第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔尖子生篇《集合》一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?洪山區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，則{x|x≥2}＝（）A．?U（M∪N） B．N∪?UM C．?U（M∩N） D．M∪?UN2．（2024?湖北模擬）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定義集合運(yùn)算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，則集合A*B的所有元素之和為（）A．6 B．3 C．2 D．03．（2024春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合A＝{0，1，2，3，5}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，則A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{0，3，5} C．{3，5} D．{5}4．（2024?葫蘆島二模）已知集合A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{x|1≤x＜3}，則A∩B＝（）A．[1，2] B．（1，2] C．（﹣3，3） D．[2，3）5．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)max{a，b}表示a與b的最大值．若x，y都是正數(shù)，z=max{x+y，1x+A．22 B．3 C．8 6．（2024春?保定期末）定義：若集合A，B滿足A∩B≠?，存在a∈A且a?B，且存在b∈B且b?A，則稱集合A，B為嵌套集合．已知集合A＝{x|2x﹣x2≤0且x∈R+}，B＝{x|x2﹣（3a+1）x+2a2+2a＜0}．若集合A，B為嵌套集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（2，3） B．（﹣∞，1） C．（1，3） D．（1，2）7．（2024春?昌平區(qū)期末）已知集合A＝{（x1，x2，?，x10）|xi＝1或0，i＝1，2，?，10}，對(duì)于集合A中的任意元素p＝（p1，p2，?，p10）和q＝（q1，q2，?，q10），記M(p，q)=12[(p1+q1?|p1?q1|)+(p2+q2A．10 B．11 C．1023 D．10248．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}，則集合A∩B＝（）A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．?9．（2024?浙江學(xué)業(yè)考試）設(shè)A＝{1，2，3，4，5，6}，若方程x2﹣bx﹣c＝0滿足b，c屬于A，且方程至少有一根屬于A，稱該方程為“漂亮方程”，則“漂亮方程”的總個(gè)數(shù)為（）A．8 B．10 C．6 D．510．（2024春?開福區(qū)校級(jí)月考）已知集合I?{a|a＝（x，y），x，y∈R}，若對(duì)于任意m，n∈I，以及任意λ∈[0，1]，滿足λm+（1﹣λ）n∈I，則稱集合I為“類圓集”．下列說(shuō)法正確的是（）A．集合A＝{a|a＝（x，y），y≥x3}為“類圓集” B．集合B＝{a|a＝（x，y），y≤lnx}為“類圓集” C．集合C＝{a|a＝（x，y），y≥x2}不為“類圓集” D．若A，B都是“類圓集”，則A∪B也一定是“類圓集”二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?歷城區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于R的兩個(gè)非空子集A，B，定義運(yùn)算A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，則（）A．A×B＝B×A B．A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C） C．若A?C，則（A×B）?（C×B） D．A×A表示一個(gè)正方形區(qū)域（多選）12．（2024?宜春模擬）已知A?R，如果實(shí)數(shù)x0滿足對(duì)任意的a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，則稱x0為集合A的“開點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開點(diǎn)”的集合有（）A．{x|x≠0，x∈R} B．{x|x≠0，x∈Z} C．{y|y=1x，x∈（多選）13．（2024春?6月份月考）群的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用．設(shè)G是一個(gè)非空集合，“°”是一個(gè)適用于G中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱G對(duì)“°”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若a，b∈G，則存在唯一確定的c∈G，使得c＝a°b；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a，b，c都有（a°b）°c＝a°（b°c）；（3）單位元存在，即存在e∈G，對(duì)任意a∈G，滿足a°e＝e°a＝a，則e稱為單位元；（4）逆元存在，即任意a∈G，存在b∈G，使得a°b＝b°a＝e，則稱a與b互為逆元．根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．G＝{﹣1，1}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群 B．G＝{2m|m∈Z}和G={2m+C．G={x|x=1kD．平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積構(gòu)成群（多選）14．（2024春?重慶期末）設(shè)M，N都是不小于3的整數(shù)，當(dāng)i＝1，2，…，M+1時(shí)，xi∈{1，2，…，N}，設(shè)集合A＝{（xi，xi+1）|xi≠xi+1，i＝1，2，?，M}，如果（a，b）∈A與（b，a）∈A不能同時(shí)成立，則（）A．若M＝N＝x1＝3，則A＝{（3，1），（1，2），（2，3）}或{（3，2），（2，1），（1，3）} B．若N＝4，則M的可能取值為3或4或5 C．若N的值確定，則M=1D．若N為奇數(shù)，則M的最大值為1（多選）15．（2024春?廣州期末）已知函數(shù)f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）≤0}，集合B={x|f(f(x))≤54}，若A＝B≠?A．2 B．3 C．4 D．5三．填空題（共5小題）16．（2024春?吉林期末）已知集合M＝{1，2，3，…，1995}，A是M的子集，當(dāng)x∈A時(shí)，19x?A，則集合A元素個(gè)數(shù)的最大值為．17．（2023秋?源匯區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于集合M，N，定義M﹣N＝{x|x∈M且x?N}，M⊕N＝（M﹣N）∪（N﹣M），設(shè)A={x|x≥?94，x∈R}，B＝{x|x＜0，x∈R}，則A⊕B18．（2024春?福州期末）定義∏(A)為集合A中所有元素的乘積，規(guī)定：只有一個(gè)元素時(shí)，乘積即為該元素本身，已知集合M={?23，54，1，3，7，8，?12}，集合M的所有非空子集依次記為M1、19．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知n是大于3的正整數(shù)，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正n邊形P1P2?Pn內(nèi)接于單位圓．