2025年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)《四邊形綜合》解答題專(zhuān)題提升訓(xùn)練（附答案）1．已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，(1)如圖，若∠EPF=60°,EO=1，求PE的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)．求證：平行四邊形ABCD是正方形．2．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點(diǎn)P沿線(xiàn)段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

(1)求AD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形APCD是矩形？(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形DPBC是平行四邊形？3．如圖，矩形ABCD中，CD=4，∠CBD=30°．一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿對(duì)角線(xiàn)BD方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)沿DC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒t>0．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，連接EQ，PQ．(1)求證：PE=DQ；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PQE為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=6，點(diǎn)P為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形APCQ，連接PQ交AC于點(diǎn)O(1)若AC=PQ，求PB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)PB長(zhǎng)為何值時(shí)，平行四邊形APCQ是菱形？為什么？(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖：矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為a,b．(1)若a、b滿(mǎn)足：a?8+6?b=0(2)已知：EO、EA分別平分∠COA、∠BAO，連CE并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為邊AB中點(diǎn)，求ab(3)點(diǎn)M、D分別在邊AB、y軸上，CM、BD相交于N，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,b，BM=1，若∠BNM=45°，求CD的長(zhǎng)．6．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=10cm，BD=45cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．以AP，AQ為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊PM與AC交于點(diǎn)E(1)當(dāng)點(diǎn)M在BD上時(shí)，求t的值；(2)連接BE．設(shè)△PEB的面積為Scm2，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和(3)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)B在∠PEC的平分線(xiàn)上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)連接BM，直接寫(xiě)出BM長(zhǎng)的最小值．7．如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn)，HA=EB=FC=GD，連接EG,FH，交點(diǎn)為O．(1)如圖2，連接EF,FG,GH,HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)將正方形ABCD沿線(xiàn)段EG,HF剪開(kāi)，再把得到的四個(gè)四邊形按圖3的方式拼接成一個(gè)四邊形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，則圖3中陰影部分的面積為8．綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連接CE，CF，CF翻折，D，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G，H，且C，H，G三點(diǎn)共線(xiàn)．觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若F為AD邊的中點(diǎn)，AB=BC=10，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，則∠ECF=______°，AE=；問(wèn)題探究：（2）如圖2，若∠DCF=22.5°，AB=22，BC=2，則點(diǎn)G_____AB邊上（填“在或不在”），并求出AE拓展延伸：（3）AB=20，AD=15，若F為AD靠近A的三等分點(diǎn)，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)．9．