高考等差、等比數(shù)列及其應(yīng)用

【考綱要求】

1.考查數(shù)列的函數(shù)性及與方程、不等式相結(jié)合的數(shù)列綜合題.

2.考查運用數(shù)列知識解決數(shù)列綜合題的能力.

【課程類型】

一對一個性化教學(xué)

【教學(xué)建議】

數(shù)列是高中的重要內(nèi)容，考試說明中，等差、等比數(shù)列都是C級要求，因而

考試題多為中等及以上難度，試題綜合考查了函數(shù)與方程，分類討論等數(shù)學(xué)思

想.填空題常?？疾榈炔睢⒌缺葦?shù)列的通項公式、前n項和公式及等差、等比數(shù)

列的性質(zhì)，考查運算求解能力；解答題綜合性很強(qiáng)，不僅考查數(shù)列本身的知識而

且還涉及到函數(shù)、不等式、解析幾何等方面的知識，基本上都是壓軸題.因此希

望同事們多研究全國各省市高考題，精選精練，讓學(xué)生學(xué)有所獲，學(xué)有所思，學(xué)

有信心，克服數(shù)列難的思想。

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

1.熟練等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算.

2.數(shù)列中凡與S“之間的互化關(guān)系也是高考的一個熱點.

3.掌握隱藏在數(shù)列概念和解題方法中的數(shù)學(xué)思想，如“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)

合”、

“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)化”等.

基礎(chǔ)練習(xí)

1.已知｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，=2,=—9則+。2。3+…+二?

［解析］數(shù)列仍是等比數(shù)歹山其首項是4色=8,公比為

8［1-(方］32

-

所以，ala2+a2a3+---+?A+l=------f—=—(1-4")

1-A5

2.設(shè)q=2，an+l，bn=nwN：則數(shù)列也｝的通項公式瓦

4+1

［解析］數(shù)列也,｝是等比數(shù)列，則〃=4?2〃T=2用

3.數(shù)列｛4｝滿足4=2,a2=l,并且且二二包=且二自立(〃22),則數(shù)列｛品｝的第

?d〃-1a”?a〃+i

100項為.

［解析］由已知可得：“22,...(口是等差數(shù)列，...ax之

)a

a+ia?—ia?i?J5U

一.若互不相等的實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，c,a,6成等比數(shù)列，且a+3A+c=10,

則a=.

［解析］由c,a,8成等比數(shù)列可將公比記為q,三個實數(shù)a,b,c,待定為

cq,cq,c.由實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列得26=a+c,即2cq2=CQ+C,又等比數(shù)

列中cWO,所以

2d—q—1=0,解一元二次方程得q=1(舍去，否則三個實數(shù)相等)或。=—；,

a5

又a+3b+c=d+3dq+-=—53=10,所以a=-4.

Q乙

5.已知數(shù)列｛aj的前〃項和為S，&=1,S=2a?+”則S=.

［解析］本小題主要考查數(shù)列前〃項和S與通項a“的關(guān)系，解題的突破口是用包

表示S,,,

33

由S=2晶+i=2(S+i—S)得2+1=乙5$乙,所以｛S｝是以S=a=l為首項，耳為公比

的等比數(shù)列，所以.

考向一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【例11設(shè)數(shù)列｛氏｝的前〃項和為國,已知q=1,5?+1=4a?+2

(I)設(shè)證明數(shù)列也｝是等比數(shù)列(H)求數(shù)列｛%｝的

通項公式.

解：(I)由％=1,及Sn+l=4an+2,有at+a2=4tz,+2,

a2=3q+2=5,/.b1=a2-2q=3

由S川=4%+2,?一①則當(dāng)〃22時，有S“=4a“_1+2……②

②-①得%=4a?-4%an+l-2a?=2(a?-2%)

又二也=。前-2氏，.也=2%.?.也｝是首項4=3,公比為2的等比數(shù)列?

(II)由⑴可得”=%_2a“=32T,...爵喙=%.數(shù)列申是首項為

公差為2的等比數(shù)列..?."='+(〃-1)3=2〃_l，4,=(3〃—1)2々

242"2444

方超3第(I)問思路明確，只需利用已知條件尋找"與的關(guān)系即可.

