2025-2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑期訓(xùn)練營(yíng)學(xué)習(xí)專輯（人教版）1/1初三數(shù)學(xué)專題（2）科目/班級(jí)初三數(shù)學(xué)授課老師上課日期課時(shí)教學(xué)內(nèi)容二次函數(shù)y=a(x＋h)2＋k,y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像及性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)二次函數(shù)(頂點(diǎn)式、一般式）的圖像及性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)一般式轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)式，圖像與系數(shù)的關(guān)系【前課回顧】1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列二次函數(shù)的圖像：y＝x2，y＝x2＋2，y＝(x+3)2觀察三條拋物線的位置關(guān)系，并分別指出開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)2.將下列式子因式分解：（1）a2+2ab+b2=____________;

(2)a2-2ab+b2=____________.【新知講授】二次函數(shù)的（頂點(diǎn)式）y=a(x＋h)2＋k（a≠0）的圖像及性質(zhì)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝x2，y＝(x+3)2，y＝(x+3)2+2的圖像發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=(x+3)2+2的圖像是一條開口的；函數(shù)y=(x+3)2+2與y＝x2開口大?。豁旤c(diǎn)坐標(biāo)是_________；對(duì)稱軸是______；當(dāng)x<-3時(shí)，y隨x增大而；當(dāng)x>-3時(shí)，y隨x增大而；當(dāng)x=-3時(shí)，y的值最，最值是。二次函數(shù)y＝(x+3)2+2，可由拋物線y＝x2先向平移個(gè)單位，再向平移個(gè)單位得到。小結(jié)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x＋h)2＋k（a≠0）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（,）；平移規(guī)律：（括號(hào)外）上下；（括號(hào)內(nèi)）左右。歸納：二次函數(shù)（頂點(diǎn)式）y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的圖像及性質(zhì)y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）a>0a<0圖像開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性最值二次函數(shù)（一般式）y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像及性質(zhì)配方化成a(x+h)2+k的形式：（1）x2-12x+36=_____________;

（2）x2-12x=_____________

.1畫出二次函數(shù)（一般式）y=x2-6x+21的圖像1將二次函數(shù)（一般式）y=x2-6x+21轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸將二次函數(shù)（一般式）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸小結(jié)：y=ax2＋bx＋c（a≠0）轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式為。頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），對(duì)稱軸是。歸納:二次函數(shù)（一般式）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像及性質(zhì)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）a>0a<0圖像開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性最值二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像與a、b、c的關(guān)系問題1

一次函數(shù)y=kx+b的圖象如下圖所示，請(qǐng)根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)填空.k1

0，b1

0；k2

0，b2

0；k3

0，b3

0.問題2

二次函數(shù)的圖象如下圖所示，請(qǐng)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)填空.a1

0，b1

0，c1

0；a2

0，b2

0，c2

0；a3

0，b3

0，c3

0；a4

0，b4

0，c4

0；問題1

＜

＞

＞

＜

＞

＞問題2

＞

＞

＞

＞

＜

=

＜

=

＞

＜

＞

＜?xì)w納：字母符號(hào)圖像的特征a＞0開口__________a＜0開口__________b=0對(duì)稱軸為_____a、b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸的____側(cè)a、b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸的____側(cè)c=0必定經(jīng)過點(diǎn)c＞0與y軸交于_____半軸c＜0與y軸交于_____半軸a＞0，開口向上，a＜0，開口向下；b=0，對(duì)稱軸為y軸；a、b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a、b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；c=0，圖象經(jīng)過原點(diǎn)；c＞0，與y軸交于正半軸，c＜0，與y軸交于負(fù)半軸.【經(jīng)典例題】例1二次函數(shù)的（頂點(diǎn)式）y=a(x＋h)2＋k（a≠0）的圖像及性質(zhì)（1）直接寫出以下二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)①y=2(x+3)2+5②y=-3(x-1)2-2③y=4(x-3)2+7④y=-5(x+2)2-6（2）把拋物線y=－3x2先向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，那么所得拋物線是