如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為42，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)AB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段DA移動(dòng)（不與點(diǎn)A重合）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)出發(fā)移動(dòng)t(1)當(dāng)t=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)；(2)在點(diǎn)E，F(xiàn)移動(dòng)過(guò)程中，連接CE，CF，EF，請(qǐng)判斷△CEF的形狀并說(shuō)明理由；(3)如圖2，點(diǎn)G，H，分別在邊AB，CD上，且GH=52，連接EF，交GH于點(diǎn)P，當(dāng)EF與GH的夾角為45°，求t10．如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，沿直線(xiàn)AC翻折△ABC得到△AB′C.如圖2，延長(zhǎng)BC和AB′，點(diǎn)E從點(diǎn)A的位置沿射線(xiàn)AB′方向平移，且作DE∥AC，DF∥CB′．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P和Q出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線(xiàn)段AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

(1)問(wèn)點(diǎn)P和點(diǎn)Q平移的速度分別為多少時(shí)，才能使四邊形EPCQ始終成為矩形；(2)在（1）的條件下，①問(wèn)t為何值時(shí)，矩形EPCQ是正方形；②t為何值時(shí)，矩形EPCQ(3)在（1）的條件下，當(dāng)直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)四邊形ABDF其中一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，求t的值．11．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B(1)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ∥(2)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ=CD？(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（1）如圖①，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DC于點(diǎn)F，若AE=2，BE=3，AF=47（2）如圖②，在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BPC=90°，則點(diǎn)P到AD的最小距離為多少．（3）如圖③，小明家有一個(gè)邊長(zhǎng)為10米的正方形空地EFGH，點(diǎn)A為HE邊上一點(diǎn)且AE=4米，小明計(jì)劃在EF邊上任取一點(diǎn)B，以AB為邊在A(yíng)B上方修建一個(gè)面積為16平方米的矩形草莓種植大棚（即ABCD為矩形且面積為16平方米），同時(shí)計(jì)劃利用△DHG區(qū)域種植葡萄，剩下區(qū)域栽種花卉和草坪，由于近幾年葡萄的銷(xiāo)量不好，所以小明計(jì)劃在不減少草莓種植面積的條件下減少葡萄種植區(qū)域的面積，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算出當(dāng)葡萄種植區(qū)域面積最小時(shí)BE的長(zhǎng)為多少．13．【問(wèn)題情境】：如圖1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求AD的長(zhǎng)．【問(wèn)題解決】小明同學(xué)是這樣分析的：將△ABD沿著AB翻折得到△ABE，將△ACD沿著AC翻折得到△ACF，延長(zhǎng)EB、FC相交于點(diǎn)G，設(shè)AD為x，在Rt△GBC中運(yùn)用勾股定理，可以求出AD

（1）說(shuō)明四邊形AEGF是正方形；（2）求出AD的長(zhǎng)．【方法提煉】請(qǐng)用小明的方法解決以下問(wèn)題：（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=45°，BC=6，CD=8，BD=10，求AC的最大值．（4）如圖3，四邊形ABCD中，BC=6，AD=2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且∠DEC=135°，AE=3，BE=4，則CD的最大值為．（直接寫(xiě)出結(jié)果）14．【問(wèn)題探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，在線(xiàn)段AO上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD、PB．①求證：PD=PB；②將線(xiàn)段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，請(qǐng)你判斷∠DPQ的大小是否發(fā)生變化，并請(qǐng)說(shuō)明理由；【遷移探究】（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他條件不變，請(qǐng)你探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．15．