第(II)問中由(I)易得a,,+「2a,=3-2"T,這個遞推式明顯是一個構(gòu)造新數(shù)

列的模型：。川=0%+/5,4為常數(shù))，主要的處理手段是兩邊除以.

【鞏固練習(xí)】1.已知等比數(shù)列｛&｝的公比,=一1

乙

⑴若a3=1,求數(shù)列｛a｝的前〃項和；

(2)證明：對任意ACN+,a,&+2,成等差數(shù)列.

1

-得

解：(1)由a3=a?2=z及所以數(shù)列｛&,｝的前n項和S=

2?51

3

(2)證明：對任意AWN+,

+

2a什2—(a*+a*+i)=2axq'—{a}q~'+axq)=a［尸(23-g—1),

由q=-］得2/—Q—1=0,故2a+2-(a+a+i)=0.

所以，對任意AGN+，ak,&+2,a+i成等差數(shù)歹U.

2.設(shè)｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，S”為其前，項和，滿足

Q,+Q3=Q4+Q,,S?=7

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式及前〃項和s〃；

(2)試求所有的正整數(shù)相，使得烏必坦?為數(shù)列｛%｝中的項.

a“+2

解:(1)設(shè)公差為d,則-抬，

由性質(zhì)得一3。(%+。3)="(%+4)，因為4。0，所以知+4二。，即

24+5d=0,又由87=7得7卬+瞪d=7,解得q=一5,

d=2所以｛4“｝的通項公式為4=2"-7,前〃項和S“=n2-6n0

(-)4，，4川_(2加一7"2優(yōu)一5)

區(qū)“+2(2m-3)

令2加一3=/,"""""I="-4)"-2)=7+§—6,.

am+2tt

O

因為，是奇數(shù)，所以/可取的值為±1,當(dāng)1=1,m=2時，t+——6=3,

t

Q

2乂5—7=3,是數(shù)列｛%｝中的項；1二一1,加=1時，1+7—6=—15,數(shù)列｛%｝

中的最小項是-5,不符合.所以滿足條件的正整數(shù)加=2.

考向二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用

【例2】.在數(shù)1和100之間插入〃個實數(shù)，使得這〃+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)

列，將這〃+2個數(shù)的乘積記作7；,再令。,=館7；〃耳.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)設(shè)4=tanaQan%,求數(shù)列也｝的前n項和S?.

解:(I)設(shè)/(，…，鼠2構(gòu)成等比數(shù)列，其中4=1,%2=100,則

T"="<2......*1久+2，①

T八二乙+1,，〃+2......，2,。,②

①X②并利用億+3—=優(yōu)+2=102(l<z<?+2),得

"=(32)?(。川)??…(。"2)?+2幻=102(〃+2),..?%=炫，=〃+2,匕1.

(II)由題意和(I)中計算結(jié)果，知6〃=tan("+2)-tan(〃+3),〃2L

tan(女+l)-tan左

另一方面,利用tan1=tan((左+1)—左)二

1+tan(Z+1)-tank

‘口”八,tan(Z;+1)-tank

得tan(Ar+l)tan^=----------------------1f.

tanl

所以S"=Z%=Ztan(左+1)-tank

k=\k=3

W/tan(左+1)-tan左，、

--------.----------1)

匿tanl

tan(〃+3)—tan3

=----------------------n.

tanl

方法總結(jié)》本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)的運算，兩角差的正切公式等

基本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力.

【鞏固練習(xí)】設(shè)函數(shù)F(x)=(x—3)'+x—1,{4}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a)

+/(52)+***+/(<37)—14,則國+包+…+a=

［解析］記公差為4則FE)+公&)+…+F(a)

=(國一3),+(功―3),+,,?+(曷-3),+(4+為+…+當(dāng))―7

—(a-3d_?3)'+(國一2d-3)+…+(囪+2d-3)+(8+3"-3)’+78—7

=7(a-3)3+7X3(國一3)+7國一7?

由已知，7(國-3)+7X3(國一3)+7國一7=14,即7(@—3)'+7義3(芻-3)

+7(&-3)=0,

工(&-3”+4(4-3)=0.因為f(x)=f+4x在R上為增函數(shù)，且F(0)=0,

故四一3=0,即&=3,Aa］+a2~\-----1"生=7曷=7乂3=21.