若集合S＝{P||PO|≤|PPi|，i＝1，2，?，n}，則集合S表示的平面區(qū)域的面積為．（結(jié)果用n表示）20．（2024春?廣東月考）若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個(gè)元素，且任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集．已知集合，記An＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥3），記An的超子集的個(gè)數(shù)為an，當(dāng)An的超子集個(gè)數(shù)為221個(gè)時(shí)，n＝．四．解答題（共5小題）21．（2024?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知集合A＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*）．對(duì)于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)于S中的任意一對(duì)元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，則稱S具有性質(zhì)P．（Ⅰ）當(dāng)n＝10時(shí)，試判斷集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由．（Ⅱ）當(dāng)n＝1000時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由．（Ⅲ）當(dāng)n＝1000時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值．22．（2024春?渭濱區(qū)期末）設(shè)A＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，B＝{x|（x+4）x（x?12）＝0，x∈Z}．若A∩B＝A，求23．（2024春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．（1）若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．24．（2024春?濰坊期末）已知集合M＝{a1，a2，…，an}（n≥3且n∈N*）的元素均為正整數(shù)，對(duì)于M的任意兩個(gè)非空子集A，B，如果A中所有元素之和與B中所有元素之和不相等，就稱M具有性質(zhì)R．（1）判斷以下兩個(gè)集合是否具有性質(zhì)R，并說(shuō)明理由；M1＝{1，2，4，6，9}，M2＝{1，3，5}．（2）已知M具有性質(zhì)R．證明：①?k≤n，i=1kai≥2k﹣1，k∈N②i=1n25．（2024春?沈陽(yáng)期末）設(shè)集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求A∩B，A∪B．（2）若B?A，求m的取值范圍．

2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔尖子生篇《集合》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?洪山區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，則{x|x≥2}＝（）A．?U（M∪N） B．N∪?UM C．?U（M∩N） D．M∪?UN【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別算出各選項(xiàng)中的集合，與{x|x≥2}對(duì)照即可得到本題的答案．【解答】解：由M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，得?UM＝{x|x≥1}，?UN＝{x|x≤﹣1或x≥2}，M∪N＝{x|x＜2}，M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，所以?U（M∪N）＝{x|x≥2}，N∪?UM＝{x|x＞﹣1}，?U（M∩N）＝{x|x≤﹣1或x≥1}，M∪?UN＝{x|x＜1或x≥2}．對(duì)照各選項(xiàng)，只有A符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的表示法、集合的運(yùn)算及其應(yīng)用等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?湖北模擬）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定義集合運(yùn)算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，則集合A*B的所有元素之和為（）A．6 B．3 C．2 D．0【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)A*B的定義即可求出A*B的元素，從而得解．【解答】解：因?yàn)锳*B＝{0，2，4}，所以集合A*B的所有元素之和為6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合的關(guān)系，A*B的定義，是基礎(chǔ)題．3．（2024春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合A＝{0，1，2，3，5}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，則A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{0，3，5} C．{3，5} D．{5}【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由不等式x2﹣2x＞0，解得x＞2或x＜0，再運(yùn)用集合的交集即可．【解答】解：由不等式x2﹣2x＞0，解得x＞2或x＜0，則集合{x|x＞2或x＜0}，又A＝{0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?葫蘆島二模）已知集合A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{x|1≤x＜3}，則A∩B＝（）A．[1，2] B．（1，2] C．（﹣3，3） D．[2，3）【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{x|1≤x＜3}，則A∩B＝[1，2]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)max{a，b}表示a與b的最大值．若x，y都是正數(shù)，z=max{x+y，1x+A．22 B．3 C．8 【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】依題意得z≥x+y，z≥1x+【解答】解：因?yàn)閦=max{x+y，1x+又x，y都是正數(shù)，所以z2當(dāng)且僅當(dāng)yx=4xy時(shí)，即所以z≥3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．6．（2024春?保定期末）定義：若集合A，B滿足A∩B≠?，存在a∈A且a?B，且存在b∈B且b?A，則稱集合A，B為嵌套集合．已知集合A＝{x|2x﹣x2≤0且x∈R+}，B＝{x|x2﹣（3a+1）x+2a2+2a＜0}．若集合A，B為嵌套集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（2，3） B．（﹣∞，1） C．（1，3） D．