25.3用頻率估計概率

【知識與技能】

理解每次試驗可能的結(jié)果不是有限個，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等

時，利用統(tǒng)計頻率的方法估計概率.

【過程與方法】

經(jīng)歷利用頻率估計概率的學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白在同樣條件下，大量重復(fù)試驗時，

根據(jù)一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概

率.

【情感態(tài)度】

通過研究如何用統(tǒng)計頻率求一些現(xiàn)實生活中的概率問題，培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)的良

好意識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

【教學(xué)重點】

對利用頻率估計概率的理解和應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

利用頻率估計概率的理解.

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1400個同學(xué)中，一定有2個同學(xué)的生日相同（可以不同年）嗎？

那么300個同學(xué)中一定有2個同學(xué)的生日相同嗎？

有人說：“50個同學(xué)中，就很可能有2個同學(xué)的生日相同.”這話正確嗎？

調(diào)查全班同學(xué)，看看有無2個同學(xué)的生日相同.

問題2要想知道一個魚缸里有12條魚，只要數(shù)一數(shù)就可以了.但要估計一個

魚塘里有多少條魚，該怎么辦呢？

【教學(xué)說明】在前面我們學(xué)習(xí)了能列舉所有可能的結(jié)果，并且每種結(jié)果的可

能性相等的隨機(jī)事件的概率的求法.那么這里的兩個問題情境中，很容易讓學(xué)生

想到這些事件的結(jié)果不容易完全列舉出來，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性也不一定

是相同的.從而引發(fā)學(xué)生的求知欲，對于這類事件的概率該怎樣求解呢，引入課

題.

二、思考探究，獲取新知

1.利用頻率估計概率

試驗：把全班同學(xué)分成10組，每組同學(xué)擲一枚硬幣50次，整理同學(xué)們獲得

的試驗數(shù)據(jù)，并記錄在下表中：

填表方法：第1組的數(shù)據(jù)填在第1行；第1，2組的數(shù)據(jù)之和填在第2行，…，

10個組的數(shù)據(jù)之和填在第10行.

如果在拋擲n次硬幣時，出現(xiàn)m次“正面向上”，則隨機(jī)事件“正面向上”

出現(xiàn)的頻率為m/n.

【教學(xué)說明】分組是為了減少勞動強(qiáng)度加快試驗速度，當(dāng)然如果條件允許，

組數(shù)分得越多，獲得的數(shù)據(jù)就會越多，就更容易觀察出規(guī)律.讓學(xué)生再次經(jīng)歷數(shù)

據(jù)的收集，整理描述與分析的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計意識，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中隱

藏的規(guī)律.

請同學(xué)們根據(jù)試驗所得數(shù)據(jù)想一想：“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？

歷史上，有些人曾做過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，試驗結(jié)果如下：

思考隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率變化趨勢有何規(guī)律？

在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師幫助歸納，使學(xué)生認(rèn)識到每次試驗中隨機(jī)事件發(fā)

生的頻率具有不確定性，同時發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性，在試驗次數(shù)

較少時，“正面向上”的頻率起伏較大，而隨著試驗次數(shù)逐漸增加，一般地，頻

率會趨于穩(wěn)定，“正面向上”的頻率越來越接近0.5，也就是說，在0.5左右擺動

的幅度越來越小.我們就用0.5這個常數(shù)表示“正面向上”發(fā)生的可能性的大小.

【歸納結(jié)論】一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)

定于某個常數(shù)P，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=P.

思考對一個隨機(jī)事件A，用頻率估計的概率P（A）可能小于0嗎？可能大

于1嗎？

答：都不可能，它們的值仍滿足0≤P（A）≤1.

2.利用頻率估計概率的應(yīng)用

問題1某林業(yè)部門要考查某種幼樹在一定條件下的移植成活率，應(yīng)采用什么

具體做法？

幼樹移植成活率是實際問題中的一種概率，這種實際問題中的移植試驗不屬

于各種結(jié)果可能性相等的類型.因而要考查成活率只能用頻率去估計.

在同樣的條件下，大量地對這種幼樹進(jìn)行移植，并統(tǒng)計成活情況，計算成活

的頻率，若隨著移植棵樹n的越來越大，頻率m/n越來越穩(wěn)定于某個常數(shù).則這

個常數(shù)就可以作為成活率的近似值.

