）,所以%（/7M/^）2+3W［3,5）.

由題意得函數(shù)［x）=ax』nx在（0,e）上不單調(diào)，

因?yàn)榱?見4）,得G，所以0金＜?,即a*.

當(dāng)朕（0,，）時(shí),/（A）＜0,外）w（1Hna,+8）；當(dāng)朕弓Q）時(shí),八月乂）,《才41-dna,ae-1）.

因e此r（1+1In、a匚V3解,?得=區(qū)6a?2-.

（ae-1＞5,e

因?yàn)榧覼,所以e=3,4,5,6,7,故滿足條件的實(shí)數(shù)e的取值個(gè)數(shù)為5.

【答案】5

15.（考點(diǎn):函數(shù)的極值點(diǎn),★★）已知函數(shù)/W和*-2xHnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)用,必若不等式

4＞仆1）州及）恒成立則實(shí)數(shù)才的取值范圍是.

【解析】4才&X-2號(hào),也,丁里，令餌月-2a#-2x+1,x＞0.

要使得存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)M,及，則要求方程/7（A）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則

必+發(fā)亮乂）,必及烹乂）,［N*8a＞0,解得0〈ag.而《用）+4及）=arg-2xiHnXi+ag-2及Hn及=a（xi+及產(chǎn)-

2ax住-2（xi+X2）Hn（M及）=j』n2a-1,構(gòu)造新函數(shù)p（a）--^-ln2a-1,則g（a）與，因?yàn)榛遥?,習(xí),所以g（a）＞0,

所以］a）在（0彳）上單調(diào)遞增，故aa）＜M3=-3,即HN-3.

【答案】［3%）

-X3+x2,x＜1,

16.（考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)與極值,★★★）已知函數(shù)外）Walnx若曲線y=/u）上始終存在兩點(diǎn)48,使得

（元田X2L

O4OA（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）,且線段48的中點(diǎn)在y軸上，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解析】根據(jù)條件可知48兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè)4（4皤杼）,仇5力（似））,若f＜1,則

網(wǎng)二戶焰由。4。8,可得力??麗=0,即/彳戶陪（￥+K）K方程無解;若Q,顯然不滿足OALOB■，若＞1,

則疑嗡累由亦礪力得**"今黑七即a*.令如*（介1）,則9（。有，所以函數(shù)如在（1,e）

上單調(diào)遞減，在（e,%）上單調(diào)遞增.故函數(shù)4。在3e處取得極小值，也是最小值，最小值為最力,所以函數(shù)

4。在（1,+@上的值域?yàn)椋踖,+。。）,故ae［e,+e）.

【答案】［e,+。）

,專題訓(xùn)練3,三角函數(shù)、平面向量

與解三角形（A）

一、選擇題

1.（考點(diǎn):三角函數(shù)值符號(hào)的判斷*）點(diǎn)Asin2020°,cos2020°）在直角坐標(biāo)平面上位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】由2020°=360°*5p80°M0°）可知,2020°角的終邊在第三象限，所以sin2020°<0,cos

2020°<0,即點(diǎn)力位于第三象限.

【答案】C

2.（考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象變換,★）要得到函數(shù)片cos（2x-1）的圖象，只要將函數(shù)尸cos2x的圖象（）.

A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度

【解析】：片COS（2X-1）ACOS|2m，.:只要將函數(shù)片cos2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度即可.

【答案】D

3.（考點(diǎn):解三角形,★）在銳角A/18C中，角48,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.若2csin則角。等于

（）.

【解析】由已知及正弦定理得2sin/4sinCW^sin力,因?yàn)閟in4乂）,所以sinC當(dāng)又。（0E）,所以

C4.

4

【答案】C

4.（考點(diǎn):三角函數(shù)的周期與三角恒等變換,★）函數(shù)｛月FOS*cosx-sin團(tuán)的最小正周期是（）.

A，vB.2C.TTD.2TT

42

【解析】：*COSx-sinA）=cos2x-sinxcosx=1+c^s2x-^sin（sin2x-cos2x）

日sink%-）.:最小正周期T=^-=n.