（1，2）【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用；由一元二次不等式的解求參數(shù)；冪函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】結(jié)合指數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)先求出集合A，結(jié)合二次不等式的求法解出集合B，然后結(jié)合定義即可求解．【解答】解：由題意可得，A≠?，B≠?，由2x﹣x2≤0，得2x≤x2，如圖，作出函數(shù)y＝x2，y＝2x的圖象，則不等式2x﹣x2≤0（x＞0）的解集為[2，4]，所以A＝[2，4]，由x2﹣（3a+1）x+2a2+2a＜0，得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，當(dāng)2a＝a+1，即a＝1時(shí)，則B＝?，不符合題意；當(dāng)2a＞a+1，即a＞1時(shí)，則B＝（a+1，2a），由a＞1，得a+1＞2，根據(jù)嵌套集合的定義可得a＞1a+1＜42a＞4，解得2＜當(dāng)2a＜a+1，即a＜1時(shí)，則B＝（2a，a+1），由a＜1，得2a＜2，根據(jù)嵌套集合的定義可得a＜1a+1＜4綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，3）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，集合的基本運(yùn)算，屬于中檔題．7．（2024春?昌平區(qū)期末）已知集合A＝{（x1，x2，?，x10）|xi＝1或0，i＝1，2，?，10}，對(duì)于集合A中的任意元素p＝（p1，p2，?，p10）和q＝（q1，q2，?，q10），記M(p，q)=12[(p1+q1?|p1?q1|)+(p2+q2A．10 B．11 C．1023 D．1024【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；邏輯推理．【答案】B【分析】分析可得當(dāng)pi和qi同時(shí)為1時(shí)，(pi+qi)?|pi?qi|2=1，當(dāng)pi和qi至少有一個(gè)為0時(shí)，(pi【解答】解：依題意，對(duì)于A中元素p＝（p1，p2，?，p10）和q＝（q1，q2，?，q10），當(dāng)pi和qi同時(shí)為1時(shí)，(p當(dāng)pi和qi至少有一個(gè)為0時(shí)，(p要使得A的一個(gè)子集B中任兩個(gè)不同元素p、q均滿足M（p，q）＝0，設(shè)集合B中的元素記為（x1，x2，?，x10），則B的所有元素的xi（i＝1，2，3，…，10）位置至多有1個(gè)1，若xi（i＝1，2，3．…，10）位置為1，其它位置為0的元素有10個(gè)，若xi（i＝1，2，3，…，10）全為0的有1個(gè)，綜上B中元素最多有10+1＝11個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于難題．8．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}，則集合A∩B＝（）A．{﹣1} B．{1} C．{﹣1，1} D．?【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】利用集合的交集運(yùn)算求解即可．【解答】解：集合B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}＝{?，﹣5，﹣1，3，7，11，?}，集合A＝{﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{﹣1}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?浙江學(xué)業(yè)考試）設(shè)A＝{1，2，3，4，5，6}，若方程x2﹣bx﹣c＝0滿足b，c屬于A，且方程至少有一根屬于A，稱該方程為“漂亮方程”，則“漂亮方程”的總個(gè)數(shù)為（）A．8 B．10 C．6 D．5【考點(diǎn)】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】分類討論；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由已知定義，結(jié)合元素與集合關(guān)系對(duì)c的值進(jìn)行分類討論，即可求解．【解答】解：先把c分解成兩個(gè)正因數(shù)，這兩個(gè)正因數(shù)的差就是b；c＝2時(shí)，有2×1＝2，b＝2﹣1＝1，則漂亮方程為x2﹣x﹣2＝0；c＝3時(shí)，有3×1＝3，b＝3﹣1＝2，則漂亮方程為x2﹣2x﹣3＝0；c＝4時(shí)，有4×1＝4，b＝4﹣1＝3，則漂亮方程為x2﹣3x﹣4＝0，c＝5時(shí)，有5×1＝5，b＝5﹣1＝4，則漂亮方程為x2﹣4x﹣5＝0；c＝6時(shí)，有6×1＝6，b＝6﹣1＝5，則漂亮方程為x2﹣5x﹣6＝0，同時(shí)，有2×3＝6，b＝3﹣2＝1，則漂亮方程為x2﹣x﹣6＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了元素與集合關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024春?開福區(qū)校級(jí)月考）已知集合I?{a|a＝（x，y），x，y∈R}，若對(duì)于任意m，n∈I，以及任意λ∈[0，1]，滿足λm+（1﹣λ）n∈I，則稱集合I為“類圓集”．下列說(shuō)法正確的是（）A．集合A＝{a|a＝（x，y），y≥x3}為“類圓集” B．集合B＝{a|a＝（x，y），y≤lnx}為“類圓集” C．集合C＝{a|a＝（x，y），y≥x2}不為“類圓集” D．若A，B都是“類圓集”，則A∪B也一定是“類圓集”【考點(diǎn)】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)抽象．【答案】B【分析】利用共線定理可知對(duì)于任意OM→，ON→∈I，線段MN上一點(diǎn)D，都有OD→∈I，則集合I為“類圓集”，結(jié)合“類圓集”定義分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤，再舉出反例A＝{a|a＝（x，y），y＝x}，B＝{a|a＝（x，y【解答】解：設(shè)m→=OM→，則OD→?ON→=λOM→由題意可得，若對(duì)于任意OM→，ON→∈I，線段MN上一點(diǎn)D對(duì)于A，集合A＝{a|a＝（x，y），y≥x3}，若對(duì)于任意的P（x1，y1），Q（x2，y2）滿足y1≥x函數(shù)y＝x3如下圖，顯然線段PQ上任意一點(diǎn)D（x3，y3），不一定滿足y3圖中所示y3＜x故集合A＝{a|a＝（x，y），y≥x3}不為“類圓集”，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若B＝{a|a＝（x，y），y≤lnx}，對(duì)于任意的G（x4，y4），H（x5，y5）滿足y4≤lnx4，y5≤lnx5，則OG→函數(shù)y＝lnx如下圖，顯然線段GH上任意一點(diǎn)E（x6，y6），都有y6≤lnx6，即OD→故可得集合B＝{a|a＝（x，y），y≤lnx}為“類圓集”，即B正確；對(duì)于C，集合C＝{a|a＝（x，y），y≥x2}，對(duì)于任意的R（x7，y7），S（x8，y8）滿足y7≥x函數(shù)y＝x2如下圖，顯然線段RS上任意一點(diǎn)T（x9，y9），都有y9≥x故可知集合C＝{a|a＝（x，y），y≥x2}為“類圓集”，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若A，B都是“類圓集”，不妨取A＝{a|a＝（x，y），y＝x}，B＝{a|a＝（x，y），y＝﹣x}；對(duì)于任意的P1（x1′，y1′），Q1（x2′，y2′）滿足y1′＝x1′，y2′＝x2′，則OP函數(shù)y＝x如下圖，顯然線段P1Q1上任意一點(diǎn)D1（x3′，y3′）都有y3′＝x3′，即OD故A＝{a|a＝（x，y），y＝x}為“類圓集”，同理可得B＝{a|a＝（x，y），y＝﹣x}也為“類圓集”；而A∪B的圖象如下：顯然OR1→，OS1→∈A∪B，但線段R1S1上任意一點(diǎn)T1不滿足y即A∪B不一定是“類圓集”，即D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了元素與集合關(guān)系，集合基本運(yùn)算的應(yīng)用，屬于難題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?