上述問題可設(shè)計如下模擬統(tǒng)計表，補(bǔ)出表中空缺并完成表后填空.

從表中可以發(fā)現(xiàn)，幼樹移植成活的頻率在左右擺動，且隨著統(tǒng)計數(shù)據(jù)的增加，

這種規(guī)律愈加明顯，所以估計幼樹移植成活的頻率為：.

答案：（1）表中空出依次填：0.940，0.923，0.883，0.897

（2）0.9，0.9

問題2某水果公司以2元/千克價格購進(jìn)10000千克的水果，且希望這些水

果能獲得稅前利潤5000元，那么在出售這些水果（已去掉損壞的水果）時，每

千克大約定價為多少元較合適？

解：要定出合適的價格，必須考慮該水果的“完好率”或“損壞率”，如考

查“損壞率”就需要從水果中隨即抽取若干，進(jìn)行損壞數(shù)量的統(tǒng)計，并把結(jié)果記

錄下來，為此可仿照上述問題制定如下表格：

從表格可看出，水果損壞率在某個常數(shù)（例如0.1）左右擺動，并且隨統(tǒng)計

量的增加，這種規(guī)律逐漸明顯，那么可以把水果損壞的概率估計為這個常數(shù)，如

果估計這個概率為0.1，則水果完好的概率為0.9.

∴在10000千克水果中完好水果的質(zhì)量為10000×0.9=9000（千克）

設(shè)每千克水果的銷售價為x元，則有：

9000x-2×10000=5000

x≈2.8

∴出售這批水果的定價大約為2.8元/千克，可獲利5000元.

思考為簡單起見，能否直接把上表中500千克對應(yīng)的損壞率作為損壞的概

率？

答：可以.

【教學(xué)說明】用頻率估計概率時，一般是通過觀察所計算的各頻率數(shù)值的變

化趨勢，即觀察各數(shù)值主要集中在哪個常數(shù)的附近，這個常數(shù)就是所求概率的估

計值.

三、運用新知，深化理解

1.小新拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋三次，硬幣落地均正面朝上，如果她

第四次拋硬幣，那么硬幣正面朝上的概率為（）

2.一只不透明的袋子中裝有4個小球,分別標(biāo)有數(shù)字2、3、4、x,這些球除數(shù)

字外都相同，甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機(jī)摸出1個球，并計算摸出的這2

個小球上的數(shù)字之和，記錄后都將小球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗，試驗數(shù)據(jù)

如下表：

解答下列問題：

（1）如果試驗繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)

定在它的概率附近，試估計出現(xiàn)“和為7”的概率；

（2）根據(jù)（1），若x是不等于2、3、4的自然數(shù)x，試求x的值.

【教學(xué)說明】第1題較簡單，可由學(xué)生自主完成，第2題稍難，由師生共同

完成.

【答案】1.A

2.（1）隨著試驗次數(shù)的增加，出現(xiàn)“和為7”的頻率穩(wěn)定在0.33附近擺動，

因此可以知道當(dāng)試驗繼續(xù)進(jìn)行下去它的頻率會穩(wěn)定在0.33附近，故可估計“和

為7”的概率為0.33.（2）甲、乙兩人同時從袋中各摸出一個球所有可能的結(jié)果

是（2，3）、（2，4）、（2，x）、(3，4)、（3，x）、（4，x）共6個，由于（3，4）

這一結(jié)果的和為7，再根據(jù)“和為7”的概率為0.33≈1/3,所以其中（2，x）、(3,x)、

（4，x）這三個結(jié)果中一定還有一個和為7，當(dāng)2+x=7，則x=5,當(dāng)3+x=7，則x=4，

當(dāng)4+x=7,x=3，顯然后兩種均不符合題意，故x=5.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.你知道什么時候用頻率來估計概率嗎？

2.你會用頻率估計概率來解決實際問題嗎？

【教學(xué)說明】教師先提出上述問題，讓學(xué)生相互交流，再選派幾名同學(xué)進(jìn)行

回顧總結(jié)，師生再共同完善.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題25.3”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)的“課后作業(yè)”部分.

1.猜想試驗、分析討論、合作探究的學(xué)習(xí)方式十分有益于學(xué)生對概率意義的

理解，使之明確頻率與概率的聯(lián)系，也使本節(jié)課教學(xué)重