【答案】C

5.（考點(diǎn):向量共線與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合,為已知向量a=（cosG,-1）,力=（sinG,1）,且創(chuàng)女則sin

2a等于（）.

A.1B.-1egD.f

【解析】由例8得cosa為ina=0,.:sin2a-^cos2a*2sinacosa=0.又：sin2a允os2a對(duì)n

2a=0,.:sin2a-1.

【答案】B

6.(考點(diǎn):三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,★)函數(shù)*8S《+以的單調(diào)遞增區(qū)間是().

A.12kir-1n,2kn+gTi](依Z)B.[4/cn-g+1IT](AeZ)

C.[2/nr+|TT,2ZCTI+gn](AeZ)D.卜/cTr-|n,4kTi+gii](AeZ)

【答案】D

7.

n

（考點(diǎn):解三角形,★★）如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高48時(shí)可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C

與，測(cè)得/8。。=75。,/8。045。,。830,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60。,則塔高48等于（）.

A.10V2B.30V6

C.10V6D.30V2

【解析】在△BCD中,nCBDW80°-75°45°蟲0°.由正弦定理得所以88I0布.在

sm"450一si”n60°

RtA48C中,48=8Gtan”lC8n0而*75=30近.

【答案】D

8.（考點(diǎn):誘導(dǎo)公式及三角恒等變換,★★）若sin售-a）,則cosQ+2a）4）.

A71a17

一-

9B.3D.9-

【解析一3】因?yàn)?-a）嚕+a）專所以sin售十）與唱-像+。卜。5償+a）力，

所以cos（g+2a）=cos[2像+=2cos2Q+a）-1=g.

【答案】A

9.（考點(diǎn):解三角形,★★傕“8C中，角4,8,。所對(duì)的邊分別是a,be若2cos2（力+0+3cos（力啊+14且

則該三角形為（）.

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【解析】由2cos2（4+fl）+3cos（4+fi）+1旬,得2cos2c-3cosC+1=0,

解得cos或cosC=1（舍去）,.:C=60°.

又：看=\^,.:罌=\Z5,「.sin84sinCq嚀即8=30°.

故H=80°-C-8=90°.

【答案】B

10.（考點(diǎn):解三角形、三角恒等變換與向量的綜合應(yīng)用,★★）設(shè)A/I8c的三個(gè)內(nèi)角為48,C向量

/77=（V2sin4,sinff）,n=（cos5,V2cosZ）,若/??〃=\/5W5cos（/l+fl）,UiJC等于（）.

A，7C，VD.2

6332

【解析】依題意得&sinAcosB+yficosZlsin歷V5T5cos（/壇），即&sin（/坊）=V5H5cos（4班）,

則V^sinC-^/2cos則&sin（c+：）=,即sin（f+：）4.

又弓*，所以粵，即。岑

444442

【答案】D

11.（考點(diǎn):解三角形的綜合應(yīng)用.★★★）在“8。中，角48,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosC^cos4

V3sinZl）cos8-0,若a+c=1,貝i]。的取值范圍為（）.

A.朋B.g.l]C.[1,1）D.（|,1）

【解析】由已知得"COsG坦）代osAcosS-V3sinAcos8=0,即有sinAsinFV3sinAcos80,因?yàn)?/p>

sin4*0,所以sin5cosB=Q.又cos比0QV8<TT,所以tan8二b,即8苫.

由余弦定理，有憚二求+&2accosB.

因?yàn)閍+c=\,cos所以加毛1-；）之巧.

又0Q<1,所以上即有

42

【答案】C

12.（考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象變換及性質(zhì)的綜合應(yīng)用,★★★）將函數(shù)片sinx的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，

然后所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，這樣就得到函數(shù)的圖象.若

dM=《x）cosxrG,函數(shù)lx）在區(qū)間卜工，琮]上的最大值為2,則6b的最小值為（）.

A招B多《D與

【解析】由題意可得《HNsinkq),

.-,p(A)=4sin(x-^cosx-h/3=4Qsinx-ycosxjcosx+\[3

=2(sinACOSX-V3COS2A)A/3=2sin(2x-.