定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱(chēng)為鄰余四邊形．(1)如圖1，在鄰余四邊形ABCD中，∠B=40°，則∠C=________；(2)如圖2，在△ABC中，AC=45，BC=4，DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，垂足為D，且DE=5，BE=3，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，求證：四邊形(3)如圖3、圖4，在鄰余四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，∠DEC=90°，①如圖3，當(dāng)DE⊥AD時(shí)，判斷四邊形BCDE的形狀并證明你的結(jié)論；②如圖4，當(dāng)AD=6，BC=8時(shí)，求CD的長(zhǎng)．16．問(wèn)題提出（1）如圖1，在菱形ABCD中，DC=3，∠BCD=120°，AE⊥BC，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_____；問(wèn)題探究（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AB為直徑的半圓與AE相交于點(diǎn)M，連接MD，MC，求△MDC面積的最小值；問(wèn)題解決（3）如圖3，有一個(gè)菱形花園ABCD，AB=300m，∠ABC=60°，點(diǎn)P是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)需在花園內(nèi)開(kāi)辟三角形區(qū)域APB種植一種紅色花卉．在三角形區(qū)域PDC種植一種黃色花卉，其他地方種植綠植．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，滿(mǎn)足∠ABP+∠DCP=90°，同時(shí)過(guò)點(diǎn)P修建四條小路分別是PA，PB，PC，PD供游客參觀(guān)．若綠植面積每平方米100元，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P到AD的距離為多少米時(shí)，△APD面積存在最小值？并求出△APD種植綠植需要花費(fèi)多少元？17．某研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)第三章第4節(jié)《簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)》時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種特殊的四邊形，如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，我們把這種四邊形稱(chēng)為“等補(bǔ)四邊形”．如何求“等補(bǔ)四邊形”的面積呢？探究一：（1）如圖2，已知“等補(bǔ)四邊形”ABCD，若∠A=90°，將“等補(bǔ)四邊形”ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可以形成一個(gè)直角梯形（如圖3）．若BC=4cm，CD=2cm探究二：（2）如圖4，已知“等補(bǔ)四邊形”ABCD，若∠A=120°，將“等補(bǔ)四邊形”繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，再將得到的四邊形按上述方式旋轉(zhuǎn)120°，可以形成一個(gè)等邊三角形（如圖5）．若BC=6cm，CD=4cm，求“等補(bǔ)四邊形”探究三：（3）由以上探究可知，對(duì)一些特殊的“等補(bǔ)四邊形”，只需要知道BC，CD的長(zhǎng)度，就可以求它的面積．那么如圖6，已知“等補(bǔ)四邊形”ABCD，連接AC，若BC=m，CD=n，∠ACD=30°，試求出“等補(bǔ)四邊形”ABCD的面積（用含m，n的代數(shù)式表示）．18．【方法回顧】（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABOC為正方形，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BE⊥l于點(diǎn)E，CF⊥l于點(diǎn)F，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為?10,10，CF=3【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABOC為菱形，直線(xiàn)l⊥AC于點(diǎn)A交OB于點(diǎn)P，BE⊥AB交l于點(diǎn)E，點(diǎn)F在A(yíng)P上，且∠ACF=∠BAE，若AB=23，EF=2，求點(diǎn)E，F(xiàn)【思維拓展】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABOC為矩形，直線(xiàn)l分∠BAC為1:2兩部分，BE⊥l于點(diǎn)E，CF⊥l于點(diǎn)F，若點(diǎn)F的坐標(biāo)為?33,?1，直接寫(xiě)出點(diǎn)19．【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則：SABDSADC（填“>，<，【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別為BC、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，∠GEF=120°，求△EFG面積的最小值；【問(wèn)題解決】（3）如圖③，矩形ABCD是某農(nóng)業(yè)觀(guān)光園的部分平面示意圖，AB=50千米，AD=80千米，AB邊上的點(diǎn)E為休息區(qū)，且AE=20千米，三條觀(guān)光小路EG、EF、FG（小路寬度不計(jì)，F(xiàn)在A(yíng)D邊上，G在BC邊上）擬將這個(gè)園區(qū)分成四個(gè)區(qū)域，用來(lái)種植不同的蔬菜，根據(jù)實(shí)際需要，∠FEG=60°并且要求△EFG的面積盡可能小，那么是否存在滿(mǎn)足條件的△EFG？