考向三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用

熱身：設(shè)1=4]<4其中外,。3，牝必成公比為q的等比數(shù)列，。2，。4M6

成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.

【答案】V3

ao+b”

【例3】已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列｛4｝和｛4｝滿足：a肝產(chǎn)〃WN*.

7a：,+￡

⑴設(shè)鼠產(chǎn)H求證:數(shù)列(4)2是等差數(shù)列;

I%J

設(shè)b?+i=y[2?〃WN*,且｛aj是等比數(shù)列,求囪和b的值.

⑵因為4>0,b?>Q,所以“I'”舞(a,+bT,

從而(*)

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,由4>0知q>0.下證q=l.

若力1,則@|=222或小，故當(dāng)/7>log0平時，a“+i=aiq">邛，與(*)矛盾;

21

若0<g,則4==>色>1，故當(dāng)A〉log廠時,a?=aq"<l,與(*)矛盾.

Q4+i｝

綜上，Q=1,故a?=a(〃wN*),所以小.

又3=由?2=蛆-8,,(〃GN*),所以｛勿｝是公比為蛆的等比數(shù)列.

劣a,\<3i

若a7/，則?>1,于是A〈云友.

?,a,+b??,a,±af\/2—a,

又由a尸訴得z"=二乜所以仇，b>,勿中至少有兩項相同,

矛盾.

所以<3i=，^,從而6"='J_].所以a尸bi=y/^.

方法總結(jié)》解決此類問題要抓住一個中心一一函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和

函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究

函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)

行靈活的處理.

【鞏固練習(xí)】1.已知｛為｝為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是.

(1).a【+a322a2(2).a：+a：N2a；(3).若a1=a3,則a、=aZ(4).若

a3>a”則<3I>32

［解析］本題考查等比數(shù)列通項、簡單不等式性質(zhì)與均值不等式，選(2).

2.已知等比數(shù)列｛4｝中4=1,則其前3項的和S3的取值范圍是

［解析］:,:等比數(shù)列｛%｝中=1,S3=q+°2+“3=。21+4+口=1+4+1

Iq

，當(dāng)公比4>0時，53=1+^+->1+2；

qY夕

當(dāng)公比q<0時，53=1-^-^--^<1-2^-^-^-—=-1,?53e1］U［3,-K>O)

3.等差數(shù)列｛4｝中，已知%?15,%413,則q2的取值范圍是.

答案：(-8,7］

拓展1.(2012年高考(廣東理))設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,滿足

2s“=。川-2加+1,〃wN*,

且q、4+5、/成等差數(shù)列.(I)求為的值；(H)求數(shù)列｛〃,｝的通項公式；

(III)證明：對一切正整數(shù)〃，有‘+,+???+,<2.

%4%2

2%=出一3

1.解析：(I)由<2(q+4)=。3—7,解得q=1.

2(%+5)=%+%

(II)由2s“=%-2"M+1可得2S,I=勺-2"+l(心2),兩式相減，可得

2%=all+l-%-2〃，即%=3%+2",即%+21=3(4+2"),所以數(shù)列｛“,+2"｝

(?>2)是一個以出+4為首項,3為公比的等比數(shù)列.由2%=電-3可得,出=5，

所以(+2”=9x3"-2,即%=3"-2"(〃22),當(dāng)〃=1時，％=1,也滿足該式子，所

以數(shù)列｛%｝的通項公式是牝=3"-2".

(III)因為3"-3"T=2-3”T>2-=2"，所以3"-2">3~，所以4」，

a?3"T

1-1

于是1+1+???+，V]++,,?+‘‘"=―，，‘'=

%Cl233-「J.2<1-

3

【考綱要求】

1.考查數(shù)列的函數(shù)性及與方程、不等式相結(jié)合的數(shù)列綜合題.

2.考查運用數(shù)列知識解決數(shù)列綜合題的能力.