歷城區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于R的兩個(gè)非空子集A，B，定義運(yùn)算A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，則（）A．A×B＝B×A B．A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C） C．若A?C，則（A×B）?（C×B） D．A×A表示一個(gè)正方形區(qū)域【考點(diǎn)】子集與真子集；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】根據(jù)新定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由題意知，A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}表示以數(shù)集A中的數(shù)為橫坐標(biāo)，數(shù)集B中的數(shù)為縱坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，故A×B≠B×A，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)锳×（B∩C）＝{（x，y）|x∈A，y∈（B∩C）}，又（A×B）∩（A×C）＝{（x，y）|x∈A，y∈B}∩{（x，y）|x∈A，y∈C}，所以A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C），則選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若A?C，則（A×B）?（C×B），故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若A＝{1}，集合A×A只包含一個(gè)點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合新定義，屬于中檔題．（多選）12．（2024?宜春模擬）已知A?R，如果實(shí)數(shù)x0滿足對(duì)任意的a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，則稱x0為集合A的“開點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開點(diǎn)”的集合有（）A．{x|x≠0，x∈R} B．{x|x≠0，x∈Z} C．{y|y=1x，x∈【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】綜合題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】由開點(diǎn)的定義和元素和集合的關(guān)系可求得結(jié)果．【解答】解：對(duì)于A，對(duì)任意的a＞0，存在x=a2，使得0＜|x?0|=a對(duì)于B，假設(shè)集合{x|x≠0，x∈Z}以0為“開點(diǎn)“，則對(duì)任意的a＞0，存在x∈{x|x≠0，x∈Z}，使得0＜|x﹣0|＜a，當(dāng)a=12時(shí)，該式不成立，故對(duì)于C，假設(shè)集合{y|y=1x，x∈N}以0為“開點(diǎn)“，則對(duì)任意的a使得0＜|y﹣0|＜a，故C正確；對(duì)于D，集合{y|y=xx+1，x∈N}＝{y|y＝1?1x+1，x∈N}，當(dāng)x∈a=14時(shí)y∈{y|y=xx+1，x∈N}，使得0＜|y故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．（多選）13．（2024春?6月份月考）群的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用．設(shè)G是一個(gè)非空集合，“°”是一個(gè)適用于G中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱G對(duì)“°”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若a，b∈G，則存在唯一確定的c∈G，使得c＝a°b；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a，b，c都有（a°b）°c＝a°（b°c）；（3）單位元存在，即存在e∈G，對(duì)任意a∈G，滿足a°e＝e°a＝a，則e稱為單位元；（4）逆元存在，即任意a∈G，存在b∈G，使得a°b＝b°a＝e，則稱a與b互為逆元．根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．G＝{﹣1，1}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群 B．G＝{2m|m∈Z}和G={2m+C．G={x|x=1kD．平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積構(gòu)成群【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】分類討論；定義法；集合；邏輯推理．【答案】CD【分析】根據(jù)“°”運(yùn)算的定義，結(jié)合集合中元素與集合的關(guān)系判斷，逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，?a、b∈G，有a×b∈G，且滿足（a×b）×c＝a×（b×c）（乘法結(jié)合律）；?e＝1∈G，使得?a∈G，有1×a＝a×1＝a；?a∈G，?a∈G，有a×a＝a×a＝1，即G＝{﹣1，1}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群，故A正確；對(duì)于B，若G＝{2m|m∈Z}，即G為所有偶數(shù)組成的集合，?a、b∈G，有a+b∈G，且滿足（a+b）+c＝a+（b+c）（加法結(jié)合律），?e＝0∈G，使得?a∈G，有0+a＝a+0＝a；?a∈G，?﹣a∈G，有a+（﹣a）＝（﹣a）+a＝0，故G＝{2m|m∈Z}關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群；若G={2m+3n|m，n∈Z}，設(shè)a=2m1+3n1，b=2m2+則a+b=2且對(duì)?a，b，c∈G滿足（a+b）+c＝a+（b+c），當(dāng)m＝n＝0時(shí)，2m+3n=0?a=2m+3n∈G，?b=?2m?3n∈G，使故G={2m+3對(duì)于C，因?yàn)閍=12∈G，且b＝3∈G，但a×b=對(duì)于D，設(shè)G為平面向量集，?a→、b→∈G，但是a→．b故平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積不構(gòu)成群，故D錯(cuò)誤．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合關(guān)系，屬于中檔題．（多選）14．（2024春?重慶期末）設(shè)M，N都是不小于3的整數(shù)，當(dāng)i＝1，2，…，M+1時(shí)，xi∈{1，2，…，N}，設(shè)集合A＝{（xi，xi+1）|xi≠xi+1，i＝1，2，?，M}，如果（a，b）∈A與（b，a）∈A不能同時(shí)成立，則（）A．若M＝N＝x1＝3，則A＝{（3，1），（1，2），（2，3）}或{（3，2），（2，1），（1，3）} B．