若存在，請(qǐng)求出△EFG的面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．小亮同學(xué)喜歡研究數(shù)學(xué)問(wèn)題．他在一本資料中看到一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念“對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形”，并對(duì)垂等四邊形進(jìn)行了研究．具體內(nèi)容如下：【理解應(yīng)用】（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是垂等四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；【規(guī)律初探】（2）如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，點(diǎn)G在邊CD上，點(diǎn)H在邊AD上，若四邊形滿(mǎn)足EG=FH，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形EFGH面積S的取值范圍；【綜合探究】（3）如圖3，已知拋物線(xiàn)y=?x2+2x+3與x軸交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，P、Q兩點(diǎn)在該拋物線(xiàn)上．若以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是垂等四邊形且MN∥PQ．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，且m>n參考答案1．（1）解：連接PO，如圖，∵PE=PF,PO=PO,PE⊥AC、∴Rt△PEO∴PF=PE,∠EPO=∠FPO=30°，在Rt△PEO中，EO=1,∠EPO=30°∴PO=2，∴PE=P∴PF=3（2）證明：∵P是AD中點(diǎn)，∴AP=PD又∵PE=PF，∴Rt△PEA∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD．∴AC=2OA=2OD=BD．∴平行四邊形ABCD是矩形．∵點(diǎn)P是AD中點(diǎn)，，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，∴AO∥∵PF⊥BD，∴AC⊥BD．∴平行四邊形ABCD是菱形．∴平行四邊形ABCD是正方形．2．解：（1）如圖，過(guò)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AB∥CD，AD⊥AB∴∠ADC=90°∴四邊形AECD為矩形，∴AD=CE，∵∠B=60°，∴∠BCE=30°∴BE=∴CE=∴AD=CE=23（2）由（1）可得，四邊形AECD為矩形，∴當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)E重合時(shí)，四邊形APCD是矩形∵AB=10，BE=2∴AE=AB?BE=8∵點(diǎn)P沿線(xiàn)段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t∴t=8÷1=8（秒）∴t=8時(shí)，四邊形APCD是矩形；（3）∵四邊形AECD為矩形，∴CD=AE=8∵AB∥CD，即PB∥CD∴當(dāng)PB=CD=8時(shí)，四邊形DPBC是平行四邊形∴此時(shí)AP=AB?PB=2∴t=2÷1=2（秒）∴t=2時(shí)，四邊形APCD是平行四邊形．3．（1）證明：∵PE⊥BC，∴∠BEP=90°，在Rt△BEP中，BP=2t∵∠CBD=30°，∴PE=t，又∵DQ=t，∴PE=DQ；（2）解：①當(dāng)∠EPQ=90°時(shí)，∵PE⊥BC，∠C=90°，∠EPQ=90°∴四邊形EPQC為矩形，∴PE=QC，∵PE=t，QC=4?t，∴t=4?t，即t=2；②當(dāng)∠PQE=90°時(shí)，∠DPQ=∠PQE=90°，在Rt△DPQ中，∠PQD=90°?60°=30°∴DQ=2DP，∵DQ=t，DP=8?2t∴t=28?2t，即t=③當(dāng)∠PEQ=90°時(shí)，此種情況不存在，綜上所述，當(dāng)t=2或165時(shí)，△PQE4．解：（1）當(dāng)∠APC=90°時(shí)，平行四邊形APCQ是矩形，則AC=PQ，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，∴∠B=90°?30°=60°，∵∠APB=90°，AB=6，∴PB=1（2）∵∠CAB=90°，當(dāng)PB=PC時(shí)，∴PA=PB=PC，此時(shí)平行四邊形APCQ是菱形，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，AB=6，∴BC=2AB=12，∴PB=PC=1（3）如圖，設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作OP′⊥BC

在Rt△ABC中，∠ACB=30°∴BC=2AB=12，AC=3∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴OA=OC=33∵OP′⊥BC∴OP當(dāng)P與P′重合時(shí)，OP的值最小，則PQ∴PQ的最小值=2OP5．（1）解：∵a?8+a?8≥0，6?b∴a?8=0，6?b∴a?8=0，6?b=0，解得：a=8，b=6，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為a,b，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為8,6，故答案為：8,6；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，