【課程類型】

一對一個性化教學(xué)

【教學(xué)建議】

數(shù)列是高中的重要內(nèi)容，考試說明中，等差、等比數(shù)列都是C級要求，因而

考試題多為中等及以上難度，試題綜合考查了函數(shù)與方程，分類討論等數(shù)學(xué)思

想.填空題常?？疾榈炔睢⒌缺葦?shù)列的通項公式、前n項和公式及等差、等比數(shù)

列的性質(zhì)，考查運算求解能力；解答題綜合性很強(qiáng)，不僅考查數(shù)列本身的知識而

且還涉及到函數(shù)、不等式、解析幾何等方面的知識，基本上都是壓軸題.因此希

望同事們多研究全國各省市高考題，精選精練，讓學(xué)生學(xué)有所獲，學(xué)有所思，學(xué)

有信心，克服數(shù)列難的思想。

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

1.熟練等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算.

2.數(shù)列中與S”之間的互化關(guān)系也是高考的一個熱點.

3.掌握隱藏在數(shù)列概念和解題方法中的數(shù)學(xué)思想，如“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)

合”、

“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)化”等.

基礎(chǔ)練習(xí)

1.已知｛a“｝是等比數(shù)列，a2=2,a5=-,則為許2a3+…+*4+1=-

［解析］數(shù)列｛。/，川｝仍是等比數(shù)歹U,其首項是“0=8,公比為，

一、8［1-(-)"］乂

所以，％%+%為+…+凡。m=----7-=—(1-4--)

1-1,

4

2.設(shè)％=2,an+］=2,b"=""+2,N*,則數(shù)列｛4｝的通項公式或

%+1a?-\

［解析］數(shù)列也｝是等比數(shù)列，則4=4.2"T=2向

3.數(shù)列｛4｝滿足a=2,a?=l,并且生==空遼(〃22)，則數(shù)列｛4｝的第

8??&LIa?a〃+1

100項為.

［解析］由已知可得：介2,」是等差數(shù)列，，囪。。=白

4+1區(qū)-13〃anDU

二.若互不相等的實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，c,a,8成等比數(shù)列，且a+38+c=10,

貝Ia=.

［解析］由c,a,。成等比數(shù)列可將公比記為q,三個實數(shù)a,b,c,待定為

cq,cd,c.由實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列得26=a+c,即2c/=cg+c,又等比數(shù)

列中cWO,所以

2爐一Q—l=o,解一元二次方程得g=1(舍去，否則三個實數(shù)相等)或q=-J,

乙

a5

又a+36+c=a+3a<?+-=—ja=10,所以a=-4.

5.已知數(shù)列｛a』的前z?項和為S”a=l,S=2a〃+i,則S=.

[解析]本小題主要考查數(shù)列前〃項和S與通項a〃的關(guān)系，解題的突破口是用當(dāng)

S”.

33

由S=2a.+i=2（$+LS）得S+i=/,所以⑸是以S=囪=1為首項，不為公比

的等比數(shù)列，所以5=

考向一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【例1】設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S?,已知％=1,5n+1=4an+2

（I）設(shè)々=,+「2%,證明數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列（II）求數(shù)列｛%｝的

通項公式.

解：（I）由6=1,及S“+]=4an+2,有at+a2=4at+2,

a2=3at+2=5,.,.b｝=a2-2at=3

由S,川=4%+2①則當(dāng)〃22時，有5=41+2……②

②一①得%=4an-4an_?.-.an+i-2an=2（怎一2%）

又;b,=an+]-24,.?也=24T.?.也｝是首項A=3,公比為2的等比數(shù)列.

（II）由（I）可得”=a,用一2%=32'1,.?.4一2=3...數(shù)列｛&｝是首項為

工，公差為3的等比數(shù)列.2=1+（〃—i）3=3〃—L%=（3〃一1）2-2

242"2444

方法總結(jié)》第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找“與的關(guān)系即可.

第（H）問中由（I）易得a用-24=3?2向，這個遞推式明顯是一個構(gòu)造新數(shù)

列的模型：a,,M=pa“+g”（p,g為常數(shù)），主要的處理手段是兩邊除以.

【鞏固練習(xí)】1.已知等比數(shù)列｛4｝的公比尸一；.

⑴若a3=",求數(shù)歹U｛a｝的前Z?項和；

⑵證明:對任意MN+,ak,a什2，級+i成等差數(shù)列.