若N＝4，則M的可能取值為3或4或5 C．若N的值確定，則M=1D．若N為奇數(shù)，則M的最大值為1【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；邏輯推理．【答案】ABD【分析】根據(jù)題中的定義，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【解答】解：對(duì)A，當(dāng)N＝3，則xi∈{1，2，3}，i＝1，2，3，4，則A＝{（x1，x2），（x2，x3），（x3，x4）}，則x2可取1或2，由于（a，b）∈A，（b，a）∈A不能同時(shí)成立，則A＝{（3，1），（1，2），（2，3）}或（（3，2），（2，1），（1，3）}，故A成立；對(duì)B，當(dāng)N＝4時(shí)，則xi∈{1，2，3，4}，設(shè)x1＝1，則A可以是（（1，2），（2，3），（3，4）}或（1，2），（2，3），（3，4），（4，1）}或（1，2），（2，3），（3，4），（4，1），（1，3）}，所以M的值可以是3，4，5，故B成立；對(duì)D，因?yàn)椋╝，b），（b，a）不能同時(shí)出現(xiàn)，所以滿足條件的數(shù)對(duì)至多CN2，則下面歸納說(shuō)明奇數(shù)時(shí)候能取等，N＝3已證，若N＝2k﹣1時(shí)候存在一個(gè)長(zhǎng)為C2k?1不妨首項(xiàng)為1，設(shè)數(shù)列為1，x2，…，xC當(dāng)N＝2k+1時(shí)，在數(shù)列1，x2，…，xC2k?12（在1，2，3，…2k中插空，交替插入2k+1，2k）1，2k+1，2，2k，3，2k+1，4，2k，…，2k，2k﹣1，2k+1，2k，則新生成的數(shù)列共有4k?1+c2k?12+1=c故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于難題．（多選）15．（2024春?廣州期末）已知函數(shù)f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）≤0}，集合B={x|f(f(x))≤54}，若A＝B≠?A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】集合的相等．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】由題意可得b=54，集合B可化為（x2+ax+54）（x2+ax【解答】解：設(shè)集合A＝{x∈R|f（x）≤0}＝{x|x2+ax+b≤0}，由f（f（x））≤54，即（x2+ax+b）2+a（x2+ax+b）+b?A＝B≠?，可得b=5且①為（x2+ax+54）（x2+ax+a可得a2﹣4×54≥0且a2﹣4（即為a≥5解得5≤a故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的相等與不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題．三．填空題（共5小題）16．（2024春?吉林期末）已知集合M＝{1，2，3，…，1995}，A是M的子集，當(dāng)x∈A時(shí)，19x?A，則集合A元素個(gè)數(shù)的最大值為1895．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】分類討論；定義法；集合；邏輯推理．【答案】1895．【分析】根據(jù)已知構(gòu)造抽屜，再根據(jù)當(dāng)x∈A時(shí)，19x?A求解即可．【解答】解：先構(gòu)造抽屜：{6，114}，{7，133}，…，{105，1995}，{1，2，3，4，5，106，107，…，1994}．使前100個(gè)抽屜中恰均只有2個(gè)數(shù)，且只有1個(gè)數(shù)屬于A，可從集合M中去掉前100個(gè)抽屜中的數(shù)，剩下1995﹣100×2＝1795個(gè)數(shù)，作為第101個(gè)抽屜．現(xiàn)從第1至100個(gè)抽屜中取較大的數(shù)，和第101個(gè)抽屜中的數(shù)，組成集合A，于是A＝{1，2，3，4，5，106，107，…，1995}，滿足A包含于M，且當(dāng)x∈A時(shí)，19x?A．所以card（A）的最大值為1995﹣100＝1895．故答案為：1895．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合關(guān)系，屬于中檔題．17．（2023秋?源匯區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于集合M，N，定義M﹣N＝{x|x∈M且x?N}，M⊕N＝（M﹣N）∪（N﹣M），設(shè)A={x|x≥?94，x∈R}，B＝{x|x＜0，x∈R}，則A⊕B＝{x|x≥0或x【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】{x|x≥0或x＜?9【分析】根據(jù)定義，先求出A﹣B和B﹣A，然后利用M⊕N的定義求A⊕B即可．【解答】解：∵A＝{x|x≥?94}，B＝{x|∴A﹣B＝{x|x≥?94且x≥0}＝{x|x≥0}，B﹣A＝{x|x＜?94且x＜0}＝{x∴A⊕B＝{x|x≥0}∪{x|x＜?94}＝{x|x≥0或x故答案為：{x|x≥0或x＜?9【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合新定義的應(yīng)用以及集合的基本運(yùn)算，利用數(shù)軸是解決此類問題的基本方法．18．（2024春?福州期末）定義∏(A)為集合A中所有元素的乘積，規(guī)定：只有一個(gè)元素時(shí)，乘積即為該元素本身，已知集合M={?23，54，1，3，7，8，?12}，集合M的所有非空子集依次記為M1、【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；集合思想；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】215．【分析】設(shè)f（x）＝（x?23）（x+54）（x+1）（x+3）（x+7）（x+8）（x?12），根據(jù)題意可知：集合【解答】解：設(shè)f（x）＝（x?23）（x+54）（x+1）（x+3）（x+7）（x則集合M的所有子集的乘積之和即為f（x）展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和減1，令x＝1，則展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為T＝（1?23）（1+5所以∏(M故答案為：215．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系，構(gòu)造法與賦值法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．19．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知n是大于3的正整數(shù)，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正n邊形P1P2?Pn內(nèi)接于單位圓．若集合S＝{P||PO|≤|PPi|，i＝1，2，?，n}，則集合S表示的平面區(qū)域的面積為n4tanπn【考點(diǎn)】集合的表示法．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】n4【分析】根據(jù)給定信息，確定集合S表示的平面區(qū)域，再結(jié)合三角形面積求解即得．