正弦定理

1.內(nèi)角和定理：在中，A+B+C-7i.sin(A+B)=sjnC.cos(A+B)=-cosC

2.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它的所對角的正弦的比相等.

^^=上=，=2尺

形式一：sinAsinBsinC（解三角形的重要工具）

a=27?sinA

<b=27?sinB

形式二：卜=2/?SmC（邊角轉(zhuǎn)化的重要工具）

sinA=-^―,sinB=-^―,sinC=-^―

形式三：a：b：c=sinA:sinB:sinC形式四：2R2R2R

SUBC=—absmC=—bcsmA=—acsinB

面積公式：222在三角形中大邊對大角，反之亦然.

解三角形

1.一般地，把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對邊a,b,。叫做三角形

的元素.

2.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.

例題講解

1.在△ABC中，若A=60。，3=45。，BC=3\[2,則AC=.

2.在△ABC中，若a=3,b=\[3,A=^,則C=.

3.在△ABC中，A=45。，c=2,則AC邊上的高等于

已知兩角及一邊解三角形

例題(1)在△ABC中，c=?A=75。，3=60。，則6等于()

(2)在△ABC中，已知3c=12,A=60。，3=45。，則AC=.

已知兩角及一邊的三角形解題方法：

(1)若所給邊是已知角的對邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角

和定理求出第三個(gè)角，最后由正弦定理求第三邊.

(2)若所給邊不是已知角的對邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再

由正弦定理求另外兩邊.

已知兩邊及一邊的對角解三角形

7T

例題⑴在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知A=d,a

=1,b=小,則3=.

(2)在△ABC中，已知a=25,b=6,A=30°,求B,C和c.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法：

(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.

(2)如果已知的角為大邊所對的角時(shí)，由三角形中大邊對大角，大角對大邊

的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一.

(3)如果已知的角為小邊所對的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，

這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論.

正弦定理的主要功能

1.試借助△ABC的外接圓推導(dǎo)出正弦定理.

hc

探究2由1=2幾~^=2R,仁=2我可以得到哪些變形形式？這些

UdJ.ll\_z

變形形式有什么功能?

例題

1.在△ABC中，若sinA=2sin3cosC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC

的形狀.

1.判斷三角形的形狀看該三角形是否為某些特殊的三角形，如銳角三角形、

直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.

2.已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，可以考慮用正弦定理

化邊為角，再利用三角恒等變換找出三個(gè)角之間的關(guān)系，或者化角為邊，通過代

數(shù)恒等變換找出三邊之間的關(guān)系，再給出判斷.

題型1：利用正弦定理解三角形

711

【例1】在AA5c中，若b=5,ZB=-fsmA=-,則〃=.

【例2】在4ABC中，已知。=6，b=五，B=45°，求A、C和c.

3、在AABC中，已知BC=12,A=60°,B=45°,則AC=

4、(1)△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;

(2)ZXABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.

題型2：三角形面積

例1、在中，a=10,6=8,C=30°,則△/及7的面積S=.

例2、在△/回中，/=60°,b=\,則△4%外接圓的面積是—

1、在,中，若/幺=120°,AB=5,BC=1,求△/%的面積.

題型3：正弦定理判斷三角形形狀

判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.

例1、在△四C中,已知Jtan6n9tan/,試判斷△/比1的形狀.

2、在△力及7中，sin/=sinC,則△力及7是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

3、在中，在AABC中，a,b,c分別是角A、B、C所對的邊，bcosA=flcosB,試

判斷AA5C三角形的形狀.

問題4：三角恒等變形

a

例設(shè)入45。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。也C,且A=60°,c=3b.求：C的值;

課后練習(xí)

1.在△ABC中，若sinA>sinb則有（）

A.a<bB.。三6

C.a>bD.a,b的大小無法判定

2.在△ABC中，若c=2acosb則△ABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.不等