解：(1)由及q=—g,得a=l,所以數(shù)歹|J｛4｝的前n項和s,=

3

(2)證明：對任意A6N+,

!

2a什2—(a*+a*+i)=2&/+—｛axq~'+axq)=當(dāng)尸(2——q—1),

由q=—］得2g2—q—1=0,故2a*+2-(a*+a*+i)=0.

所以，對任意4GN+,ak,a-a什?成等差數(shù)列.

2.設(shè)｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，S”為其前〃項和，滿足

靖+a；=a：+a；,邑=7

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式及前〃項和S.；

(2)試求所有的正整數(shù)m,使得％Si±L為數(shù)列｛%｝中的項.

。〃1+2

解：(1)設(shè)公差為d,則a；-a；-Q；,

由性質(zhì)得一3"伍4+生)="(%+4)，因為。。0，所以為+4=0，即

2q+5d=0,又由87=7得7%+?d=7,解得力=-5,

*2

d=2所以｛%｝的通項公式為?！?2〃一7,前八項和S“=n-6na

(三)《洶用=(2〃?一7〃2〃?-5)

a,”+2(2m-3)

令2加一3=%,冊盤+i=--4)4.21=/十1―$,

am+2tt

Q

因為，是奇數(shù)，所以/可取的值為±1,當(dāng)/=1,加=2時，t+——6=3,

t

Q

2乂5-7=3,是數(shù)列｛氏｝中的項；，=-1,加=1時，/+7-6=—15,數(shù)列｛&｝

中的最小項是-5,不符合.所以滿足條件的正整數(shù)加=2.

考向二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用

【例2】.在數(shù)1和100之間插入〃個實數(shù)，使得這〃+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)

列，將這〃+2個數(shù)的乘積記作7；,再令4=lg。〃21.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(II)設(shè)"=tana“Dtana“+”求數(shù)列也｝的前n項和S..

解:(I)設(shè)//2,…。+2構(gòu)成等比數(shù)列，其中4=L*2=100,則

T"=。...'"+1,'0+2，①

T"=，"+1,。+2...‘2.4，②

①義②并利用42〃+3T--102(14k〃+2),得

"=(億+2)?*)??…(心也＞(加2幻=lg7；=〃+2,〃21.

(II)由題意和(I)中計算結(jié)果，知“=tan(〃+2)-tan(”+3),〃21.

r---e,“，，、，、tan(4+1)-tanA

另一方面，利用tan1=tan"+1)-A)=]+tan(,+i).tan.，

,,tan(k+1)—tan左,

得tan(z斤+1)?tanA=----------------1.

tanl

所以s“=Zbk=Etan/+1)-tank

k=lk=3

n+2tan(k+1)—tan左

=z(-----7~~；-------D

k=3tanl

tan(77+3)-tan3

---------------n.

tanl

方法總結(jié)》本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)的運算，兩角差的正切公式等

基本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力.

【鞏固練習(xí)】設(shè)函數(shù)M=(x—3)'+x-L{4}是公差不為0的等差數(shù)列，Ad)

+/(52)~\-----FA5?)=14,則ax+a2-\-----|-4=

［解析］記公差為"，則，(2+〃動+~+〃&)

—(國一3)’+(々-3)-----F(芻-3)'+(4+a2H----Fa)-7

—(四-3d-3)+(當(dāng)-2d-3)'+,,,+(國+2d-3)'+(&+3d~~3)3+7ai-7

—7(&-3)'+7X3(&-3)+7&—7.

由已知，7(國—3)+7X331-3)+74—7-14,即7(.—3)3+7X3—3)

+7(8—3)=0,

???(金-3)'+4(&-3)=0.因為f{x}=*+4才在R上為增函數(shù)，且/(0)=0,

故54—3=0,即國=3,/.a}+a2~\-----1"4=78=7乂3=21.

考向三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用

熱身：設(shè)1=/4%W…Wa7，其中。1，。3，。5，。7成公比為q的等比數(shù)列，。2，。4，。6

成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.

【答案】V3

&,十b?

【例3】已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列仿"｝和｛b,｝滿足:匿+尸疆?！癎N*.