,四吟粗。l”：2x辛科2。04

要使函數(shù)在區(qū)間［噎闖上的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)2黜號(hào)，解得6b暇

故6b的最小值為涔

【答案】A

二、填空題

13.(考點(diǎn):平面向量的數(shù)量積,★)已知在R348C中,N4C8-90°,4C=8CN,尸是斜邊48上的中點(diǎn)，則

CPCB-i:CPCA=

【解析】

由題意可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得4(4,0),僅0,4),僅2,2),。［0,0),

HII1CPCBKP-'CA<P(CB蒞5)式2,2>(4,4)=16.

【答案】16

14.(考點(diǎn):三角函數(shù)的性質(zhì),★“若函數(shù)4M=sin3M/乂))在［o,弓上單調(diào)遞增,且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是

學(xué)則3=

【解析】因?yàn)椤度f(wàn)千汨必出刈在“圖上單調(diào)遞增月在這個(gè)區(qū)間上的最大值是今所以加沙考

且0專3］所以汐苫,即0J=1.

【答案】1

15.(考點(diǎn):三角恒等變換及三角函數(shù)的值域,★★)2■知函數(shù)^A)=2-(V3sinx-cosM?,則函數(shù)在區(qū)間

樣身上的值域?yàn)?/p>

【解析】因?yàn)?(x)"=2<V5sinx_cosMzXQsiMxyosZxZ/5sinACOSA)

=1-2sin2xA/3sin2XACOS2xA/3sin2x=2sin(2x+

所以當(dāng)x/時(shí)，函數(shù)?x)取得最小值-1;

當(dāng)x號(hào)時(shí)，函數(shù)外)取得最大值2.

所以外)在區(qū)間［-旨］上的值域?yàn)椴?,2］.

【答案】［-1,2］

16.(考點(diǎn):向量與解三角形的綜合應(yīng)用.★★★)已知銳角三角形48。的三個(gè)內(nèi)角為48,G其對(duì)應(yīng)的邊分

別為a,b,c,若Z?=2V3,/77=(COS8,COS。,〃《。-石,/?),且mn=acos8,則a+c的取值范圍為.

【解析】：77r=(cos8,cosC)fn=(c-a,b),..m-n=(c-a)cosB-f-bcosC.

又:mn=acosB,..ccosB-acosB+bcosC=acosB,

/.sinCbos8為in氏osC=2sinAcos8,即sin(8+C)=2sinAcos8,.:sinA=2s\nAcosB.

.A是銳角，.:sin/4*0,..cosB與

-B是銳角:8苦,.“+C=n-8岑.

由正弦定理得'-〃工,

sin4sinCsinBs嗎

.:石+c%sinZIMsinCNsin4Msin(g-A)

必sin/4M(singcos4-cosgsin4)

與sin/4*2V3cos/4=4gsin(A+*

??三角形/6C是銳角三角形,.:C號(hào)乂3,/4,.1<4告.

.:亨對(duì)n(4+*1,6<46sin(4+*475.

.:a+c的取值范圍是(6,4次］.

【答案】(6,4V3]

，專題訓(xùn)練4,三角函數(shù)、平面向量

與解三角形(B)

一、選擇題

1.（考點(diǎn):三角函數(shù)的性質(zhì),★）設(shè)函數(shù)AM=COS（2X+TT）,AER,則胸是（）.

A.最小正周期為TT的奇函數(shù)B.最小正周期為TT的偶函數(shù)

C.最小正周期為］的奇函數(shù)D.最小正周期為］的偶函數(shù)

【解析】因?yàn)?U）FOS（2X+TT）=C0S2X,所以外）為偶函數(shù)，最小正周期廠號(hào)書故選B.

【答案】B

2.（考點(diǎn):三角函數(shù)的性質(zhì),★）函數(shù)片cos（2x4）的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）.

A.xWB.xgC.xWD.x=］

248o

【解析】由2x1二kn,ksZ得x學(xué)號(hào)，依乙當(dāng)k=Q時(shí)

2244

【答案】B

3.（考點(diǎn):三角函數(shù)的定義及二倍角公式,刈已知銳角a的終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1代os20°,sin20°）,則

E）.