∵四邊形OABC是矩形，EO、EA分別平分∠COA、∠BAO，連CE并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為邊AB中點(diǎn)，∴∠COA=∠BAO=∠ABC=90°，∠EOA=∠EOC=∠EAO=∠EAB=1∴EO=EA，∵EG⊥AB，EH⊥OA，點(diǎn)B的坐標(biāo)為a,b，∴∠EHA=∠EGA=90°，OA=a，AB=b，BF=AF=b∠AEH=∠EAO=45°，∴EG∥BC，EH∥CO，四邊形AHEG是矩形，∴四邊形AHEG是正方形，EH是梯形AOCF的中位線(xiàn)，即點(diǎn)E為CF的中點(diǎn)，∴AG=EH，EG是△BCF的中位線(xiàn)，∴BG=FG=1∴AG=AF+FG=b∴a2∴ab（3）解：情況一，如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CO上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥CM于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥BD于點(diǎn)Q，

∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,b，BM=1，∴BC=OA=3，∠CBM=∠BCD=90°，∴CM=BC2∴BP=BC×BM∵∠BNM=45°，∴∠CNQ=45°，∴△BNP和△CNQ都是等腰直角三角形，∴PN=BP=31010，BN=∴CN=CM?PN?PM=10∴CQ=NQ=CN÷BQ=NQ+BN=3設(shè)DQ=m，則CD=DQ∴CD×BC=BD×CQ，∴m2方程左右同平方，整理得：20mm=12解得：m=3∴DQ=3∴CD=D情況二，如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥CM于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥BD于點(diǎn)K，

∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,b，BM=1，∴BC=OA=3，∠CBM=∠BCD=90°，∴CM=BC2∴BJ=BC×BM∵∠BNM=45°，BJ⊥CM，CK⊥BD，∴△BNJ和△CNK都是等腰直角三角形，∴NJ=BJ=31010∴CJ=BCN=CJ+NJ=6∴CK=NK=CN÷2=6設(shè)DK=n，∵CK2+D∴65解得：n=12∴DK=12∴CD=CK2綜上所述，CD的長(zhǎng)為326．解：（1）由題意得：DQ=10?2t，PM=2t，PB=10?t，QM=AP=t，如下圖，點(diǎn)M在BD上時(shí)，∵QM∥PB，PM∥QD，∴∠DQM=∠DAB=∠MPQ，∠DMQ=∠MBP，∴△DQM∽△MPB，則DQPM即10?2t2t解得：t=10（2）如上圖，∵AD∥PM，∴∠AEP=∠EAQ，∵四邊形ABCD是菱形，則∠QAE=∠EAP，∴∠AEP=∠EAP，∴△APE為等腰三角形，則PE=AP=t，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，則S△ABD即10?DH=10解得：DH=8，則sin∠DAH=設(shè)△PEB中PB邊上的高為?，則S=1∵?25<0當(dāng)t=5時(shí)，S的最大值為10；（3）存在，理由：如下圖，過(guò)點(diǎn)B作BR⊥PE于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)B在∠PEC的平分線(xiàn)上時(shí)，則BR=OB=25在Rt△PBR中，sin解得：t=20?5（4）如圖，由題意得，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M到達(dá)線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M始終在射線(xiàn)CM上，過(guò)點(diǎn)B作BM′⊥AM，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)A作AR⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R，由（2）得AR=8，∴RD=10∴RM=6+5=11，∴AM=11∵AB∥CD，∴∠BAM又∵∠AM∴△BAM∴AB10185∴BM∴BM長(zhǎng)的最小值為161857．（1）解：四邊形EFGH是正方形．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA，∵HA=EB=FC=GD，∴AE=BF=CG=DH，∴△AEH≌△BFE，△AEH≌∴△AEH,△BFE,△CGF,△DHG全等，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形，∵△DHG≌∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴四邊形EFGH是正方形．（2）解：∵HA=EB=FC=GD=1,AB=BC=CD=AD=3，∴GF=EF=EH=GH=1∵由（1）知，四邊形EFGH是正方形，∴GO=OF,∠GOF=90°，由勾股定理得：GO=OF=10∵S四邊形∴S陰影故答案為：1．8．