（1）設(shè)4+1=1+2,"GN*,求證：數(shù)列1九了］是等差數(shù)列；

a”1%J

二、設(shè)加=小?2,〃WN*,且｛a〃｝是等比數(shù)列，求當(dāng)和8的值.

van

2

⑵因為4>0,4>0,所以W<+<(a+bj)

從而l〈4+i=年3

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,由a?>0知q>0.下證7=1.

若q>1,則a=￡<&Wy/i,故當(dāng)〃>1og“平時,4+I=ad〉@,與(*)矛盾;

H)1

若(Kg,則a=—>&>L故當(dāng)A>log0一時,a=aQ'<l,與(*)矛盾.

f7國n+it

綜上，g=l,故a,=團(tuán)(“GN*),所以l〈aiWyf5.

又"+|=由?@=啦?ZUAWN*),所以依｝是公比為蛆的等比數(shù)列.

4團(tuán)當(dāng)

若小,則I>1,于是冰區(qū)4.

丫句

又由a得4=更土患尹，所以仇，生&中至少有兩項相同,

矛盾.

所以<31=4^，從而6“='/_］所以a尸

方法總結(jié)》解決此類問題要抓住一個中心一一函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和

函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究

函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)

行靈活的處理.

【鞏固練習(xí)】1.已知｛a〃｝為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是.

(1).a】+a322a2(2).a：+a；22a；(3).若a,=a3,則a,=a2(4).若

a3>a”則a^a-i

［解析］本題考查等比數(shù)列通項、簡單不等式性質(zhì)與均值不等式，選(2).

2.已知等比數(shù)列｛4｝中4=1,則其前3項的和S3的取值范圍是

［解析］：,?,等比數(shù)列｛%｝中出=1S3=%+%+。3=。21+”口=1+4+'

I力q

，當(dāng)公比q>0時，S,=l+q+->\+20^=3；

qNq

當(dāng)公比q<0時，Sj=1-卜q」卜1-21伏卜口=-lS3e（-°o,-l]U[3,+~）

3.等差數(shù)列｛aj中，已知6?15,ag<13,則%2的取值范圍是.

答案：（—,7]

拓展2.（2012年高考（廣東理））設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，滿足

n+

25?=a?+1-2'+l,neN*>

且4、%+5、%成等差數(shù)列.（I）求％的值；（H）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（IH）證明：對一切正整數(shù)〃，有工+工+...+_1<2.

a】a2an2

2a｝二生一3

2.解析：（I）由<2（q+出）=4一7,解得%=1.

2（a2+5）=q+%

n+

（H）由2Sn=an+l-2'+l可得2s“T=%-2"+1（?>2）,兩式相減，可得

2--%-2",即%=3%+2",即—+2*3（4+2"）,所以數(shù)列｛/+2"｝

（〃之2）是一個以々+4為首項,3為公比的等比數(shù)列.由2%=4-3可得電=5,

所以4+2"=9x3”2,即《,=3"-2"（〃22）,當(dāng)”=1時，％=1,也滿足該式子，所

以數(shù)列｛%｝的通項公式是勺=3"-2".

（III）因為3"—3"T=2-3"T>2-2"T=2",所以3"-2">3"一，所以‘W」,

M3"T

/3.

<一

2

3

高考基本不等式的應(yīng)用

【課程類型】一對一

【課時設(shè)置】6小時

【教學(xué)建議】本專題題目選自高考真題，高考模擬題，都是中等題和難題，適

合提優(yōu)。

【知識梳理】

1.基本不等式

如果aX),b?,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取"=").

2.基本不等式的推廣與變形

/十方

Va,6eR+,

2

Va,AWR,aR等卜號.

3.極值定理

已知X、y￡R+,x+y=P,xy=S有下列命題：

(1)如果S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值24；

P

(2)如果。是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，燈有最大值了

(3)應(yīng)用此結(jié)論求最值時要注意三個條件：

①各項均為正；②積或和為定值；

③各項都能取得相等的值，簡單地說“一正，二定，三相等”.

【題型歸納】

題型1.用極值定理求最值

例1已知/'(x)=log2(x—2),若實數(shù)/，〃滿足/■(㈤+f(2〃)=3,則加+〃

的最小值是.