【解答】解：由|PO|≤|PP1|，得點(diǎn)P在線段OP1的垂直平分線分平面含點(diǎn)O一側(cè)的區(qū)域，線段OP1的垂直平分線與線段OP2的垂直平分線交于點(diǎn)P12，線段OP2的垂直平分線與線段OP3的垂直平分線交于點(diǎn)P23，照此進(jìn)行，線段OPn的垂直平分線與線段OP1的垂直平分線交于點(diǎn)Pn1，集合S表示的平面區(qū)域是正n邊形P12P23P34?Pn1及內(nèi)部，其內(nèi)切圓半徑為12顯然∠P12OP23所以集合S表示的平面區(qū)域的面積為n4故答案為：n4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓位置關(guān)系，集合的表示方法，是中檔題．20．（2024春?廣東月考）若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個(gè)元素，且任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集．已知集合，記An＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥3），記An的超子集的個(gè)數(shù)為an，當(dāng)An的超子集個(gè)數(shù)為221個(gè)時(shí)，n＝11．【考點(diǎn)】子集與真子集．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】11．【分析】由超子集的定義分為兩類：第一類中不含有k+2，這類子集有ak+1個(gè)，第二類子集中含有k+2，這類子集為{1，2，3，?，k}的超子集與{k+2}的并集，共有ak+k個(gè)，建立ak+1和ak的關(guān)系，列舉即可求出．【解答】解：由超子集的定義：若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個(gè)元素，且任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集，可得集合{1，2，3，?，k，k+1，k+2}（k∈N*）的超子集可以分為兩類：第一類中不含有k+2，這類子集有ak+1個(gè)，第二類子集中含有k+2，這類子集為{1，2，3，?，k}的超子集與{k+2}的并集，共有ak+k個(gè)，∴ak+2＝ak+1+ak+k，∵a3＝1，a4＝3，∴a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79，a10＝133，a11＝221．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問題，集合的子集，是中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知集合A＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*）．對(duì)于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)于S中的任意一對(duì)元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，則稱S具有性質(zhì)P．（Ⅰ）當(dāng)n＝10時(shí)，試判斷集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由．（Ⅱ）當(dāng)n＝1000時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由．（Ⅲ）當(dāng)n＝1000時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值．【考點(diǎn)】子集的判斷與求解．【專題】函數(shù)思想；綜合法；集合；數(shù)據(jù)分析．【答案】（Ⅰ）具有性質(zhì)P，理由見解答．?（Ⅱ）具有性質(zhì)P，理由見解答．?（Ⅲ）1333．【分析】（Ⅰ）當(dāng)n＝10時(shí)，集合A＝{1，2，3，…，19，20}，B＝{x∈A|x＞9}＝{10，11，12，…，19，20}，根據(jù)性質(zhì)P的定義可知其不具有性質(zhì)P；C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}，令m＝1＜10，利用性質(zhì)P的定義即可驗(yàn)證|c1﹣c2|≠1；（Ⅱ）當(dāng)n＝1000時(shí)，則A＝{1，2，3，…，1999，2000}，根據(jù)T＝{2001﹣x|x∈S}，任取t＝2001﹣x0∈T，其中x0∈S，可得1≤2001﹣x0≤2000，利用性質(zhì)P的定義加以驗(yàn)證即可說(shuō)明集合T＝{2001﹣x|x∈S}具有性質(zhì)P；（Ⅲ）設(shè)集合S有k個(gè)元素．由第（Ⅱ）問知，任給x∈S，1≤x≤2000，則x與2001﹣x中必有一個(gè)不超過(guò)1000，從而得到集合S與T中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò)1000，然后利用性質(zhì)P的定義進(jìn)行分析即可求得k+k2≤k+t≤2000，即k+【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)n＝10時(shí)，集合A＝{1，2，3，…，19，20}，B＝{x∈A|x＞9}＝{10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P．（1分）因?yàn)閷?duì)任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到該集合中兩個(gè)元素b1＝10與b2＝10+m，使得|b1﹣b2|＝m成立．（2分）集合C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}具有性質(zhì)P．（3分）因?yàn)榭扇＝1＜10，對(duì)于該集合中任意一對(duì)元素c1＝3k1﹣1，c2＝3k2﹣1，k1，k2∈N*都有|c1﹣c2|＝3|k1﹣k2|≠1．（4分）（Ⅱ）當(dāng)n＝1000時(shí)，則A＝{1，2，3，…，1999，2000}若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}一定具有性質(zhì)P．（5分）首先因?yàn)門＝{2001﹣x|x∈S}，任取t＝2001﹣x0∈T，其中x0∈S，因?yàn)镾?A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，從而1≤2001﹣x0≤2000，即t∈A，所以T?A．（6分）由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于1000的正整數(shù)m，使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m．對(duì)于上述正整數(shù)m，從集合T＝{2001﹣x|x∈S}中任取一對(duì)元素t1＝2001﹣x1，t2＝2001﹣x2，其中x1，x2∈S，則有|t1﹣t2|＝|x1﹣x2|≠m，所以集合T＝{2001﹣x|x∈S}具有性質(zhì)P．（8分）（Ⅲ）設(shè)集合S有k個(gè)元素．由第（Ⅱ）問知，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T＝{2001﹣x|x∈S}一定具有性質(zhì)P．任給x∈S，1≤x≤2000，則x與2001﹣x中必有一個(gè)不超過(guò)1000，所以集合S與T中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò)1000，不妨設(shè)S中有t(t≥k2)個(gè)元素b1，b2，…，由集合S具有性質(zhì)P，可知存在正整數(shù)m≤1000，使得對(duì)S中任意兩個(gè)元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+m?S．又bi+m≤1000+1000＝2000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，即集合A中至少有t個(gè)元素不在子集S中，因此k+k2≤k+t≤2000，所以k+當(dāng)S＝{1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}時(shí)，取m＝667，則易知對(duì)集合S中任意兩個(gè)元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠667，即集合S具有性質(zhì)P，而此時(shí)集合S中有1333個(gè)元素．