解：（1）∵AB=BC=10，四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=10，∠BCD=∠A=90°，∵F為AD邊的中點(diǎn)，∴DF=AF=5，將△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G，∴BE=EG，設(shè)BE=x，則AE=10?x，∴EF=EG+FG=x+5，∵EF∴5＋∴x=10∴BE=10∴AE=10?10將△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G，∴∠BCE=∠GCE，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=1故答案為：45；203（2）延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)M，如圖2，∵∠DCF=∠GCF=22.5°，∴∠BCH=45°，∵∠EHM=∠B=90°，∴∠BMH=90°?45°=45°∴△CBM和△EHM均為等腰直角三角形，∴BM=BC=2，∴BE+EM=2，即BE+2解得：BE=22∴AE=AB?BE=2；∵CM=B∴CD=22由折疊性質(zhì)得：CG=CD=22∴點(diǎn)G在A(yíng)B邊上；故答案為：在；（3）當(dāng)DF=2AF時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EP∥GH，交FG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，連接EF，則四邊形GHEP為矩形，∴GH=EP，由折疊性質(zhì)可知，CD=CG=20，∴HG=CG?CH=20?15=5，∴EP=5，∵DF=2AF，∴AF=5，∴AF=EP，設(shè)BE=EH=a,FP=a+10，∵EF∴52解得：a=5，∴AE=20?a=15；綜上，AE的長(zhǎng)為15．9．（1）解：根據(jù)題意當(dāng)t=1時(shí)：DE=2∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為42∴AF=AB+BF=52，AE=AD?DE=3在Rt△AFE∴EF=A（2）解：等腰直角三角形．理由如下：如圖1，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠CBF=90°．依題意得：DE=BF=2在△CDE與△CBF中，DC=BC∠D=∠CBF∴△CDE≌△CBFSAS∴CF=CE，∠DCE=∠BCF，∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，∴△CEF是等腰直角三角形；（3）解：如圖3，連接CE，CF，EF與GH交于P，CE與GH交于點(diǎn)Q．

由（1）得∠CFE=45°，又∵∠EPQ=45°，∴GH∥又∵AF∥∴四邊形GFCH是平行四邊形，∴CF=GH=210在Rt△CBF中，得BF=∴t=210．（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5，在Rt△APE中，AE=53t，sin∴AP=53t?∴DQ=CQ?tanDCQ=CQ?tan∴點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q速度是每秒169（2）當(dāng)EP=CP時(shí)，矩形EPCQ是正方形，∴4∴t=15②∵S∴當(dāng)t=52時(shí)，（3）如圖1，

∵A、P、C共線(xiàn)，∴A、P、Q不能共線(xiàn)，同樣P、Q、D不能共線(xiàn)，當(dāng)PQ過(guò)點(diǎn)B時(shí)，只需∠CPQ=∠APB，∴tan∴CQ∵∠ABC=∠ATB=90°，∠BAT=∠BAC，∴△ABT∽△ACB，∴AB∴3∴AT=95，∴12∴t1=3，t∴當(dāng)t=3時(shí)，PQ過(guò)點(diǎn)B，如圖2

當(dāng)PQ過(guò)F點(diǎn)時(shí)，作FR⊥DE于R，只需∠PQC=∠QFR，∴tan∴CP∵DE=EQ+DQ=5?t+16∴EF=DE?cos∴FR=EF?sinER=EF?cos∴5?t∴t1=綜上所述：t=3或4513時(shí)，直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)四邊形ABDF11．解：（1）當(dāng)PQ∥CD時(shí),∵PD∥CQ,∴四邊形PQCD是平行四邊形，∴DP=CQ,∴12?t=2t,∴t=4；（2）如圖,如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H,∴∠CHD=90°∵∠B=90°,∴∠B=∠CHD∴DH∥AB,∵AD∥BC,∴四邊形ABHD是平行四邊形，∴DH=AB=8cm,BH=AD=12∴CH=BC?BH=6(cm根據(jù)勾股定理得，CD=D過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD于G,則四邊形ABQG是矩形，∴QG=AB=8cm∵BQ=BC?CQ=(18?2t)cm∴PG=|AG?AP|=|18?2t?t|=|18?3t|cm∵PQ=CD=10cm根據(jù)勾股定理得，82+18?3t解得：t=4或t=8,故t為4或8；（3）不存在,理由:∵四邊形PQCD是菱形，∴CQ=CD，∴2t=10，解得t=5，此時(shí)，DP=AD?AP=12?5=7而DP≠CD，∴四邊形PQCD不可能是菱形.12．解：（1）∵AE⊥BC，AE=2，BE=3∴AB=A∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=7，AD=BC∵AF=4∴S∵S∴2CB=4，∴BC=2．∴AD=BC=2．故答案為：2；（2）取BC的中點(diǎn)E，連接EP，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，如圖，則PF為P到AD的距離．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵EH⊥AD，∴四邊形ABEH為矩形，∴EH=AB=6，∵∠BPC=90°，E為BC的中點(diǎn)，∴PE=1∵EP+PF≥EH，∴PF≥EH?EP=2，∴當(dāng)E，P，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，PF取得最小值為2．