—

【解析】方法一：由Iog2(/Z72)+log2(2/7—2)=3,得(加一2)(〃-1)=4,

則/z?=—+2,所以/H-〃=」7+2+Z7=」7+（〃一1）+3225+3=7（當(dāng)且

n—1n—1n—1v

僅當(dāng)“〃=3”時，取等號），故勿+〃的最小值為7.

方法二:由log2（R—2）+log2（2/7—2）=3,得（r—2）二一1）=4,

又（'"2）；（〃—1）2（〃?_2）（〃一1）=4（當(dāng)且僅當(dāng)“加=4,〃=3”時,取等號），即加

+〃27.

【點評】二元最值問題可根據(jù)條件反映的二者之間的關(guān)系，然后代入消元

后，轉(zhuǎn)化為一元最值如類型的問題進(jìn)行研究，也可以直接用基本不等

式求最小值，應(yīng)該注意“積”定的兩個變量，這類問題主要是利用極值定理來求

解.

【遷移訓(xùn)練】不等式a2+362248（a+8）對任意a、8GR恒成立，則實數(shù)兒

的最大值為—.

【解析】因為要求人的最大值，所以只需要考查僅a+A）>0的情況.

+3

才+3萬

假設(shè)夙a+8)>0,所以由,+38224b(a+8)=

ab+Ifa,

4+1

設(shè)息1=力0,設(shè)力（力=心亡生=/+9-222（當(dāng)02時取等號）.

btt

.?"（力的最小值為2,故兒的最大值為2.

題型2.用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式求最值

例2已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是.

【解析】解法一：

2

x+2j^=8-x-(2y)>8-整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32>0

即（x+2y-4）（x+2y+8）20,又x+2_y>0,:.x+2y>A.

解法二：同例1,轉(zhuǎn)化為一元最值問題.

【點評】用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式求最值主要指用放縮的思想將條件

里的等式轉(zhuǎn)化為題目要研究的量的不等式，然后通過求不等式的解集來解決問

題.

【遷移訓(xùn)練】設(shè)X，y為實數(shù)，若4/+/+肛=1,則2x+y的最大值是.

3

【解析】?.?4/+/+矛7=1,(2x+y)2—3xy=l,即(2x+y)2—j.2犬尸1,

(2x+y)2—￡?解之得(2x+y)2矣，即2x+Z可旦

乙、乙)b□

題型3.用基本不等式推廣形式求最值

例3若x>0,y>0,4x+.Jy<aJx+夕恒成立求a的最小值.

【解析】由基本不等式推廣形式知<后I即學(xué)yW板，故a>V2.

o-L-A

【點評】需要將6+77向x+y轉(zhuǎn)化時應(yīng)考慮到基本不等式推廣形式-y-W

【遷移訓(xùn)練】已知X>0)>0,/+y2=8,求2初的最大值.

x+y+2

［解析】由條件知(X+?-4=2中即―—=x-l-y-2<2、卜—2=2.

x+y+2V2

題型4.多元最值問題

VZ

例4若實數(shù)x,y,z,t滿足1WxWZzWZW10000,則一+：的最小值為

y「

v7

【解析】欲使*越小，必須使分子*最小，分母，最大，從硒戶1,t

.?xz1,z_1金點,所以最小值為表.

得]+：=]+標(biāo)在

=10000,10000750

【點評】本題含有四個變量，只有通過極端原理，將其中兩個變量確定后,

再由基本不等式求最小值.對未知數(shù)的認(rèn)識，可以是一個字母，也可以是一個整

式.多元問題在處理時方法有三種：一是消元；二是整體思想；三是運用極端假

設(shè)法去掉某些元素，最終實現(xiàn)減少變元的目的.

【遷移訓(xùn)練】已知正實數(shù)x,y,z滿足2x（x+：+：）=yz,則（x+；J（x+1）的最

題型5.基本不等式在其他數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

例5如圖，圓心角為120"的扇形AOB的半徑為1,C為18的中點，點D、E分別

在半徑0A、0B上，若。2+。爐+。爐=生，則0。+0后的最大值是

9

【解析】（解法一）由余弦定理得=%2+1—％,

CE~=y~+\-y,DE2=x~+y2-k-xy,

由CD2+CE2+DE2=—得：

9?8

2(%一+y一)一(%+))+盯=了

9

QQY+V4

2(x+y)2-(x+y)=g+3盯Wg+3(—解得0W%+

24

所以x=y=］時，％+y的最大值為

(解法二)(而一雙y+(赤一反y+(礪一歷了二型,

9

’?一2''一?2’’'—’’’-8

2(0。+OE)-(\OD\+\OE\)+\OD\\OE\=-,

9

2（%2+y2）一（1+?。?中=，以下同解法一.