A.80°B.70°C.20°D.10°

【解析】由三角函數(shù)的定義知，

,sin20°2sinl00cosl00sinlO0.?。八。

tana=-----—^――7——=~—4an10no.故a=10.

l+cos20°2cos210。cos100

【答案】D

4.（考點(diǎn):解三角形,★）在人48c中,G=60°,a8W5,8g，則4等于（）.

A.30°B.60°C.450D.75°

【解析】由正弦定理知三若，即-17V^所以sin又8COI8,所以4-30°.

siMsinCsinXsm6002

【答案】A

5.（考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,★）在乂8。中，近+瓦5?前所?元，則”8c的形狀一定是

（）.

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解析】由三?正歷不前我?前，得前?（而+BA-AC）=O,&\AC-（BC+BA+刀）力,2尼?函=0,所

以前京7,即4-90°.又根據(jù)已知條件不能得到麗/灰/，故"8C一定是直角三角形.

【答案】C

6.（考點(diǎn):解三角形,★★）在A/l8c中,a,b,c分別是內(nèi)角48,C的對(duì)邊，且〃+〃-4尸型石二、/9,貝ijd.sin8等

于（）.

A.3:1B.A/3.1C.V2.1D.2:1

【解析】由拄0g興得拄3/如解得COS4勺沼―5,善熹喻嚕N

【答案】D

7.（考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象變換,★★涵數(shù)[x）勿sin3x"）（4>0,3>0,附<]）的部分圖象如圖所示，為

了得到aM=sin（sx+野的圖象,可以將G）的圖象（）.

A.向右平移!個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移々個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移[個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度

【解析】由圖象可得§空？],.7寺■哼.&N又:噌）言/9/3,；解得若，則心）不喉彳+

5/H-sin（2x+日）min[2（x+習(xí)+非故將偽的圖象向左平移濘單位長(zhǎng)度，可以得到知的圖象.

【答案】C

8.（考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,★★汜知非零向量/77,〃滿足21ml=lnl，cos<m、n*差〃j_（f6+〃）廁實(shí)

數(shù)f的值為（）.

A.4B.4C.8D.-8

【解析】：771（fe"）,.：77（f勿/7）=0,即f/77"+*=0,.：5加/DOS<171,">+呻4）.

由已知得%/砰*；+/怦力，解得仁8

【答案】D

9.（考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象及性質(zhì),★★）已知函數(shù)?月=5訪（％+9-/77，在[0,11]上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)/77的

取值范圍為（）.

A.[73,2]B.[V3,l+y）C.（V3,l+y]D.[V3,2]

畫出片sin（x+或在上的圖氮如圖所示.因?yàn)橹本€尸瀉與其有兩個(gè)交點(diǎn)，所以生/04<1相

V3^/77<1所以/776^V3,1+蔡）.

【答案】B

10.（考點(diǎn):三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用,★★★）已知函數(shù)《切=25汕（2》+3，*r在銳角448。中,若

0）=1,荏?近=&，則”I8C的面積為（）.

A.V2B，vC.2V2D.坐

24

【解析】：0）之sin（2x+》.:在銳角“8C中，有0）=2sin（24+J）=l.

:0</lX<24號(hào)當(dāng),.?2/1用學(xué),.X吟

2333364

又：麗?前手百廂上。sA=\f2,.-./AB//AC/=2,

.工/18c的面積S有限麻向n力§或釁考.

【答案】B

11.（考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象與平面向量的綜合應(yīng)用,★★★汨知函數(shù)4M=2sin償+孰OS屢5）,點(diǎn)力和點(diǎn)

6分別是函數(shù)用圖象上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，則褊?赤（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為（）.

A.4B.3C.5D.2

【解析】：。*5,??醬號(hào)年號(hào)sin償+加.

當(dāng)處（苫,即x=1時(shí),sin償+J）K,例取得最大值2;

當(dāng)卷可專，即x=5時(shí),sin償+§與府取得最小值1

因此，點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別是（1,2）,（5,-1）..:U］布=1*5+2十1）3

【答案】B

12.（考點(diǎn):三角恒等變換與解三角形,★★★）已知函數(shù)/（A）=sin^-x）cosx-sinXCOS（TT*，。.在A746C中，若

力為銳角，且0）=,8C=企,8岑則4C邊的長(zhǎng)為（）.