∴點(diǎn)P到AD的最小距離為2；（3）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AH于點(diǎn)M，如圖，設(shè)AD=x，AM=y，∵四邊形ABCD為矩形且面積為16平方米，∴AB=16∵AE=4，∠E=90°，∴BE=A∵∠DAM+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABE=90°，∴∠DAM=∠ABE．∵∠AMD=∠E=90°，∴△ADM∽△BAE，∴AMAD∴yx∴y=1∴當(dāng)x2=8時(shí)，即x=22時(shí)，y過(guò)點(diǎn)D作DN⊥HG于點(diǎn)N，延長(zhǎng)ND，交EF于點(diǎn)K，∵GH∥∴NK⊥EF，∵∠E=∠EHG=90°，∴四邊形NHEK為矩形，∴NK=HE=10（米)，同理：四邊形DMHN為矩形，∴DN=HM．∵減少葡萄種植區(qū)域的面積，∴葡萄種植區(qū)域面積最小時(shí)，即△DHG的面積最小，∵HG=NK=10米，∴DN取最小值時(shí)，△DHG的面積最?。逥N+NK=10，∴當(dāng)DK取得最大值時(shí)，DN取最小值．由題意：當(dāng)AM取得最大值時(shí)，DK取得最大值4+2=6，此時(shí)x=22∴BE=416∴當(dāng)葡萄種植區(qū)域面積最小時(shí)BE的長(zhǎng)為4（米）．13．解：（1）∵將△ABD沿著AB翻折得到△ABE，將△ACD沿著AC翻折得到△ACF，∴AE=AD=AF，BD=BE=3，DC=CF=2，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∵∠BAC=45°，∴∠EAF=∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠CAF=90°，∴四邊形AEGF是矩形，∵AE=AF，∴四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD=x=AE=AF，∵四邊形AEGF是正方形，∴AE=EG=GF=AF，∠G=90°，∴BG=x?3，CG=x?2，在Rt△GBC中，B∴(3+2)∴x=6或x=?1（舍去），∴AD=6；（3）如圖2，將△ABC沿著AB翻折得到△ABE，將△ACD沿著AD翻折得到△ADF，連接EF，∴AE=AC=AF，∠BAC=∠BAE，∠CAD=∠DAF，BE=BC=6，CD=DF=8，∵∠BAD=45°，∴∠EAF=90°，∴EF=2∵BC=6，CD=8，BD=10，∴∠BCD=90°，當(dāng)BE，BD，DF三條線(xiàn)段共線(xiàn)時(shí)，EF有最大值=6+8+10=24，則AC的最大值=24（4）如圖3，將△ADE沿著DE翻折得到△NDE，將△BCE沿著CE翻折得到△MCE，連接MN，

∴AD=DN=2，BC=CM=6，AE=NE=3，ME=BE=4，∠AED=∠DEN，∠CEB=∠CEM，∵∠DEC=135°，∴∠AED+∠CEB=45°，∴∠NEM=∠DEC?(∠DEN+∠CEM)=90°，∴MN=M當(dāng)DN，MN，MC三條線(xiàn)段共線(xiàn)時(shí)，CD有最大值=2+5+6=13，故答案為：13．14．解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°，∵CP=CP∴△DCP≌△BCP，∴PD=PB；②解：∠DPQ的大小不變，∠DPQ=90°；理由如下：作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AD于點(diǎn)N，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∴四邊形AMPN是矩形，∴∠MPN=90°，∵∠DAC=∠BAC=45°，∴PM=PN，∵PD=PQ,PM=PN，∴Rt△DPN≌∴∠DPN=∠QPM，∠QPN+∠QPM=90°，∴∠QPN+∠DPN=90°，即∠DPQ=90°；（2）AQ=CP；理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC,AC⊥BD,DO=BO，∴△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC=60°，PD=PB，∵PD=PQ，∴PQ=PB，作PE∥BC交AB于點(diǎn)E，EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，∠GEB=∠BAC=60°，∠AEP=∠ABC=60°，∴EG=PC，△APE,△BEG都是等邊三角形，∴BE=EG=PC，作PM⊥AB于點(diǎn)M，則QM=MB,AM=EM，∴QA=BE，∴AQ=CP．15．（1）解：∵在鄰余四邊形ABCD中，∠B=40°，且∠BAD>90°，∠ADC>90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠C=90°?40°=50°，故答案為：50°；（2）證明：∵DE垂直平分AC，AC=45∴AD=12AC=2∵DE=5∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=∵BE=3，∴AB=AE+BE=5+3=8，∵BC=4，∴BC∴∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴四邊形AEFC是鄰余四邊形；（3）①四邊形BCDE是平行四邊形，證明如下：∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∵∠DEC=90°，∴∠ADE=∠DEC，∴AD∥CE，∴∠A=∠CEB，∵在鄰余四邊形ABCD中，∠ADC>90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠CEB+∠B=90°，∴∠BCE=∠DEC=90°，∴DE∥CB，∵E為AB中點(diǎn)，∴AE=EB，在△ADE和△ECB中，∠ADE=∠ECB∠A=∠CEB∴△ADE≌∴DE=CB，由DE∥CB，∴四邊形BCDE是平行四邊形；②如下圖，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)C′，使C′E=CE，連接A∵E為AB中點(diǎn)，∠DEC=90°，∴DE是CC∴AE=EB，C′∵∠AEC∴△AEC∴AC′=BC=8∵在鄰余四邊形ABCD中，∠ADC>90°，∴可分兩種情況討論：當(dāng)∠BAD+∠B=90°時(shí)，則∠DAC∴CD=C當(dāng)∠BCD+∠B=90°時(shí)，則∠ECB+∠B<90°，∴∠BEC>90°，與∠AED+∠CEB=90°矛盾，∴此種情況不存在；綜上，CD的長(zhǎng)為10．