因此集合S元素個(gè)數(shù)的最大值是1333．（14分）【點(diǎn)評(píng)】此題是中檔題．考查集合之間的包含關(guān)系的判斷方法，以及元素與集合之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是新定義題，在解題時(shí)注意對(duì)新概念的理解與把握是解題的關(guān)鍵，此題對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求較高，特別是對(duì)數(shù)的分析．22．（2024春?渭濱區(qū)期末）設(shè)A＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，B＝{x|（x+4）x（x?12）＝0，x∈Z}．若A∩B＝A，求【考點(diǎn)】集合交集關(guān)系的應(yīng)用．【專題】分類討論；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先求得集合B，利用分類討論方法分別求得集合A＝?，集合A中只有一個(gè)元素和集合A中有兩個(gè)元素時(shí)a的范圍，再綜合．【解答】解：∵（x+4）x（x?12）＝0，∴x＝﹣4，0，∵x∈Z，∴B＝{﹣4，0}，當(dāng)A＝?時(shí)，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＜0?a＜﹣1；當(dāng)集合A中只有一個(gè)元素時(shí)，Δ＝0?a＝﹣1，此時(shí)A＝{0}，滿足A∩B＝A；當(dāng)集合A中有兩個(gè)元素時(shí)Δ＞0?a＞﹣1，A＝{﹣4，0}?a＝1；綜上a的取值范圍a≤﹣1或a＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集的定義及其運(yùn)算，考查了分類討論思想，熟練掌握分類討論解答問題的步驟是解題的關(guān)鍵．23．（2024春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．（1）若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）(?∞，?2)∪(?2，?1（2）（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【分析】（1）由A∪B＝A得B?A，B＝?和B≠?時(shí)，求得結(jié)果．（2）若A∩B＝?，分成B＝?和B≠?時(shí)，可求得結(jié)果．【解答】解：（1）由A∪B＝A得B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，則有m+1＞2m+3，解得m＜﹣2；當(dāng)B≠?時(shí)，則有m+1≤2m+3m+1＞?1解得?2＜m＜?1所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(?∞，?2)∪(?2，?1（2）若A∩B＝?，則有當(dāng)B＝?時(shí)，則有m+1＞2m+3，解得m＜﹣2；當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m+3m+1≥2或m+1≤2m+3得m≥1或m＝﹣2，綜上：m≥1或m≤﹣2，即m取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于中檔題．24．（2024春?濰坊期末）已知集合M＝{a1，a2，…，an}（n≥3且n∈N*）的元素均為正整數(shù)，對(duì)于M的任意兩個(gè)非空子集A，B，如果A中所有元素之和與B中所有元素之和不相等，就稱M具有性質(zhì)R．（1）判斷以下兩個(gè)集合是否具有性質(zhì)R，并說(shuō)明理由；M1＝{1，2，4，6，9}，M2＝{1，3，5}．（2）已知M具有性質(zhì)R．證明：①?k≤n，i=1kai≥2k﹣1，k∈N②i=1n【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；集合；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）M1不具有性質(zhì)R；M2具有性質(zhì)R；（2）①證明見解析；②當(dāng)ak【分析】（1）根據(jù)集合M具有性質(zhì)R的定義結(jié)合反例可判斷兩個(gè)集合是否具有性質(zhì)P；（2）①根據(jù){a1，a2，?，ak}也具有性質(zhì)R及其子集的個(gè)數(shù)可證i=1k②不妨設(shè)a1＜a2＜?＜an，利用①的結(jié)論可證1+1【解答】解：（1）對(duì)于集合M1＝{1，2，4，6，9}，因?yàn)?＝2+4，故集合{6}，{2，4}的元素和相等，故M1不具有性質(zhì)R；對(duì)于M2＝{1，3，5}，其共有7個(gè)非空子集：{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，各集合的和分別為：1，3，5，4，6，8，9，它們彼此相異，故M2具有性質(zhì)R；（2）證明：因?yàn)閧a1，a2，?，an}具有性質(zhì)R，故對(duì)于任意的k，{a1，a2，?，ak}也具有性質(zhì)R，否則{a1，a2，?，ak}有兩個(gè)非空子集A，B，它們的元素和相等，而A，B也是{a1，a2，?，an}的子集，故{a1，a2，?，an}不具有性質(zhì)R，矛盾．注意到{a1，a2，?，ak}共有2k﹣1個(gè)非空子集，每個(gè)子集的元素和相異，且子集的和最大為a1+a2+?ak，最小為a1，故a1②假設(shè)集合M＝{a1，a2，?，an}具有性質(zhì)S，不妨設(shè)a1＜a2＜?an，1+1設(shè)ci=12i?1ai，則ci﹣ci+1而a＝c1D1+c2（D2﹣D1）+?+cn（Dn﹣Dn﹣1）＝（c1﹣c2）D1+（c2﹣c3）D2+?+（cn﹣1﹣cn）Dn﹣1+cnDn≥0，故1a當(dāng)且僅當(dāng)D1＝D2＝?＝Dn＝0時(shí)等號(hào)成立，即此時(shí)任意的正整數(shù)k，a1+a2+?+a故此時(shí)ak=2k?1時(shí)等號(hào)成立，故【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于與集合有關(guān)的新定義問題，注意根據(jù)定義檢驗(yàn)，另外在問題解決的過(guò)程中，注意局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的關(guān)系，注意利用已有的結(jié)果來(lái)解決后面的問題．考查了學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力，屬于難題．25．（2024春?沈陽(yáng)期末）設(shè)集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求A∩B，A∪B．（2）若B?A，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先分別求出集合A，B，由此能求出A∩B，A∪B．（2）由集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，2m＞m+3，當(dāng)B≠?時(shí)，2m≤m+32m＞1，由此能求出m【解答】解：（1）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．把m＝﹣1代入B中得：﹣2≤x≤2，即B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥﹣2}．（2）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B?A，∴當(dāng)B＝?