.（3）拋物線y=－3x2+2的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線的解析式為

.（4）已知二次函數(shù)y＝a(x－1)2－4的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，0).①求a的值；②若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，求m、n之間的數(shù)量關(guān)系．(1)將(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根據(jù)題意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y(tǒng)2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化簡(jiǎn)，得2m＋n＝2；方法二：∵函數(shù)y＝(x－1)2－4的圖象的對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)(1，－4)，且平行于y軸的直線，∴m＋n－1＝1－m，化簡(jiǎn)，得2m＋n＝2.例2二次函數(shù)（一般式）y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像及性質(zhì)（1)將下列二次函數(shù)的一般式用配方法化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+h)2+k的形式，并指出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．①y=x2-2x+1；

②y=2x2-4x+6．（2)寫出下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)①y=3x2+2x②y=-x2-2x1③y=-2x2+8x-8④y=x2-4x+3（3）已知拋物線y＝－2x2－5x＋7.①求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？③當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減??？例3二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像與a、b、c的關(guān)系已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4D

【解析】由圖象開口向下可得a＜0，由對(duì)稱軸在y軸左側(cè)可得b＜0，由圖象與y軸交于正半軸可得c＞0，則abc＞0，故①正確；由對(duì)稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確；由圖象上橫坐標(biāo)為

x＝－2的點(diǎn)在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確；由圖象上x＝1的點(diǎn)在第四象限得a＋b＋c＜0，由圖象上x＝－1的點(diǎn)在第二象限得出

a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．【當(dāng)堂檢測(cè)】1（★）二次函數(shù)y＝－(x＋3)2＋1的圖像的開口_____，對(duì)稱軸是_____________，此函數(shù)有最____值，最值為___．當(dāng)x_______時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x______時(shí)，y隨x的增大而減小．該函數(shù)圖像可以看成是由函數(shù)y＝－x2的圖像向____平移____個(gè)單位長(zhǎng)度，再向____平移___個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．2（★）二次函數(shù)y＝2(x＋2)2－1的圖像是（）AABCD3（★）下列二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)在x軸上的是()A.y＝x2＋1 B.y＝x2＋2xC.y＝－x2＋2x＋1D.y＝－x2＋2x－14（★）若點(diǎn)A(－1，m)和點(diǎn)B(－2，n)都在拋物線y＝(x－3)2＋2上，則m與n的大小關(guān)系為m________n．(填“＜”或“＞”)5（★）已知二次函數(shù)y＝2(x－3)2＋1.下列說法：①其圖像的開口向下；②其圖像的對(duì)稱軸為直線x＝－3；③其圖像頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，－1)；④當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓_的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)6（★）二次函數(shù)y=-x2+3x-2圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為?！倦S堂練習(xí)】（選講）1（★★）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝－(x－5)2＋11，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，則m－n＝________.2（★★）若把拋物線y=x2+bx+c向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得拋物線y=x2-2x+1,則b=,c=?！眷柟叹毩?xí)】1（★）確定以下函數(shù)的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，畫出草圖圖并求最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5y=(x+1)(2-x)y=12(x+2)2-2y=12(x-1)22（★）若點(diǎn)A(-2,y1)B(1,y2)C(3,y3)是二次函數(shù)y=ax2-ax+c(a,c為常數(shù)，且a＜0)圖像上的三個(gè)點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是。3（★）已知二次函數(shù)y=-x2+6x-5,當(dāng)1＜x＜4時(shí)，則函數(shù)值y的取值范圍是。4（★）把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿x軸向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0），原拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式？5（★）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像過點(diǎn)（-2,0），對(duì)稱軸為直線x=1,可得哪些結(jié)論？6（★）已知拋物線y=2x2-12x+13.（1）當(dāng)x為何值