16．解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD=3，∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，∴在Rt△ABEsin60°=∴AE解得：AE=3故答案為：33（2）如圖1，∵M(jìn)在以AB為直徑的半圓上，點(diǎn)O為圓心，∴∠AMB=90°，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作MR⊥DC于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC=6，∴S∴當(dāng)MR最小時(shí)，△MDC面積最?。逴M+MR≥ON∴MR≥ON?OM，即MR≥8?3=5，∴△MDC面積最小值為：3MR=3×5=15，故答案為：15，（3）在菱形ABCD中，∵AB∥∴∠ABC+∠DCB=180°．∵∠ABP+∠DCP=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴BP⊥CP∴當(dāng)△APD面積最小時(shí)，點(diǎn)P到AD的距離最小，即點(diǎn)P到BC的距離最大．如圖2，當(dāng)Rt△BPC是等腰直角三角形時(shí)，即點(diǎn)P到BC的距離最大，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H∴∠PBC=∠BPH=45°，∴∠ABP=∠ABC?∠PBC=60°?45°=15°，∴∠BAP=∠BPH?∠ABP=45°?15°=30°，∴在△ABH中，∠AHB=180°?15°?45°?30°=90°，∴AH⊥BC，∴A，P，H三點(diǎn)共線(xiàn)．∵在菱形ABCD中，AD∥∴∠BAD=180°?∠ABC=180°?60°=120°，∴∠PAD=∠BAD?∠BAH=120°?30°=90°，∴PA⊥AD，∵AB=BC=300m∴PH=BH=1在Rt△ABH中，∠ABH=60°，BH=150∴AH=BH?tan∴點(diǎn)P到AD的距離為：AP=AH?PH=150∴△APD面積最小值為：12∴△APD種植綠植需要花費(fèi)為：225003故答案為：點(diǎn)P到AD的距離為1503?150m時(shí)，△APD面積存在最小值，△APD17．解：（1）等補(bǔ)四邊形”的面積為12故答案為：9．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥GF交于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：FC=FB+BC=DC+BC=4+6=10(cm)∵△FGC是等邊三角形，∴∠GCF=60°，GC=FC，∴∠FCE=1在Rt△ECF中，∠FCE=30°，F(xiàn)C=10∴EF=1∴EC=F∴“等補(bǔ)四邊形”ABCD的面積為：13（3）如圖，將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC作AH⊥BC于點(diǎn)H，∴AC′=AC，C′B=CD=n在等補(bǔ)四邊形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+ABC∴點(diǎn)C′，B，C∴CC∵AC′∴HC在Rt△AH∵∠C∴AH2∴AH=3∴“等補(bǔ)四邊形”ABCD的面積等于△ACC′的面積：18．解：（1）∵四邊形ABOC為正方形，A?∴AC=AB=10∵CF⊥l，CF=3，∴AF=A∵∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF，∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠CFA=∠AEB=90°，∴△ACF≌∴AE=CF=3，∴EF=AE?AF=2；（2）解：∵四邊形ABOC為菱形，AB=23∴AB=AC=23∵l⊥AC，BE⊥AB，∴∠CAF=∠ABE=90°，∵∠ACF=∠BAE，∴△ACF≌∴AE=CF,BE=AF，設(shè)AF=x，則BE=x，CF=AE=AF+EF=x+2，∴AB2+B解得：x=2，∴BE=AF=2，∴AE=4，∵S△BAE∴BP=3∴PE=B∴OP=OB?BP=3∴OP=OB?BP=23∴PF=EF?PF=1，∴E?（3）解：∵四邊形ABOC為矩形，∴∠BAC=90°，∵直線(xiàn)l分∠BAC為1:2兩部分，∴∠BAE+∠CAF=90°，①如圖，連接OF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥y軸，垂足為H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB,EP⊥AC，垂足分別為點(diǎn)G，點(diǎn)P，當(dāng)∠BAE=30°時(shí)，則HF=33∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF=30°，∴BE=1∵∠OCF=90°?∠ACF=60°，∴∠CFH=30°，∴HC=1∴OC=AB=HC?OH=2，∴BE=1，∴AE=A∵S∴GE=3∴AP=GE=3∵