6

A.1B.V6C.2D.2V2

【解析】《M=sin償-x）cosx-sinXCOS（TTAcos2x-*sinACOSxkos2x*sin2x』（sin2x9os

2x*）考sin（2%+專

因?yàn)?4）工所以,sin（24+；）弓，所以sin（24+；）考

因?yàn)榱殇J角，所以；<2力5岑，所以2力片片,所以在今

444444

在A49C中,由正弦定理得生吟，即&sin?勿Cfein解得〃C=1.

sm4s\nB64

【答案】A

二、填空題

13.(考點(diǎn):平面向量的基本定理,★)在平行四邊形48C。中,E和尸分別是。。和8C的中點(diǎn).若

前與南?麗，其中4peR颶*=.

【解析】選擇四，而作為平面向量的一組基底，則冠京^而瓦荏=|四+而，而孤*而，又

工]+=1(A=-

(:/；解得[，'所以:+3

【答案】3

14.(考點(diǎn):誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系,★★汜知sin(3TT-a)tos(3iT*a)考d<a<TT),則

sirP售-a)AJOS3^+a)=.

【解析】由sin(3TT-a)*cos(3TT+a)￥，得sina*x>sa#,①

將①兩邊同時(shí)平方，得2sinacosa=^.

又卜gr,.:sinaXl.cosa<0,sina-cosa>0.

又：(sincz-cosd)2=\-2sinacos，.:sina-cosa^.

.:sin3(1?a)化os3(]+a)yos3a?sin3ameosa-sinc?)(cos2a*/cosasina抬in2a

=fxfl口=2

3I18727,

【答案】-g

15.(考點(diǎn):平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用,★★舊知”8C中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a力,G向量

m=[1,-V2),77=(V2cos/I,sin/).若/ni/7,且acosB+bcosA=csir\G則角B=.

【解析】由mt〃可得V^cos4asin/O,所以tan解得/三由正弦定理及已知得sin4x)s

8ein氏osA=s'\nC^inG所以sin(/坦)rin2G即sinC=sin2G解得sinC=1,C苫，所以B=^.

【答案】；

4

16.（考點(diǎn):三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,★★★）已知府,成￡是函數(shù)/（A）KOS2（3xT）6in23M3>0）的兩個(gè)相

鄰的零點(diǎn).若對(duì)任意朕［■工,o］,都有血⑼刃廬1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為一

s

【解析】」+8g3"61-8；2口￡1cos+cos26）x］

力［（gcos2tox+ysin23x）+cos2o）x］ds\n2a）x+1cos2a）x^書sin（23%+三）.

由題意可知,AM的最小正周期r-n,.-.^-FT,

又o?0,.:a/=1,.:/（A）=ySin^2x+

??對(duì)任意回-工,o］,都有//（x）-g1,即

?:當(dāng)屬［T，o］時(shí),m?/Wmax-1且gXMmin*.

:當(dāng)《於0,.:-1Wsin（2x+3）&耳,.:生加1日.

故實(shí)數(shù)）的取值范圍為?抖

【答案】

聲題訓(xùn)練51數(shù)列、推理與證明（A）

一、選擇題

1.（考點(diǎn):通項(xiàng)公式,★）數(shù)歹心,;3|,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）.

A.%4B.a〃qC.a〃笥D.a〃三

【解析】數(shù)列巖，惡…可化為耗弱，…,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為a/故選B.

【答案】B

2.（考點(diǎn):等比中項(xiàng),★）在等比數(shù)列｛石〃｝中，若我的決=8,且a=1廁公比q=（）.

AgB.lC,2D,-2

【解析】在等比數(shù)列｛a〃｝中,a4aga超4,則由2又aa=l,故g譚故選B.

【答案】B

3.（考點(diǎn):等比數(shù)列的基本運(yùn)算,支）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S〃,若%與,a+a=12,則公比

E）.

A.5B.4C.3D.2

3

［解析］由題意得『3:=：2,即