第一章不等關(guān)系與基本不等式§2含有絕對值不等式2．1絕對值不等式第1頁學(xué)習(xí)目標重點難點1.了解定理|a＋b|≤|a|＋|b|代數(shù)證實和幾何證實．2．了解定理|a＋b|≤|a|＋|b|及不等式|a－b|≤|a－c|＋|c－b|取等號條件及幾何意義.1.重點是掌握絕對值不等式定理．2．難點是利用絕對值不等式定理證實絕對值不等式.第2頁第3頁閱讀教材P6～P7“絕對值不等式”相關(guān)內(nèi)容，完成以下問題：1．絕對值幾何意義設(shè)a是任意一個實數(shù)，在數(shù)軸上：(1)|a|表示________________________________距離；(2)|x－a|表示__________________________________距離；(3)|x＋a|表示____________________________________距離．實數(shù)a對應(yīng)點與原點O之間實數(shù)x對應(yīng)點與實數(shù)a對應(yīng)點之間實數(shù)x對應(yīng)點與實數(shù)a對應(yīng)點之間第4頁在數(shù)軸上把a，b，a＋b表示出來(分ab＞0，ab＜0兩種情況)．解：(1)當ab＞0時(如圖所表示)；第5頁(2)當ab＜0時(如圖所表示)．第6頁2．絕對值不等式定理對任意實數(shù)a和b，有|a＋b|≤___________，當且僅當ab≥0時，等號成立．|a|＋|b|第7頁1．|a－b|與|a|－|b|及|a|＋|b|分別含有怎樣大小關(guān)系？提醒：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.第8頁3．絕對值不等式慣用結(jié)論(1)設(shè)a，b是任意實數(shù)，有||a|－|b||≤|a＋b|，當且僅當ab≤0時，等號成立．(2)對任意實數(shù)a，b，c，有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，當且僅當(a－c)(c－b)≥0時，等號成立．第9頁2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號成立條件分別是什么？提醒：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)等號成立條件是ab≥0，左側(cè)等號成立條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)等號成立條件是ab≤0，左側(cè)等號成立條件是ab≥0且|a|≥|b|.第10頁第11頁絕對值不等式證實

證實：依題意，得m≥|a|，m≥|b|，m≥1.∵|x|＞m，∴|x|＞|a|，|x|＞|b|，|x|＞1.∴|x|2＞|b|.第12頁【點評】含絕對值不等式證實，往往可經(jīng)過平方法、換元法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為常見不等式證實題，或利用絕對值不等式定理||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|證實不等式，常要對絕對值內(nèi)式子進行分析組合、添項、減項，使待證式與已知之間聯(lián)絡(luò)起來，最終經(jīng)過絕對值運算完成證實．第13頁第14頁利用絕對值不等式定理求含絕對值函數(shù)最值 求函數(shù)y＝|x－3|－|x＋1|最大值和最小值．解：法一∵||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.第15頁第16頁【點評】求函數(shù)y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|最值，其主要方法以下：(1)借助絕對值定義，即零點分段．(2)利用絕對值幾何意義．(3)利用絕對值不等式定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|直接求解．第17頁2．求函數(shù)y＝|x－3|＋|x＋1|最小值．解：法一|x－3|＋|x＋1|＝|3－x|＋|x＋1|≥|(3－x)＋(x＋1)|＝4，當且僅當(3－x)(x＋1)≥0時，等號成立．由(3－x)(x＋1)≥0，得(x－3)(x＋1)≤0.∴－1≤x≤3.故當－1≤x≤3時，函數(shù)y＝|x－3|＋|x＋1|取得最小值4.第18頁第19頁

若關(guān)于x不等式a＜|x－4|＋|x＋3|恒成立，則實數(shù)a取值范圍是________.解析：∵|x－4|＋|x＋3|≥|(x－4)－(x＋3)|＝7，∴a<7.故實數(shù)a取值范圍是(－∞，7)．答案：(－∞，7)絕對值不等式定理應(yīng)用

第20頁[互動探究]若本例條件變?yōu)椤叭絷P(guān)于x不等式a＞|x－4|－|x＋3|恒成立”，怎樣求實數(shù)a取值范圍？解析：∵|x－4|－|x＋3|≤|(x－4)－(x＋3)|＝7，∴a＞7.故實數(shù)a取值范圍為(7，＋∞)．答案：(7，＋∞)【點評】利用絕對值不等式定理處理恒成立問題時，通常利用|a±b|到達消去變量目標，從而得到|a|＋|b|最小值或|a|－|b|最大值．第21頁3．(1)若關(guān)于x不等式|x－2|＋|x＋3|＜a解集為空集，則實數(shù)a取值范圍是________.(2)若關(guān)于x不等式|2x＋1|－|2x－1|＜a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a取值范圍是________.第22頁解析：(1)關(guān)于x不等式|x－2|＋|x＋3|＜a解集為空集，即關(guān)于x不等式|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，則a≤5.故實數(shù)a取值范圍是(－∞，5]．(2)∵|2x＋1|－|2x－1|≤|(2x＋1)－(2x－1)|＝2，∴a>2.故實數(shù)a取值范圍是(2，＋∞)．答案：(1)(－∞，5](2)(2，＋∞)第23頁1．證實絕對值不等式三種主要方法(1)利用絕對值定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證實．(2)利用絕對值不等式定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進行證實．(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進行證實．第24頁2．研究含有絕對值函數(shù)問題時，依據(jù)絕對