【點評】基本不等式作為求最值的一種重要的工具，可以結(jié)合很多數(shù)學(xué)知識來考

察，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)掌握的數(shù)學(xué)知識將問題轉(zhuǎn)化為前面4種題型里的一種

來處理.

22

【遷移訓(xùn)練】設(shè)橢圓c：+金=1（。>>0）恒過定點4（1,2）,則橢圓的中心到

準(zhǔn)線的距離的最小值

【解析］由題設(shè)知3+之=1,，/=當(dāng)一，.?.橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離d=4,

aha"-1c

444

由屋=一="^=a2（a2-l）

2222

ca-b22a2a-5

a—；—

a2-l

令a?一5=/>0）得/=（'+5）?+4）=/+義+929+4后,（當(dāng)且僅當(dāng)/=26時

取等號）

...d22+百即橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值2+V5

題型6.與基本不等式有關(guān)的實際問題

例6按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該

產(chǎn)品的單價為加元,則他的滿意度為由；若他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價為〃元,則他

的滿意度為白,如果一個人對兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h、和九，

n+a

則他對這兩種交易的綜合滿意度為，蔽.

現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)46兩種產(chǎn)品的單價成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)4B

兩種產(chǎn)品的單價成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品46的單價分別為阿元和加?

元，甲買進(jìn)力與賣出8的綜合滿意度為力甲，乙賣出/與買進(jìn)8的綜合滿意度為

h乙.

3

⑴求力甲和力乙關(guān)于例”派的表達(dá)式；當(dāng)m產(chǎn)三/如時，求證：力用=力乙；

0

3

(2)設(shè)㈤=三期，當(dāng)如，期分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？

最大的綜合滿意度為多少？

(3)設(shè)⑵中的最大綜合滿意度為九，試問能否適當(dāng)選取見，助的值，使得力

用2%和力乙2々同時成立，但等號不同時成立？試說明理由.

［解析】設(shè)m尸x,mB=y.

12

(1)證明：甲買進(jìn)產(chǎn)品/的滿意度：

XIJL乙

甲賣出產(chǎn)品8的滿意度f產(chǎn)本.

12y

甲買進(jìn)產(chǎn)品/和賣出產(chǎn)品的綜合滿意度：h=

6vx+12?y+5；

同理，乙賣出產(chǎn)品A和買進(jìn)產(chǎn)品8的綜合滿意度:

3」rn-

當(dāng)x=時，力甲=、/干r木

h用=h乙.

320y

⑵當(dāng)x=~y時，由(1)知力甲=力乙=，因為

07+20y+5

20y204

且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)尸10.

y+20y+5-ioo~-

y+一+25

y

當(dāng)尸10時，x=6,因此，當(dāng)0產(chǎn)6,%=10時，甲、乙兩人的綜合滿意度

2

均最大，且最大的綜合滿意度為5.

O

2

(3)由(2)知力0=鼻,

O

\2yx20

為力甲

h乙x+12y+5x+37+20

4

1220-

009

,36,~y25

x+—+I5

x

222

所以，當(dāng)力甲2鼻，力乙2鼻時，有力甲=力乙=鼻.

OOO

因此，不能取到隔，期的值，使得力用2Al和力乙2九同時成立，但等號不同

時成立.

【點評】本題中的關(guān)鍵是對題干中的“滿意度”和“綜合滿意度”的理解，建

dx

立好對應(yīng)的函數(shù)模型后，對于形如尸二+Ja,斤0）這樣的函數(shù)，可以用

基本不等式求解值域.

【遷移訓(xùn)練】心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況后發(fā)現(xiàn)：若這位學(xué)生剛學(xué)完

4

的知識存留量為1