時(shí)，2m＞m+3，解得m＞3，當(dāng)B≠?時(shí)，2m≤m+32m＞1，解得12綜上，m的取值范圍是（12【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集、并集的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集、補(bǔ)集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．集合的表示法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號(hào)分開．2．描述法：常用于表示無(wú)限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號(hào)或式子等描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說(shuō)圓圈），用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合．4．自然語(yǔ)言（不常用）．【解題方法點(diǎn)撥】在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應(yīng)用，Venn圖的應(yīng)用，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過(guò)程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示實(shí)數(shù)x的范圍；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或點(diǎn)的坐標(biāo)．【命題方向】本考點(diǎn)是考試命題?？純?nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡(jiǎn)易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識(shí)相結(jié)合．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對(duì)于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素．（3）無(wú)序性：集合于其中元素的排列順序無(wú)關(guān)．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過(guò)3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=?3由a=?32，得故a=?3點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．3．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗(yàn)證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號(hào)表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗(yàn)證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．4．元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過(guò)3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=?3由a=?32，得故a=?3點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．5．集合的相等【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說(shuō)這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．（3）對(duì)于兩個(gè)有限數(shù)集A＝B，則這兩個(gè)有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等；②兩個(gè)集合的元素之和相等；③兩個(gè)集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實(shí)質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個(gè)集合相等的依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個(gè)元素都在B中，而且B中的每一個(gè)元素都在A中．解題時(shí)往往只解答一個(gè)問題，忽視另一個(gè)問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個(gè)集合是不是同一個(gè)集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運(yùn)算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)出現(xiàn)在大題的一小問．6．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概念：1．如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過(guò)來(lái)，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說(shuō)集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)相結(jié)合命題．7．子集與真子集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對(duì)于子集來(lái)說(shuō)的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說(shuō)如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國(guó)家的集合是地球上所有國(guó)家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個(gè)集合中的全部元素是另一個(gè)集合中的元素，有可能與另一個(gè)集合相等；真子集就是一個(gè)集合中的元素全部是另一個(gè)集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號(hào)括起來(lái)的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來(lái)說(shuō)，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對(duì)于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時(shí)，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時(shí)成立的；子集個(gè)數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會(huì)考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．8．子集的判斷與求解【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對(duì)于子集來(lái)說(shuō)的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說(shuō)如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③